{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m \\neq 2\\), dla których równanie\n\\[x^{2} + 4x - \\frac{m-3}{m-2} = 0\\]\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) spełniające warunek \\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > -28\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m \\in \\left(\\dfrac{11}{5},\\, \\dfrac{9}{4}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + warunek na deltę\n\n### Dane wyjściowe\n\nRównanie: \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\), gdzie \\(m \\neq 2\\).\n\nOznaczmy \\(a = 1,\\; b = 4,\\; c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\).\n\n### Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))\n\n\\[\n\\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4 \\cdot 1 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2} > 0\n\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\n\\[\n\\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{20m - 44}{m-2} > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{5m - 11}{m-2} > 0\n\\]\n\nAnaliza znaków:\n\n| | \\(m < 2\\) | \\(2 < m < \\frac{11}{5}\\) | \\(m > \\frac{11}{5}\\) |\n| \\(5m-11\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(m-2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| Iloraz | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n\n**Warunek 1:** \\(m < 2\\) lub \\(m > \\dfrac{11}{5}\\).\n\n### Krok 2: Wzory Viète'a\n\nZ równania \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\):\n\n\\[\nx_1 + x_2 = -4, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = -\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{3-m}{m-2}\n\\]\n\n### Krok 3: Wyznaczenie \\(x_1^3 + x_2^3\\)\n\nUżywamy tożsamości algebraicznej:\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = (-4)^3 - 3 \\cdot \\frac{3-m}{m-2} \\cdot (-4) = -64 + \\frac{12(3-m)}{m-2}\n\\]\n\n### Krok 4: Warunek \\(x_1^3 + x_2^3 > -28\\)\n\n\\[\n-64 + \\frac{12(3-m)}{m-2} > -28\n\\]\n\n\\[\n\\frac{12(3-m)}{m-2} > 36 \\qquad \\Big| : 12\n\\]\n\n\\[\n\\frac{3-m}{m-2} > 3\n\\]\n\n\\[\n\\frac{3-m}{m-2} - 3 > 0 \\qquad\\Longrightarrow\\qquad \\frac{3-m - 3(m-2)}{m-2} > 0 \\qquad\\Longrightarrow\\qquad \\frac{9 - 4m}{m-2} > 0\n\\]\n\nAnaliza znaków:\n\n| | \\(m < 2\\) | \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\) | \\(m > \\frac{9}{4}\\) |\n| \\(9-4m\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n| \\(m-2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| Iloraz | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n\n**Warunek 2:** \\(2 < m < \\dfrac{9}{4}\\).\n\n### Krok 5: Część wspólna warunków\n\nSzukamy \\(m\\) spełniającego jednocześnie Warunek 1 i Warunek 2:\n\n\\[\n\\underbrace{\\left(m < 2 \\;\\text{ lub }\\; m > \\tfrac{11}{5}\\right)}_{\\Delta > 0} \\quad\\text{AND}\\quad \\underbrace{2 < m < \\tfrac{9}{4}}_{\\text{warunek na } x_1^3+x_2^3}\n\\]\n\n- \\(m < 2\\) nie ma wspólnej części z \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\)\n- \\(m > \\frac{11}{5}\\) przekrojone z \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\): \\(\\quad \\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}\\)\n\n\\[\n\\boxed{m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\; \\frac{9}{4}\\right)}\n\\]\n\nczyli \\(2{,}2 < m < 2{,}25\\).