{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy trójkąty \\(ABC\\), w których \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (m, 0)\\), gdzie \\(m \\in (4, +\\infty)\\), a wierzchołek \\(C\\) leży na prostej o równaniu \\(y = -2x\\). Na boku \\(BC\\) tego trójkąta leży punkt \\(D = (3, 2)\\).\n\na) Wykaż, że dla \\(m \\in (4, +\\infty)\\) pole \\(P\\) trójkąta \\(ABC\\), jako funkcja zmiennej \\(m\\), wyraża się wzorem\n\\[P(m) = \\frac{m^{2}}{m - 4}\\]\n\nb) Oblicz tę wartość \\(m\\), dla której funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej \\(BC\\), przy której funkcja \\(P\\) osiąga tę najmniejszą wartość.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Część a)** Wzór $P(m) = \\dfrac{m^2}{m-4}$ - dowód poniżej.\n\n**Część b)** Minimum funkcji $P$ osiągane jest dla $\\mathbf{m = 8}$, minimalna wartość to $P(8) = 16$. Równanie prostej $BC$: $\\mathbf{2x + 5y - 16 = 0}$.\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie C z warunku kolinearności, pochodna do minimum\n\n### Część a) - dowód wzoru na pole\n\n**Krok 1: Wyznaczenie $C$.**\n\nWierzchołek $C$ leży na prostej $y = -2x$, więc $C = (t,\\, -2t)$ dla pewnego $t$.\n\nPunkt $D = (3, 2)$ leży na boku $BC$, gdzie $B = (m, 0)$. Trzy punkty $B, D, C$ muszą być współliniowe.\n\nParametryczna prosta przez $B = (m, 0)$ i $D = (3, 2)$ - wektor kierunkowy: $[3-m,\\; 2]$:\n\\[\\text{Punkt ogólny: } (m + s(3-m),\\; 2s)\\]\n\nDla punktu $C = (t, -2t)$:\n\\[2s = -2t \\implies s = -t\\]\n\\[t = m + (-t)(3-m) = m - 3t + mt\\]\n\nPrzenosimy $t$ na lewą stronę:\n\\[t + 3t - mt = m \\implies t(4-m) = m \\implies \\boxed{t = \\frac{m}{4-m} = -\\frac{m}{m-4}}\\]\n\nZatem:\n\\[C = \\left(-\\frac{m}{m-4},\\; \\frac{2m}{m-4}\\right)\\]\n\n**Sprawdzenie:** $-2 \\cdot \\left(-\\frac{m}{m-4}\\right) = \\frac{2m}{m-4}$ ✓ ($C$ leży na $y = -2x$)\n\nDla $m > 4$: $C_x < 0 < 3 < m$, więc $D$ faktycznie leży **między** $B$ i $C$. ✓\n\n**Krok 2: Obliczenie pola.**\n\nPodstawa trójkąta $ABC$: odcinek $AB$ na osi $Ox$, długość $|AB| = m$.\n\nWysokość z $C$ do osi $Ox$ (prostej $AB$):\n\\[h = |C_y| = \\frac{2m}{m-4} \\quad (> 0, \\text{ bo } m > 4)\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\frac{2m}{m-4} = \\frac{m^2}{m-4}\\]\n\n**Co należało dowieść. $\\square$**\n\n### Część b) - minimum funkcji $P(m) = \\dfrac{m^2}{m-4}$\n\n**Krok 1: Pochodna.**\n\\[P'(m) = \\frac{2m(m-4) - m^2 \\cdot 1}{(m-4)^2} = \\frac{2m^2 - 8m - m^2}{(m-4)^2} = \\frac{m^2 - 8m}{(m-4)^2} = \\frac{m(m-8)}{(m-4)^2}\\]\n\n**Krok 2: Miejsca zerowe pochodnej.**\n\n$(m-4)^2 > 0$ zawsze, $m > 4 > 0$, więc $P'(m) = 0$ gdy $m - 8 = 0$:\n\\[m = 8\\]\n\n**Krok 3: Analiza znaku $P'$.**\n\n| Przedział | $m$ | $m-8$ | $P'(m)$ | Monotoniczność |\n| $(4, 8)$ | $+$ | $-$ | $-$ | malejąca |\n| $(8, +\\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | rosnąca |\n\n$P$ maleje, potem rośnie → **minimum w $m = 8$**.\n\n\\[P(8) = \\frac{8^2}{8-4} = \\frac{64}{4} = \\mathbf{16}\\]\n\n**Krok 4: Równanie prostej $BC$ przy $m = 8$.