Zadanie 13. (0-6)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta 𝑙 o równaniu 𝑥-𝑦-2 = 0
przecina parabolę o równaniu 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Odcinek 𝐴𝐵 jest
średnicą okręgu 𝒪. Punkt 𝐶 leży na okręgu 𝒪 nad prostą 𝑙, a kąt 𝐵𝐴𝐶 jest ostry i ma
miarę 𝛼 taką, że tg 𝛼= 1
3 (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu 𝑪. Zapisz obliczenia.
13.
0-1-
2-3-
4-5-6
1
1
𝑙
𝐶
𝐴
𝐵
𝛼
𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
okrąg 𝒪
𝑥
𝑦
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta l o równaniu x-y-2=0 przecina parabolę o równaniu y=4x^2-7x+1 w punktach A oraz B. Odcinek AB jest średnicą okręgu O. Punkt C leży na okręgu O nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tgα={1/3} (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz współrzędne punktu C.
Zadanie 13. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R5) korzysta ze wzorów na sinus,
cosinus i tangens sumy i różnicy kątów,
a także na funkcje trygonometryczne kątów
podwojonych.
IX.R3) znajduje punkty wspólne prostej
i okręgu oraz prostej i paraboli będącej
wykresem funkcji kwadratowej.
Zasady oceniania
6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐶= (11
10 , -3
10).
5 pkt - zapisanie jednego równania stopnia pierwszego i równania stopnia drugiego
z dwiema niewiadomymi, np.
{
𝑦= 2 (𝑥-1
2
(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
2
(pr. 𝐴𝐶 i okrąg 𝒪),
{
𝑦= 7(𝑥-1) -1
(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
2
(pr. 𝑆𝐶 i okrąg 𝒪),
ALBO
5 ,
ALBO
4 pkt - zapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi, np.
𝑦= 2 (𝑥-1
2 (pr. 𝐴𝐶),
(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
2 (okrąg 𝒪),
𝑦= 7(𝑥-1) -1 (pr. 𝑆𝐶),
√2
10 = √(3
2 -𝑥)
2
2 -𝑦)
2
(okrąg o środku w punkcie 𝐵 i promieniu 𝐵𝐶),
3√2
10 = √(1
2 -𝑥)
2
2 -𝑦)
2
(okrąg o środku w punkcie 𝐴 i promieniu 𝐴𝐶),
√(3
2 -𝑥)
2
+(-1
2 -𝑦)
2
√(1
2 -𝑥)
2
+(-3
2-𝑦)
2 = 1
3 (wykorzystanie zależności między przyprostokątnymi 𝐵𝐶
oraz 𝐴𝐶).
3 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶: 2 oraz obliczenie
współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙: 𝐴= (1
2 , -3
𝐵= (3
2 , -1
2)
ALBO
𝑆= (1, -1) lub 𝑅=
√2
2 , lub |𝐴𝐵| = √2,
ALBO
współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙: 𝐴= (1
2 , -3
𝐵= (3
2 , -1
2).
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙: 𝐴= (1
2 , -3
2)
oraz 𝐵= (3
2 , -1
2)
ALBO
ALBO
\nALBO
\nktóre wynika z układu równań { 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
oraz zapisanie, że
𝑎𝐴𝐶= tg(𝛼+ 45°) (lub 𝑎𝑆𝐶= tg(2𝛼+ 45°) ),
ALBO
arytmetyczną rozwiązań równania 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0 (lub 4𝑦2 + 8𝑦+ 3 = 0), np.
𝑥𝑆= 𝑥1+𝑥2
2
, 𝑥𝑆=
8
4
2 (wzory Viète’a).
1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵),
które wynika z układu równań { 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
, np.
𝑥-2 = 4𝑥2 -7𝑥+ 1, 𝑦= 4(𝑦+ 2)2 -7(𝑦+ 2) + 1
ALBO
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
10 , -3
\notrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie.