\n\n## Sposób 2 - weryfikacja na granicy + sprawdzenie przykładowego punktu\n\nSprawdzamy, że przedział jest poprawnie wyznaczony.\n\n**Granica lewa \\(m = \\frac{11}{5}\\):**\n\n\\[\n\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{\\frac{11}{5}-3}{\\frac{11}{5}-2} = \\frac{-\\frac{4}{5}}{\\frac{1}{5}} = -4\n\\]\n\nRównanie: \\(x^2 + 4x + 4 = 0\\), czyli \\((x+2)^2 = 0\\) - **jeden pierwiastek** (\\(\\Delta = 0\\)). Słusznie wykluczone.\n\n**Granica prawa \\(m = \\frac{9}{4}\\):**\n\n\\[\n\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{\\frac{9}{4}-3}{\\frac{9}{4}-2} = \\frac{-\\frac{3}{4}}{\\frac{1}{4}} = -3\n\\]\n\n\\(x_1 x_2 = 3,\\quad x_1+x_2 = -4\\)\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = -64 + 12 \\cdot 3 = -64 + 36 = -28\n\\]\n\nWarunek wymaga \\(> -28\\), tu jest \\(= -28\\). Słusznie wykluczone.\n\n**Punkt wewnętrzny \\(m = \\frac{9}{5} \\cdot \\frac{1}{2}(\\frac{11}{5}+\\frac{9}{4})\\) weźmy \\(m = \\frac{89}{40} = 2{,}225\\):**\n\n\\(x_1 x_2 = \\frac{3-m}{m-2} = \\frac{3-2{,}225}{0{,}225} = \\frac{0{,}775}{0{,}225} \\approx 3{,}44\\)\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 \\approx -64 + 12 \\cdot 3{,}44 = -64 + 41{,}3 = -22{,}7 > -28 \\checkmark\n\\]\n\n\\(\\Delta = 16 + 4 \\cdot 3{,}44 - 4 \\cdot \\) - sprawdzamy bezpośrednio: \\(\\Delta = 16 - 4(-3{,}44) = 16+13{,}76 > 0 \\checkmark\\)\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i warunek dwóch pierwiastków:\n\\[\n\\Delta = b^2 - 4ac > 0 \\iff \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\n\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia warunku na \\(m\\).\n\n**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:\n\\[\nx_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\n\\]\nKluczowe w Kroku 2 - bez nich musielibyśmy rozwiązywać równanie z parametrem.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - tożsamość algebraiczna:\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)\n\\]\n(wnioskowana ze wzoru \\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\\) i wzoru na \\((a+b)^3\\)) - użyta w Kroku 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o warunku \\(\\Delta > 0\\) i odpowiadać tylko na pytanie o \\(x_1^3+x_2^3\\). Zadanie wymaga **jednoczesnego** spełnienia obu warunków - zawsze rób przekrój!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorach Viète'a \\(x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\\), a tutaj \\(c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\) (uwaga na znak minus przed ułamkiem!). To najczęstsze miejsce błędu przy odczytywaniu \\(c\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu nierówności \\(\\frac{9-4m}{m-2} > 0\\) - **nie mnożymy przez \\((m-2)\\)** bez analizy znaku! Zawsze rozbijamy na przypadki lub używamy tablicy znaków.\n\n### Analiza zadania\nRównanie kwadratowe \\(x^{2}+4x-\\dfrac{m-3}{m-2}=0\\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy \\(\\Delta>0\\). Następnie wykorzystamy wzory Viète'a (karta wzorów, dział III):\n\\[x_{1}+x_{2}=-4,\\quad x_{1}x_{2}=-\\dfrac{m-3}{m-2}\\]\n\n### I etap - warunek \\(\\Delta>0\\)\n\\[\\Delta=16-4\\cdot\\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right)=16+\\dfrac{4(m-3)}{m-2}>0\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[\\dfrac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}=\\dfrac{16m-32+4m-12}{m-2}=\\dfrac{20m-44}{m-2}>0\\]\n\n\\((20m-44)(m-2)>0\\), czyli \\(20\\left(m-\\dfrac{11}{5}\\right)(m-2)>0\\).