**\n\nDla $m = 8$:\n\\[t = -\\frac{8}{8-4} = -\\frac{8}{4} = -2 \\implies C = (-2,\\; 4)\\]\n\nSprawdzenie: $y = -2 \\cdot (-2) = 4$ ✓\n\nProsta przez $B = (8, 0)$ i $C = (-2, 4)$:\n\\[a = \\frac{4-0}{-2-8} = \\frac{4}{-10} = -\\frac{2}{5}\\]\n\\[y - 0 = -\\frac{2}{5}(x - 8) \\implies y = -\\frac{2}{5}x + \\frac{16}{5}\\]\n\nMnożąc przez $5$:\n\\[\\boxed{2x + 5y - 16 = 0}\\]\n\n**Weryfikacja $D \\in BC$:** $2 \\cdot 3 + 5 \\cdot 2 - 16 = 6 + 10 - 16 = 0$ ✓\n\n## Sposób 2 - nierówność AM-GM do minimum (część b)\n\nDla $m > 4$ podstawiamy $u = m - 4 > 0$, czyli $m = u + 4$:\n\\[P = \\frac{(u+4)^2}{u} = \\frac{u^2 + 8u + 16}{u} = u + 8 + \\frac{16}{u}\\]\n\nStosujemy **nierówność AM-GM** do wyrazów $u$ i $\\dfrac{16}{u}$:\n\\[u + \\frac{16}{u} \\geq 2\\sqrt{u \\cdot \\frac{16}{u}} = 2\\sqrt{16} = 8\\]\n\nZatem:\n\\[P = u + \\frac{16}{u} + 8 \\geq 8 + 8 = 16\\]\n\nRówność zachodzi gdy $u = \\dfrac{16}{u}$, czyli $u^2 = 16$, $u = 4$ (bo $u > 0$).\n\n\\[u = 4 \\implies m = u + 4 = 8\\]\n\n**Minimum $P = 16$ dla $m = 8$** - ten sam wynik co Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWzór na pole trójkąta ze współrzędnych (alternatywnie):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżywamy prostszego faktu: $A, B$ na osi $Ox$ → wysokość $= |C_y|$.\n\nRównanie kierunkowe prostej $y = ax + b$ - wyznaczyliśmy prostą $BC$ ze współczynnikiem $a = -\\frac{2}{5}$.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)**\n\nReguła ilorazu:\n\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia $P'(m)$.\n\nPochodna $x^r$: $(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}$ - przy różniczkowaniu licznika $m^2$.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu $t$ łatwo się pomylić w kierunku: pamiętaj, że $m > 4$, więc $4 - m < 0$, a co za tym idzie $t < 0$, czyli $C$ leży po **lewej stronie** osi $Oy$. To jest poprawne - trójkąt istnieje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu pochodnej ilorazu $\\frac{m^2}{m-4}$ często uczniowie zapominają odjąć $1$ (pochodna mianownika) i piszą błędnie $P'(m) = \\frac{2m}{1} = 2m$. Zawsze sprawdź regułę ilorazu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 (AM-GM) nierówność $u + \\frac{16}{u} \\geq 8$ daje minimum tylko dla $u > 0$. Gdybyś zapomniał podstawić z powrotem $m = u + 4$, dostałbyś błędny wynik $m = 4$ - ale $m = 4$ jest poza dziedziną!\n\n### Analiza zadania\n\\(A=(0,0)\\), \\(B=(m,0)\\), \\(C\\) na prostej \\(y=-2x\\), \\(D=(3,2)\\) na odcinku \\(BC\\). Pole \\(P(m)=\\dfrac{1}{2}|AB|\\cdot h\\), gdzie \\(h\\) = wysokość z \\(C\\) na prostą \\(AB\\) (oś \\(OX\\)).\n\n### Część a) - dowód wzoru\n\n**Sposób 1.** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(BD\\) (bo \\(D\\in BC\\), więc \\(BD\\) = część \\(BC\\)):\n\\[a_{BD}=\\dfrac{2-0}{3-m}=\\dfrac{2}{3-m}\\]\n\nProsta \\(BD\\): \\(y=\\dfrac{2}{3-m}(x-m)\\).\n\nPunkt \\(C=(x_{C},y_{C})\\) jest przecięciem \\(BC\\) z \\(y=-2x\\):\n\\[\\dfrac{2}{3-m}(x_{C}-m)=-2x_{C}\\]\n\\[\\dfrac{2(x_{C}-m)}{3-m}=-2x_{C}\\]\n\\[\\dfrac{x_{C}-m}{3-m}=-x_{C}\\]\n\\[x_{C}-m=-x_{C}(3-m)=-3x_{C}+mx_{C}\\]\n\\[x_{C}+3x_{C}-mx_{C}=m\\]\n\\[x_{C}(4-m)=m\\]\n\\[x_{C}=\\dfrac{m}{4-m}\\]\n\nWtedy \\(y_{C}=-2x_{C}=\\dfrac{-2m}{4-m}=\\dfrac{2m}{m-4}\\).