\na) zastosowanie niepoprawnej równości tg(𝛼+ 𝛽) = tg𝛼+ tg𝛽,
Zasady oceniania rozwiązań zadań
b) zastosowanie niepoprawnej definicji funkcji trygonometrycznej,
c) podstawienie do równania okręgu średnicy zamiast promienia,
d) błędne zastosowanie wzorów Viète’a przy obliczaniu współrzędnych środka okręgu,
to zdający może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (poprzez proste 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶)
Obliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙:
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-(4𝑥2 -7𝑥+ 1) -2 = 0
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
-4𝑥2 + 8𝑥-3 = 0
{
𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥= 1
2 ∨ 𝑥= 3
2
Stąd 𝐴= (1
2 , -3
2 , -1
2).
Prosta 𝑙 ma równanie kierunkowe 𝑦= 𝑥-2, więc jest nachylona do osi 𝑂𝑥 układu
współrzędnych pod kątem 45°. Zatem prosta przechodząca przez punkty 𝐴 i 𝐶 jest
nachylona do osi 𝑂𝑥 układu pod kątem 𝛼+ 45°. Obliczamy tg(𝛼+ 45°), korzystając ze
wzoru na tangens sumy kątów:
tg(𝛼+ 45°) =
tg 𝛼+ tg 45°
1 -tg 𝛼⋅tg 45° =
1
3 + 1
1 -1
3 ⋅1
1 + 3
3 -1 = 2
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2 (𝑥-1
2 .
Ponieważ 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu, więc kąt 𝐴𝐶𝐵 (jako kąt wpisany oparty na średnicy
𝐴𝐵) jest prosty. Wobec tego współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝐶 prostej 𝐵𝐶 jest równy
𝑎𝐵𝐶= -1
2 i prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= -1
2 (𝑥-3
2 .
Punkt 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶, więc 𝑦𝐶= 2 (𝑥𝐶-1
2 oraz
𝑦𝐶= -1
2 (𝑥𝐶-3
2 . Stąd otrzymujemy:
2 (𝑥𝐶-1
2 = -1
2 (𝑥𝐶-3
2
5
2 𝑥𝐶= 11
4
𝑥𝐶= 11
10
Zatem 𝐶= (11
10 , -3
10).
Sposób II (poprzez długości odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶)
Wyznaczamy punkty przecięcia prostej 𝑙 i paraboli 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1:
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
{ 𝑥-2 = 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑦= 𝑥-2
{ 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0
𝑦= 𝑥-2
Rozwiązujemy równanie kwadratowe 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0 i otrzymujemy 𝑥= 1
2 lub 𝑥= 3
2 .
Dla 𝑥= 1
2 otrzymujemy 𝑦= 1
2 -2 = -3
2 , więc 𝐴= (1
2 , -3
2).
Dla 𝑥= 3
2 otrzymujemy 𝑦= 3
2 -2 = -1
2 , więc 𝐵= (3
2 , -1
2).
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:
|𝐴𝐵| = √(3
2 -1
2)
2
2 + 3
2)
2
= √2
Ponieważ 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu 𝒪, więc kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵 jest prosty.
Obliczamy długości boków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶.
Wobec tg 𝛼= 1
3 i |𝐴𝐵| = √2 otrzymujemy
|𝐵𝐶|
|𝐴𝐶| = 1
3 i |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 = (√2)
|𝐴𝐶| = 3√5
5 i |𝐵𝐶| =
√5
5 .
Niech 𝐶= (𝑥, 𝑦). Wykorzystujemy obliczone długości przyprostokątnych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz
wzór na długość odcinka i zapisujemy równania:
√5
5 = |𝐵𝐶| = √(𝑥-3
2)
2
2)
2
3√5
5
= |𝐴𝐶| = √(𝑥-1
2)
2
2)
2
Z układu równań
{
1
5 = 𝑥2 -3𝑥+ 9
4 + 𝑦2 + 𝑦+ 1
4
9
5 = 𝑥2 -𝑥+ 1
4 + 𝑦2 + 3𝑦+ 9
4
otrzymujemy zależność liniową między 𝑦 a 𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-8
5 = -2𝑥-2𝑦
z której wyznaczamy 𝑦: 𝑦= -𝑥+ 4
5 .