\n\nMiejsca zerowe: \\(m=\\dfrac{11}{5}\\) oraz \\(m=2\\).\n\nPierwszy warunek: \\(m\\in(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\).\n\n### II etap - warunek \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\\)\nKorzystamy ze wzoru \\(a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\\):\n\\[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})\\]\n\\[=(-4)^{3}-3\\cdot\\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right)\\cdot(-4)=-64-12\\cdot\\dfrac{m-3}{m-2}\\]\n\nWarunek \\(>-28\\):\n\\[-64-\\dfrac{12(m-3)}{m-2}>-28\\]\n\\[-\\dfrac{12(m-3)}{m-2}>36\\]\n\\[\\dfrac{m-3}{m-2}<-3\\]\n\\[\\dfrac{m-3}{m-2}+3<0\\]\n\\[\\dfrac{m-3+3(m-2)}{m-2}<0\\]\n\\[\\dfrac{4m-9}{m-2}<0\\]\n\\[(4m-9)(m-2)<0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(m=\\dfrac{9}{4}\\) oraz \\(m=2\\).\n\nDrugi warunek: \\(m\\in\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)\\).\n\n### III etap - część wspólna\n\\[\\left[(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\right]\\cap\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)=\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{11}{5}=2{,}2\\); \\(\\dfrac{9}{4}=2{,}25\\). Przedział \\((2{,}2; 2{,}25)\\) - niepusty.\n\n**Odpowiedź: \\(m\\in\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\).**\n\n### Sposób 2 - podstawienie \\(p=\\sqrt{\\frac{5m-11}{m-2}}\\)\nPierwiastki to \\(x_{1,2}=-2\\pm p\\). Wtedy \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(-2-p)^{3}+(-2+p)^{3}=-8(3p^{2}+4-?)\\) po rozwinięciu: \\(-16-12p^{2}\\). Warunek \\(-16-12p^{2}>-28\\Rightarrow p^{2}<1\\Rightarrow\\dfrac{5m-11}{m-2}<1\\), itd., prowadzi do tej samej odpowiedzi.\n\n### Uwagi o punktacji\n- Rozwiązanie składa się z **trzech etapów**.\n- I etap (1 pkt): poprawne rozwiązanie \\(\\Delta>0\\): \\(m\\in(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\). Uwaga: \\(\\Delta\\geq 0\\) = \\(0\\) pkt.\n- II etap (3 pkt max): 3 pkt za rozwiązanie \\(m\\in\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)\\); 2 pkt za zapisanie właściwej nierówności; 1 pkt za sprowadzenie do postaci pozwalającej bezpośrednio zastosować wzory Viète'a.\n- III etap (1 pkt): poprawna część wspólna \\(m\\in\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\).\n- **Uwaga CKE**: Jeśli przyjmie \\(x_{1}+x_{2}=\\pm\\dfrac{m-3}{m-2}\\) lub \\(x_{1}x_{2}=\\pm 4\\), max II etap to \\(1\\) pkt, a III etap \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** Zawsze sprowadź \\(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\\) do symetrycznych wyrażeń we wzorach Viète'a: \\(s=x_{1}+x_{2}\\), \\(p=x_{1}x_{2}\\). Np. \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=s^{3}-3ps\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m \\neq 2\\), dla których równanie
\\[x^{2} + 4x - \\frac{m-3}{m-2} = 0\\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) spełniające warunek \\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > -28\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in \\left(\\dfrac{11}{5},\\, \\dfrac{9}{4}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a + warunek na deltę