\n\nPodstawa \\(|AB|=m\\), wysokość \\(h=|y_{C}|=\\left|\\dfrac{2m}{m-4}\\right|\\). Dla \\(m>4\\): \\(h=\\dfrac{2m}{m-4}\\).\n\n\\[P(m)=\\dfrac{1}{2}\\cdot m\\cdot\\dfrac{2m}{m-4}=\\dfrac{m^{2}}{m-4}\\]\n\nTo należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Część b) - minimum funkcji \\(P\\)\n\n**Sposób 1 - pochodna.**\nKorzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu (dział XIII):\n\\[P'(m)=\\dfrac{2m(m-4)-m^{2}\\cdot 1}{(m-4)^{2}}=\\dfrac{m^{2}-8m}{(m-4)^{2}}=\\dfrac{m(m-8)}{(m-4)^{2}}\\]\n\nMiejsca zerowe w \\((4,+\\infty)\\): \\(m=8\\) (bo \\(m=0\\notin(4,+\\infty)\\)).\n\nZnak pochodnej:\n- dla \\(m\\in(4,8)\\): \\(m>0\\), \\(m-8<0\\), mianownik \\(>0\\), więc \\(P'<0\\) (malejąca)\n- dla \\(m\\in(8,+\\infty)\\): \\(P'>0\\) (rosnąca)\n\nZatem \\(m=8\\) daje minimum globalne na \\((4,+\\infty)\\). Wartość najmniejsza:\n\\[P(8)=\\dfrac{64}{4}=16\\]\n\n**Wyznaczenie prostej \\(BC\\) dla \\(m=8\\).**\nDla \\(m=8\\): \\(B=(8,0)\\), \\(D=(3,2)\\). Prosta przez te punkty:\n\\[a_{BD}=\\dfrac{2-0}{3-8}=-\\dfrac{2}{5}\\]\n\\[y=-\\dfrac{2}{5}(x-8)=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(m=8\\); \\(y=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\).**\n\n**Sposób 2 - nierówność AM-GM.**\nPrzekształcamy: \\(\\dfrac{m^{2}}{m-4}=\\dfrac{(m-4)^{2}+8(m-4)+16}{m-4}=(m-4)+8+\\dfrac{16}{m-4}\\).\n\nDla \\(m>4\\), liczby \\(m-4\\) i \\(\\dfrac{16}{m-4}\\) są dodatnie. Z AM-GM:\n\\[(m-4)+\\dfrac{16}{m-4}\\geq 2\\sqrt{16}=8\\]\n\nz równością gdy \\((m-4)^{2}=16\\), czyli \\(m-4=4\\Rightarrow m=8\\).\n\nWięc \\(P(m)\\geq 8+8=16\\), równość dla \\(m=8\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **Część a) - 3 pkt**: 3 pkt za wyznaczenie \\(P(m)=\\dfrac{m^{2}}{m-4}\\); 2 pkt za wyznaczenie \\(x_{C}\\) lub \\(y_{C}\\); 1 pkt za wyznaczenie współczynnika kierunkowego \\(BD=\\dfrac{2}{3-m}\\).\n- **Część b) - 4 pkt**: 4 pkt za \\(y=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\); 3 pkt za zbadanie znaku pochodnej i wyznaczenie \\(m=8\\); 2 pkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej; 1 pkt za wyznaczenie wzoru pochodnej.\n- **Uwagi CKE**: Akceptujemy monotoniczność opisaną słownie, graficznie lub strzałkami. Jeśli zdający nie ograniczy się do przedziału \\((4,+\\infty)\\), to za część b) max \\(3\\) pkt. Jeśli wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest najmniejsze, to max \\(3\\) pkt.\n\n**Trik:** Gdy funkcja ma postać \\(\\dfrac{m^{2}}{m-a}\\), można zawsze przedstawić ją jako \\((m-a)+2a+\\dfrac{a^{2}}{m-a}\\) i użyć AM-GM - to daje wynik błyskawicznie, bez pochodnej.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rozważamy trójkąty \\(ABC\\), w których \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (m, 0)\\), gdzie \\(m \\in (4, +\\infty)\\), a wierzchołek \\(C\\) leży na prostej o równaniu \\(y = -2x\\). Na boku \\(BC\\) tego trójkąta leży punkt \\(D = (3, 2)\\).