Z otrzymanych równań 𝑦= -𝑥+ 4
5 i 1
5 = 𝑥2 -3𝑥+ 9
4 + 𝑦2 + 𝑦+ 1
4 obliczamy
współrzędne punktu 𝐶:
1
5 = 𝑥2 -3𝑥+ 9
4 + (-𝑥+ 4
5)
2
4
0 = 2𝑥2 -28
5 𝑥+ 187
50
0 = 100𝑥2 -280𝑥+ 187
𝑥= 11
10 lub 𝑥= 17
10
Rozwiązanie 𝑥= 17
10 odrzucamy, gdyż wtedy 𝑦= -9
10 , a punkt (17
10 , -9
prostą 𝑙.
Gdy 𝑥= 11
10 , to 𝑦= -3
10 , więc 𝐶= (11
10 , -3
10).
Sposób III (poprzez okrąg 𝒪 i prostą 𝐴𝐶)
Obliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙:
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-(4𝑥2 -7𝑥+ 1) -2 = 0
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
-4𝑥2 + 8𝑥-3 = 0
{
𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥= 1
2 ∨ 𝑥= 3
2
Stąd 𝐴= (1
2 , -3
2 , -1
2).
Prosta 𝑙 ma równanie kierunkowe 𝑦= 𝑥-2, więc jest nachylona do osi 𝑂𝑥 układu
współrzędnych pod kątem 45°. Zatem prosta przechodząca przez punkty 𝐴 i 𝐶 jest
nachylona do osi 𝑂𝑥 układu pod kątem 𝛼+ 45°. Obliczamy tg(𝛼+ 45°), korzystając ze
wzoru na tangens sumy kątów:
tg(𝛼+ 45°) =
tg 𝛼+ tg 45°
1 -tg 𝛼⋅tg 45° =
1
3 + 1
1 -1
3 ⋅1
1 + 3
3 -1 = 2
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2 (𝑥-1
2 .
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:
|𝐴𝐵| = √(3
2 -1
2)
2
2 + 3
2)
2
= √2
Obliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu 𝒪: 𝑆= (1, -1).
Zapisujemy równanie okręgu 𝒪: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
2 .
Obliczamy współrzędne punktów przecięcia okręgu 𝒪 z prostą 𝐴𝐶:
{
(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
2
𝑦= 2𝑥-5
2
Stąd
(𝑥-1)2 + (2𝑥-5
2 + 1)
2
= 1
2
𝑥2 -2𝑥+ 1 + 4𝑥2 -6𝑥+ 9
4 = 1
2
5𝑥2 -8𝑥+ 11
4 = 0
𝑥= 1
2 lub 𝑥= 11
10
Dla 𝑥= 1
2 otrzymujemy 𝑦= -3
2 , czyli współrzędne punktu 𝐴.
Dla 𝑥= 11
10 otrzymujemy 𝑦= -3
10 , czyli 𝐶= (11
10 , -3
10).
Sposób IV (poprzez okrąg 𝒪 i średnicę przechodzącą przez 𝐶)
Wyznaczamy punkty przecięcia prostej 𝑙 i paraboli 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1:
{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑥-𝑦-2 = 0
{ 𝑥-2 = 4𝑥2 -7𝑥+ 1
𝑦= 𝑥-2
{ 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0
𝑦= 𝑥-2
Rozwiązujemy równanie kwadratowe 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0 i otrzymujemy 𝑥= 1
2 lub 𝑥= 3
2 .
Dla 𝑥= 1
2 otrzymujemy 𝑦= 1
2 -2 = -3
2 , więc 𝐴= (1
2 , -3
2).
Dla 𝑥= 3
2 otrzymujemy 𝑦= 3
2 -2 = -1
2 , więc 𝐵= (3
2 , -1
2).
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
|𝐴𝐵| = √(3
2 -1
2)
2
2 + 3
2)
2
= √2
Ponieważ 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu 𝒪, więc ten okrąg ma środek w punkcie 𝑆= (1, -1)
i promień 𝑟=
√2
2 .
