{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nOblicz najmniejszą wartość funkcji 𝒇 określonej dla każdej liczby dodatniej 𝒙.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: przyjmij, że wzór funkcji 𝑓 można przedstawić w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥.\n12.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^{log_3 x} + {2⋅log_2 √27 ⋅ log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x dla każdej liczby dodatniej x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji f można przedstawić w postaci f(x)=x^4+x^2-6x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R4) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥= 1 i obliczenie\nwartości najmniejszej funkcji 𝑓: (-4).\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑥= 1.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0: 𝑥= 1.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥-6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑓 z błędem i wyznaczona pochodna nie jest\nwielomianem stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\n3. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,\nnp. znakami „+” i „-” znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla 𝑥= 1 funkcja 𝑓 osiąga\nnajmniejszą wartość i obliczy 𝑓(1) = -4, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑓(1) = -4, to otrzymuje co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający:\n- nie rozwiązuje równania 4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0, lecz stwierdza, że liczba 1 jest jego\nrozwiązaniem bez uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego\nrównania\nALBO\n- popełnia błąd (który nie jest błędem rachunkowym) przy rozkładzie wielomianu\n4𝑥3 + 2𝑥-6 na czynniki, ale otrzymuje wielomian stopnia trzeciego, który przyjmuje\nw zbiorze (0, +∞) wartość najmniejszą\ni dalej konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nDla każdego 𝑥> 0 wyrażenie 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥 jest równe\nwyrażeniu 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥. Obliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥 dla 𝑥∈(0, +∞).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥-6 dla 𝑥∈(0, +∞).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 0\n4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0\n4𝑥3 + 2𝑥-4 -2 = 0\n4(𝑥3 -1) + 2(𝑥-1) = 0\n4(𝑥-1)(𝑥2 + 𝑥+ 1) + 2(𝑥-1) = 0\n(𝑥-1)(4𝑥2 + 4𝑥+ 4 + 2) = 0\n(𝑥-1)(4𝑥2 + 4𝑥+ 6) = 0\n𝑥-1 = 0 lub 4𝑥2 + 4𝑥+ 6 = 0\n𝑥= 1\ngdyż 4𝑥2 + 4𝑥+ 6 > 0 dla każdego 𝑥> 0.\nBadamy znak pochodnej:\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(1, +∞),\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(0, 1).\nZatem funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 1] oraz jest rosnąca w przedziale [1, +∞).\nStąd dla 𝑥= 1 funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą równą 𝑓(1) = 14 + 12 -6 ∙1 = -4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x = 1$ (drugi czynnik $\\Delta < 0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x = 1$: $f(1) = 1+1-6 = -4$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":"logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne, funkcje","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.2. (0-4)<br>Oblicz najmniejszą wartość funkcji 𝒇 określonej dla każdej liczby dodatniej 𝒙.<br>Zapisz obliczenia.<br>Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji 𝑓 można przedstawić w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥.<br>12.2.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^{log_3 x} + {2⋅log_2 √27 ⋅ log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x dla każdej liczby dodatniej x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji f można przedstawić w postaci f(x)=x^4+x^2-6x.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12.2. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej<br>o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza<br>pochodną, korzystając z twierdzeń<br>o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu<br>i ilorazu;<br>XIII.R4) stosuje pochodną do badania<br>monotoniczności funkcji.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥= 1 i obliczenie<br>wartości najmniejszej funkcji 𝑓: (-4).<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje<br>wartość najmniejszą dla 𝑥= 1.<br>2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0: 𝑥= 1.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥-6.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑓 z błędem i wyznaczona pochodna nie jest</li></ol>\n<p>wielomianem stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający bada znak pochodnej oraz:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej najmniejsza wartość<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jedyne ekstremum tej funkcji.</p>\n<ol><li>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres</li></ol>\n<p>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,<br>np. znakami „+” i „-” znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla 𝑥= 1 funkcja 𝑓 osiąga</li></ol>\n<p>najmniejszą wartość i obliczy 𝑓(1) = -4, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Jeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑓(1) = -4, to otrzymuje co<br>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający:</li></ol>\n<ul><li>nie rozwiązuje równania 4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0, lecz stwierdza, że liczba 1 jest jego</li></ul>\n<p>rozwiązaniem bez uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego<br>równania<br>ALBO</p>\n<ul><li>popełnia błąd (który nie jest błędem rachunkowym) przy rozkładzie wielomianu</li></ul>\n<p>4𝑥3 + 2𝑥-6 na czynniki, ale otrzymuje wielomian stopnia trzeciego, który przyjmuje<br>w zbiorze (0, +∞) wartość najmniejszą<br>i dalej konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Dla każdego 𝑥&gt; 0 wyrażenie 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2<br>3<br>⋅𝑥2 -6𝑥 jest równe<br>wyrażeniu 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥. Obliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑓 określonej wzorem<br>𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥 dla 𝑥∈(0, +∞).<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥-6 dla 𝑥∈(0, +∞).<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:<br>𝑓′(𝑥) = 0<br>4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0<br>4𝑥3 + 2𝑥-4 -2 = 0<br>4(𝑥3 -1) + 2(𝑥-1) = 0<br>4(𝑥-1)(𝑥2 + 𝑥+ 1) + 2(𝑥-1) = 0<br>(𝑥-1)(4𝑥2 + 4𝑥+ 4 + 2) = 0<br>(𝑥-1)(4𝑥2 + 4𝑥+ 6) = 0<br>𝑥-1 = 0 lub 4𝑥2 + 4𝑥+ 6 = 0<br>𝑥= 1<br>gdyż 4𝑥2 + 4𝑥+ 6 &gt; 0 dla każdego 𝑥&gt; 0.<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑓′(𝑥) &gt; 0 dla 𝑥∈(1, +∞),<br>𝑓′(𝑥) &lt; 0 dla 𝑥∈(0, 1).<br>Zatem funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 1] oraz jest rosnąca w przedziale [1, +∞).<br>Stąd dla 𝑥= 1 funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą równą 𝑓(1) = 14 + 12 -6 ∙1 = -4.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>$f&#x27;(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x = 1$ (drugi czynnik $\\Delta &lt; 0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x = 1$: $f(1) = 1+1-6 = -4$.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x = 1$, wartość najmniejsza: $-4$</p>"}]}