\n

a) Wykaż, że dla \\(m \\in (4, +\\infty)\\) pole \\(P\\) trójkąta \\(ABC\\), jako funkcja zmiennej \\(m\\), wyraża się wzorem
\\[P(m) = \\frac{m^{2}}{m - 4}\\]

\n

b) Oblicz tę wartość \\(m\\), dla której funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej \\(BC\\), przy której funkcja \\(P\\) osiąga tę najmniejszą wartość.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Część a) Wzór $P(m) = \\dfrac{m^2}{m-4}$ - dowód poniżej.

\n

Część b) Minimum funkcji $P$ osiągane jest dla $\\mathbf{m = 8}$, minimalna wartość to $P(8) = 16$. Równanie prostej $BC$: $\\mathbf{2x + 5y - 16 = 0}$.

\n

Sposób 1 - wyznaczenie C z warunku kolinearności, pochodna do minimum

\n
Część a) - dowód wzoru na pole
\n

Krok 1: Wyznaczenie $C$.

\n

Wierzchołek $C$ leży na prostej $y = -2x$, więc $C = (t,\\, -2t)$ dla pewnego $t$.

\n

Punkt $D = (3, 2)$ leży na boku $BC$, gdzie $B = (m, 0)$. Trzy punkty $B, D, C$ muszą być współliniowe.

\n

Parametryczna prosta przez $B = (m, 0)$ i $D = (3, 2)$ - wektor kierunkowy: $[3-m,\\; 2]$:
\\[\\text{Punkt ogólny: } (m + s(3-m),\\; 2s)\\]

\n

Dla punktu $C = (t, -2t)$:
\\[2s = -2t \\implies s = -t\\]
\\[t = m + (-t)(3-m) = m - 3t + mt\\]

\n

Przenosimy $t$ na lewą stronę:
\\[t + 3t - mt = m \\implies t(4-m) = m \\implies \\boxed{t = \\frac{m}{4-m} = -\\frac{m}{m-4}}\\]

\n

Zatem:
\\[C = \\left(-\\frac{m}{m-4},\\; \\frac{2m}{m-4}\\right)\\]

\n

Sprawdzenie: $-2 \\cdot \\left(-\\frac{m}{m-4}\\right) = \\frac{2m}{m-4}$ ✓ ($C$ leży na $y = -2x$)

\n

Dla $m > 4$: $C_x < 0 < 3 < m$, więc $D$ faktycznie leży między $B$ i $C$. ✓

\n

Krok 2: Obliczenie pola.

\n

Podstawa trójkąta $ABC$: odcinek $AB$ na osi $Ox$, długość $|AB| = m$.