Kąty 𝐶𝐴𝐵 oraz 𝐶𝑆𝐵 są oparte na tym samym łuku okręgu 𝒪, więc
|∡𝐶𝑆𝐵| = 2 ⋅|∡𝐶𝐴𝐵| = 2𝛼. Ponieważ tg 𝛼= 1
3 , więc
tg(2𝛼) =
2 tg 𝛼
1 -tg2 𝛼=
2
3
1 -(1
3)
2 = 3
4
Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu prostej 𝑆𝐶:
𝑎= tg(2𝛼+ 45°) =
tg(2𝛼) + tg 45°
1 -tg(2𝛼) ⋅tg 45° =
3
4 + 1
1 -3
4 ⋅1
= 7
Równanie prostej 𝑆𝐶: 𝑦= 7(𝑥-1) -1.
Obliczamy współrzędne punktu 𝐶:
{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
2
𝑦= 7(𝑥-1) -1
{ (𝑥-1)2 + [7(𝑥-1)]2 = 1
2
𝑦= 7(𝑥-1) -1
{ 50(𝑥-1)2 = 1
2
𝑦= 7(𝑥-1) -1
{ |𝑥-1| = 1
10
𝑦= 7(𝑥-1) -1
{ 𝑥= 9
10 ∨ 𝑥= 11
10
𝑦= 7(𝑥-1) -1
Dla 𝑥= 9
10 otrzymujemy 𝑦= -17
10 < 𝑦𝐴 , więc punkt ( 9
10 , -17
zadania.
Dla 𝑥= 11
10 otrzymujemy 𝑦= -3
10 , więc 𝐶= (11
10 , -3
10).
Odpowiedź: $C = \\left(\\frac{11}{10}, -\\frac{3}{10}\\right)$ Z układu prostej i paraboli: $A = (\\frac{1}{2}, -\\frac{3}{2})$, $B = (\\frac{3}{2}, -\\frac{1}{2})$. Z tw. Talesa (AB średnica) → $\\angle ACB = 90°$. W trójkącie prostokątnym ACB: $|AB| = \\sqrt{2}$, $\\tan\\alpha = BC/AC = 1/3$ → $AC = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$, $BC = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$. Wektory: $\\hat{AB} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(1,1)$, prostopadła w górę $= \\frac{1}{\\sqrt{2}}(-1, 1)$. $C = A + AC\\cos\\alpha \\cdot \\hat{AB} + AC\\sin\\alpha \\cdot \\hat{n}$ daje $C = (1{,}1; -0{,}3)$.
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nZnajdź A i B (przecięcie prostej z parabolą). Z $l$: $y = x - 2$. Wstaw do paraboli:
\n$$x - 2 = 4x^2 - 7x + 1 \\iff 4x^2 - 8x + 3 = 0$$
\n$\\Delta = 64 - 48 = 16$, $x = \\frac{8 \\pm 4}{8}$, czyli $x = \\frac{1}{2}$ lub $x = \\frac{3}{2}$.
\n$$A = \\left(\\tfrac{1}{2}, -\\tfrac{3}{2}\\right), \\quad B = \\left(\\tfrac{3}{2}, -\\tfrac{1}{2}\\right)$$
\n$|AB|$ i twierdzenie Talesa. AB to średnica okręgu, więc dla każdego $C$ na okręgu:
\n$$\\angle ACB = 90°$$
\nDługość: $|AB| = \\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$.
\nTrójkąt prostokątny ACB. $\\tan\\alpha = \\frac{BC}{AC} = \\frac{1}{3} \\implies AC = 3 BC$.
\nZ Pitagorasa: $AC^2 + BC^2 = 2 \\implies 9 BC^2 + BC^2 = 2 \\implies BC = \\frac{1}{\\sqrt{5}}, AC = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$.
\nWyznacz $\\cos\\alpha, \\sin\\alpha$. Z $\\tan\\alpha = 1/3$ i $\\alpha$ ostry: hipotenuza pomocnicza $\\sqrt{10}$, więc $\\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}}$, $\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{10}}$.
\nWektor jednostkowy wzdłuż AB: $\\hat{AB} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(1, 1)$.