\n
Dane wyjściowe
\n

Równanie: \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\), gdzie \\(m \\neq 2\\).

\n

Oznaczmy \\(a = 1,\\; b = 4,\\; c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\).

\n
Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))
\n

\\[
\\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4 \\cdot 1 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2} > 0
\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\n

\\[
\\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{20m - 44}{m-2} > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{5m - 11}{m-2} > 0
\\]

\n

Analiza znaków:

\n

| | \\(m < 2\\) | \\(2 < m < \\frac{11}{5}\\) | \\(m > \\frac{11}{5}\\) |
| \\(5m-11\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(m-2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
| Iloraz | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |

\n

Warunek 1: \\(m < 2\\) lub \\(m > \\dfrac{11}{5}\\).

\n
Krok 2: Wzory Viète'a
\n

Z równania \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\):

\n

\\[
x_1 + x_2 = -4, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = -\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{3-m}{m-2}
\\]

\n
Krok 3: Wyznaczenie \\(x_1^3 + x_2^3\\)
\n

Używamy tożsamości algebraicznej:

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)
\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = (-4)^3 - 3 \\cdot \\frac{3-m}{m-2} \\cdot (-4) = -64 + \\frac{12(3-m)}{m-2}
\\]

\n
Krok 4: Warunek \\(x_1^3 + x_2^3 > -28\\)
\n

\\[
-64 + \\frac{12(3-m)}{m-2} > -28
\\]

\n

\\[
\\frac{12(3-m)}{m-2} > 36 \\qquad \\Big| : 12
\\]

\n

\\[
\\frac{3-m}{m-2} > 3
\\]

\n

\\[
\\frac{3-m}{m-2} - 3 > 0 \\qquad\\Longrightarrow\\qquad \\frac{3-m - 3(m-2)}{m-2} > 0 \\qquad\\Longrightarrow\\qquad \\frac{9 - 4m}{m-2} > 0
\\]

\n

Analiza znaków:

\n

| | \\(m < 2\\) | \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\) | \\(m > \\frac{9}{4}\\) |
| \\(9-4m\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |
| \\(m-2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
| Iloraz | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |

\n

Warunek 2: \\(2 < m < \\dfrac{9}{4}\\).

\n
Krok 5: Część wspólna warunków
\n

Szukamy \\(m\\) spełniającego jednocześnie Warunek 1 i Warunek 2:

\n

\\[
\\underbrace{\\left(m < 2 \\;\\text{ lub }\\; m > \\tfrac{11}{5}\\right)}{\\Delta > 0} \\quad\\text{AND}\\quad \\underbrace{2 < m < \\tfrac{9}{4}}{\\text{warunek na } x_1^3+x_2^3}
\\]

\n\n

\\[
\\boxed{m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\; \\frac{9}{4}\\right)}
\\]

\n

czyli \\(2{,}2 < m < 2{,}25\\).

\n

Sposób 2 - weryfikacja na granicy + sprawdzenie przykładowego punktu

\n

Sprawdzamy, że przedział jest poprawnie wyznaczony.

\n

Granica lewa \\(m = \\frac{11}{5}\\):

\n

\\[
\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{\\frac{11}{5}-3}{\\frac{11}{5}-2} = \\frac{-\\frac{4}{5}}{\\frac{1}{5}} = -4
\\]

\n

Równanie: \\(x^2 + 4x + 4 = 0\\), czyli \\((x+2)^2 = 0\\) - jeden pierwiastek (\\(\\Delta = 0\\)). Słusznie wykluczone.

\n

Granica prawa \\(m = \\frac{9}{4}\\):

\n

\\[
\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{\\frac{9}{4}-3}{\\frac{9}{4}-2} = \\frac{-\\frac{3}{4}}{\\frac{1}{4}} = -3
\\]

\n

\\(x_1 x_2 = 3,\\quad x_1+x_2 = -4\\)

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = -64 + 12 \\cdot 3 = -64 + 36 = -28
\\]

\n

Warunek wymaga \\(> -28\\), tu jest \\(= -28\\). Słusznie wykluczone.

\n

Punkt wewnętrzny \\(m = \\frac{9}{5} \\cdot \\frac{1}{2}(\\frac{11}{5}+\\frac{9}{4})\\) weźmy \\(m = \\frac{89}{40} = 2{,}225\\):

\n

\\(x_1 x_2 = \\frac{3-m}{m-2} = \\frac{3-2{,}225}{0{,}225} = \\frac{0{,}775}{0{,}225} \\approx 3{,}44\\)

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 \\approx -64 + 12 \\cdot 3{,}44 = -64 + 41{,}3 = -22{,}7 > -28 \\checkmark
\\]

\n

\\(\\Delta = 16 + 4 \\cdot 3{,}44 - 4 \\cdot \\) - sprawdzamy bezpośrednio: \\(\\Delta = 16 - 4(-3{,}44) = 16+13{,}76 > 0 \\checkmark\\)

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i warunek dwóch pierwiastków:
\\[
\\Delta = b^2 - 4ac > 0 \\iff \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}
\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia warunku na \\(m\\).