\nWektor prostopadły, skierowany w górę (z $y > 0$): $\\hat{n} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(-1, 1)$.
\nWyznacz $C$ z dekompozycji wektora $\\vec{AC}$:
\n$$\\vec{AC} = AC \\cos\\alpha \\cdot \\hat{AB} + AC \\sin\\alpha \\cdot \\hat{n}$$
\nKomponenty:
\nWkład w x: $\\frac{9}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{3}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{9 - 3}{10} = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$
\nWkład w y: $\\frac{9}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{3}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{9 + 3}{10} = \\frac{12}{10} = \\frac{6}{5}$
\n$$C = A + \\left(\\frac{3}{5}, \\frac{6}{5}\\right) = \\left(\\frac{1}{2} + \\frac{3}{5},\\ -\\frac{3}{2} + \\frac{6}{5}\\right) = \\left(\\frac{11}{10},\\ -\\frac{3}{10}\\right)$$
\nPo co to umieć
\nTwierdzenie Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy = 90°) to klucz do zadań „okrąg + średnica + punkt na okręgu".
\nGeometria analityczna 2D — dekompozycja wektora na kierunek równoległy + prostopadły. Niezbędne w zadaniach typu „znajdź punkt $C$ jeśli...".
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku „nad prostą" — kąt $\\alpha$ ma dwa możliwe położenia $C$ (po obu stronach AB). Z rysunku/treści wynika, że $C$ leży po stronie $y$ większej (nad $l$).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1: Identyfikacja kątów w trójkącie $ABC$
\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli czworokąt \\(ABCD\\) na dwa trójkąty: \\(\\triangle ABC\\) i \\(\\triangle ACD\\). Z treści zadania w \\(\\triangle ABC\\) wiemy:
\nKrok 2: Wyznaczenie $|AB|$ twierdzeniem sinusów
\nBok \\(|BC|\\) leży naprzeciwko kąta \\(\\angle BAC\\), bok \\(|AB|\\) leży naprzeciwko kąta \\(\\angle ACB\\). Stosujemy twierdzenie sinusów:
\n\\[\\frac{|BC|}{\\sin(\\angle BAC)} = \\frac{|AB|}{\\sin(\\angle ACB)}\\]
\n\\[\\frac{4}{\\dfrac{1}{4}} = \\frac{|AB|}{\\sin 60°}\\]
\n\\[16 = \\frac{|AB|}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}}\\]
\n\\[|AB| = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\]
\nKrok 3: Własność czworokąta opisanego na okręgu
\nCzworokąt opisany na okręgu (okrąg jest wpisany w czworokąt) spełnia warunek:
\n\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD|\\]
\nPodstawiamy znane wartości:
\n\\[8\\sqrt{3} + 5 = 4 + |AD|\\]
\n\\[|AD| = 8\\sqrt{3} + 1\\]
\nKrok 4: Obliczenie obwodu
\n\\[P = |AB| + |BC| + |CD| + |AD| = 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + (8\\sqrt{3} + 1)\\]
\n\\[\\boxed{P = 16\\sqrt{3} + 10}\\]
\nDla czworokąta opisanego na okręgu zachodzi \\(|AB| + |CD| = |BC| + |AD|\\), co oznacza:
\n\\[P = (|AB| + |CD|) + (|BC| + |AD|) = 2(|AB| + |CD|)\\]
\nZ Kroku 2 mamy już \\(|AB| = 8\\sqrt{3}\\), a \\(|CD| = 5\\) dane. Zatem:
\n\\[P = 2(|AB| + |CD|) = 2(8\\sqrt{3} + 5) = 16\\sqrt{3} + 10\\]
\nWeryfikacja: Skoro \\(|AD| = 8\\sqrt{3} + 1\\), sprawdzamy własność:
\\[|AB| + |CD| = 8\\sqrt{3} + 5, \\qquad |BC| + |AD| = 4 + 8\\sqrt{3} + 1 = 8\\sqrt{3} + 5 \\quad \\checkmark\\]
Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie sinusów:
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]
Użyliśmy go w \\(\\triangle ABC\\), żeby wyznaczyć \\(|AB|\\) ze znanych: \\(|BC| = 4\\), \\(\\sin(\\angle BAC) = \\dfrac{1}{4}\\), \\(\\angle ACB = 60°\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - własność czworokąta opisanego na okręgu:
\\[a + c = b + d\\]
czyli suma par naprzeciwległych boków jest równa. Użyliśmy jej do wyznaczenia \\(|AD|\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartość:
\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Odczytana z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to mylenie "opisany na okręgu" (okrąg wpisany - w środku, własność \\(AB + CD = BC + AD\\)) z "wpisany w okrąg" (okrąg opisany - na zewnątrz, własność dla czworokątów cyklicznych: suma kątów naprzeciwległych \\(= 180°\\)). To dwa zupełnie różne przypadki!\n
⚠️ Uwaga: Przy twierdzeniu sinusów - bok leży naprzeciwko odpowiedniego kąta. Bok \\(|BC|\\) jest naprzeciwko \\(\\angle BAC\\), a bok \\(|AB|\\) naprzeciwko \\(\\angle ACB\\). Zamiana kątów w mianowniku to typowy błąd, który daje wynik \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(8\\sqrt{3}\\).\n
⚠️ Uwaga: Dane mówią, że \\(\\sin(\\angle BAC) = \\dfrac{1}{4}\\), więc nie wolno od razu pisać \\(\\angle BAC = 14{,}48°\\) - wystarczy operować wartością sinusa bez przeliczania na stopnie. To skraca obliczenia i eliminuje błędy zaokrągleń.\n
Czworokąt \\(ABCD\\) opisany na okręgu, więc zachodzi \\(|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\\) (tw. Pitota, karta wzorów, dział VIII).
\nDane: \\(|BC|=4\\), \\(|CD|=5\\), \\(\\angle BCA=60^{\\circ}\\), \\(\\sin\\angle BAC=\\dfrac{1}{4}\\).
\nOznaczmy \\(\\alpha=\\angle BAC\\), więc \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{4}\\).
\nZ twierdzenia sinusów (dział VII):
\\[\\dfrac{|AB|}{\\sin 60^{\\circ}}=\\dfrac{|BC|}{\\sin\\alpha}\\]
\\[\\dfrac{|AB|}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}=\\dfrac{4}{\\frac{1}{4}}=16\\]
\\[|AB|=16\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}=8\\sqrt{3}\\]
Z twierdzenia Pitota: \\(|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\\).
\\[8\\sqrt{3}+5=4+|AD|\\]
\\[|AD|=8\\sqrt{3}+1\\]
Obwód:
\\[Ob=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|=8\\sqrt{3}+4+5+8\\sqrt{3}+1=16\\sqrt{3}+10\\]
Odpowiedź: \\(Ob_{ABCD}=16\\sqrt{3}+10\\).
\nPostać równoważna: \\(Ob=2\\cdot(|AB|+|CD|)=2(8\\sqrt{3}+5)=16\\sqrt{3}+10\\).
\nPole trójkąta \\(ABC\\) można obliczyć na dwa sposoby:
\\[P=\\dfrac{1}{2}|BC|\\cdot|AC|\\sin 60^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot|AC|\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}=|AC|\\sqrt{3}\\]
\\[P=\\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|AB|\\cdot\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|AB|\\cdot\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{|AC|\\cdot|AB|}{8}\\]
Zatem \\(|AC|\\sqrt{3}=\\dfrac{|AC|\\cdot|AB|}{8}\\), skąd \\(|AB|=8\\sqrt{3}\\). Dalej tak samo.
\nTrik: Czworokąt opisany na okręgu \\(\\Rightarrow\\) sumy par przeciwległych boków są równe (Pitot). Czworokąt wpisany \\(\\Rightarrow\\) sumy par przeciwległych kątów są równe \\(180^{\\circ}\\). Pomyl tych faktów to typowy błąd.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$C = \\\\left(\\\\dfrac{11}{10}, -\\\\dfrac{3}{10}\\\\right)$
"}]}