\n

Dział 7 (s. 9) - wzory Viète'a:
\\[
x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}
\\]
Kluczowe w Kroku 2 - bez nich musielibyśmy rozwiązywać równanie z parametrem.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - tożsamość algebraiczna:
\\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)
\\]
(wnioskowana ze wzoru \\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\\) i wzoru na \\((a+b)^3\\)) - użyta w Kroku 3.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć o warunku \\(\\Delta > 0\\) i odpowiadać tylko na pytanie o \\(x_1^3+x_2^3\\). Zadanie wymaga jednoczesnego spełnienia obu warunków - zawsze rób przekrój!
\n
⚠️ Uwaga: W wzorach Viète'a \\(x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\\), a tutaj \\(c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\) (uwaga na znak minus przed ułamkiem!). To najczęstsze miejsce błędu przy odczytywaniu \\(c\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu nierówności \\(\\frac{9-4m}{m-2} > 0\\) - nie mnożymy przez \\((m-2)\\) bez analizy znaku! Zawsze rozbijamy na przypadki lub używamy tablicy znaków.
\n
Analiza zadania
\n

Równanie kwadratowe \\(x^{2}+4x-\\dfrac{m-3}{m-2}=0\\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy \\(\\Delta>0\\). Następnie wykorzystamy wzory Viète'a (karta wzorów, dział III):
\\[x_{1}+x_{2}=-4,\\quad x_{1}x_{2}=-\\dfrac{m-3}{m-2}\\]

\n
I etap - warunek \\(\\Delta>0\\)
\n

\\[\\Delta=16-4\\cdot\\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right)=16+\\dfrac{4(m-3)}{m-2}>0\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\\[\\dfrac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}=\\dfrac{16m-32+4m-12}{m-2}=\\dfrac{20m-44}{m-2}>0\\]

\n

\\((20m-44)(m-2)>0\\), czyli \\(20\\left(m-\\dfrac{11}{5}\\right)(m-2)>0\\).

\n

Miejsca zerowe: \\(m=\\dfrac{11}{5}\\) oraz \\(m=2\\).

\n

Pierwszy warunek: \\(m\\in(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\).

\n
II etap - warunek \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\\)
\n

Korzystamy ze wzoru \\(a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\\):
\\[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})\\]
\\[=(-4)^{3}-3\\cdot\\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right)\\cdot(-4)=-64-12\\cdot\\dfrac{m-3}{m-2}\\]

\n

Warunek \\(>-28\\):
\\[-64-\\dfrac{12(m-3)}{m-2}>-28\\]
\\[-\\dfrac{12(m-3)}{m-2}>36\\]
\\[\\dfrac{m-3}{m-2}<-3\\]
\\[\\dfrac{m-3}{m-2}+3<0\\]
\\[\\dfrac{m-3+3(m-2)}{m-2}<0\\]
\\[\\dfrac{4m-9}{m-2}<0\\]
\\[(4m-9)(m-2)<0\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(m=\\dfrac{9}{4}\\) oraz \\(m=2\\).

\n

Drugi warunek: \\(m\\in\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)\\).

\n
III etap - część wspólna
\n

\\[\\left[(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\right]\\cap\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)=\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\]

\n

Sprawdzenie: \\(\\dfrac{11}{5}=2{,}2\\); \\(\\dfrac{9}{4}=2{,}25\\). Przedział \\((2{,}2; 2{,}25)\\) - niepusty.

\n

Odpowiedź: \\(m\\in\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\).

\n
Sposób 2 - podstawienie \\(p=\\sqrt{\\frac{5m-11}{m-2}}\\)
\n

Pierwiastki to \\(x_{1,2}=-2\\pm p\\). Wtedy \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(-2-p)^{3}+(-2+p)^{3}=-8(3p^{2}+4-?)\\) po rozwinięciu: \\(-16-12p^{2}\\). Warunek \\(-16-12p^{2}>-28\\Rightarrow p^{2}<1\\Rightarrow\\dfrac{5m-11}{m-2}<1\\), itd., prowadzi do tej samej odpowiedzi.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Zawsze sprowadź \\(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\\) do symetrycznych wyrażeń we wzorach Viète'a: \\(s=x_{1}+x_{2}\\), \\(p=x_{1}x_{2}\\). Np. \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=s^{3}-3ps\\).

"}]}