\n

Wysokość z $C$ do osi $Ox$ (prostej $AB$):
\\[h = |C_y| = \\frac{2m}{m-4} \\quad (> 0, \\text{ bo } m > 4)\\]

\n

Pole:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\frac{2m}{m-4} = \\frac{m^2}{m-4}\\]

\n

Co należało dowieść. $\\square$

\n
Część b) - minimum funkcji $P(m) = \\dfrac{m^2}{m-4}$
\n

Krok 1: Pochodna.
\\[P'(m) = \\frac{2m(m-4) - m^2 \\cdot 1}{(m-4)^2} = \\frac{2m^2 - 8m - m^2}{(m-4)^2} = \\frac{m^2 - 8m}{(m-4)^2} = \\frac{m(m-8)}{(m-4)^2}\\]

\n

Krok 2: Miejsca zerowe pochodnej.

\n

$(m-4)^2 > 0$ zawsze, $m > 4 > 0$, więc $P'(m) = 0$ gdy $m - 8 = 0$:
\\[m = 8\\]

\n

Krok 3: Analiza znaku $P'$.

\n

| Przedział | $m$ | $m-8$ | $P'(m)$ | Monotoniczność |
| $(4, 8)$ | $+$ | $-$ | $-$ | malejąca |
| $(8, +\\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | rosnąca |

\n

$P$ maleje, potem rośnie → minimum w $m = 8$.

\n

\\[P(8) = \\frac{8^2}{8-4} = \\frac{64}{4} = \\mathbf{16}\\]

\n

Krok 4: Równanie prostej $BC$ przy $m = 8$.

\n

Dla $m = 8$:
\\[t = -\\frac{8}{8-4} = -\\frac{8}{4} = -2 \\implies C = (-2,\\; 4)\\]

\n

Sprawdzenie: $y = -2 \\cdot (-2) = 4$ ✓

\n

Prosta przez $B = (8, 0)$ i $C = (-2, 4)$:
\\[a = \\frac{4-0}{-2-8} = \\frac{4}{-10} = -\\frac{2}{5}\\]
\\[y - 0 = -\\frac{2}{5}(x - 8) \\implies y = -\\frac{2}{5}x + \\frac{16}{5}\\]

\n

Mnożąc przez $5$:
\\[\\boxed{2x + 5y - 16 = 0}\\]

\n

Weryfikacja $D \\in BC$: $2 \\cdot 3 + 5 \\cdot 2 - 16 = 6 + 10 - 16 = 0$ ✓

\n

Sposób 2 - nierówność AM-GM do minimum (część b)

\n

Dla $m > 4$ podstawiamy $u = m - 4 > 0$, czyli $m = u + 4$:
\\[P = \\frac{(u+4)^2}{u} = \\frac{u^2 + 8u + 16}{u} = u + 8 + \\frac{16}{u}\\]

\n

Stosujemy nierówność AM-GM do wyrazów $u$ i $\\dfrac{16}{u}$:
\\[u + \\frac{16}{u} \\geq 2\\sqrt{u \\cdot \\frac{16}{u}} = 2\\sqrt{16} = 8\\]

\n

Zatem:
\\[P = u + \\frac{16}{u} + 8 \\geq 8 + 8 = 16\\]

\n

Równość zachodzi gdy $u = \\dfrac{16}{u}$, czyli $u^2 = 16$, $u = 4$ (bo $u > 0$).

\n

\\[u = 4 \\implies m = u + 4 = 8\\]

\n

Minimum $P = 16$ dla $m = 8$ - ten sam wynik co Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Wzór na pole trójkąta ze współrzędnych (alternatywnie):
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Używamy prostszego faktu: $A, B$ na osi $Ox$ → wysokość $= |C_y|$.

\n

Równanie kierunkowe prostej $y = ax + b$ - wyznaczyliśmy prostą $BC$ ze współczynnikiem $a = -\\frac{2}{5}$.

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)

\n

Reguła ilorazu:
\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia $P'(m)$.

\n

Pochodna $x^r$: $(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}$ - przy różniczkowaniu licznika $m^2$.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu $t$ łatwo się pomylić w kierunku: pamiętaj, że $m > 4$, więc $4 - m < 0$, a co za tym idzie $t < 0$, czyli $C$ leży po lewej stronie osi $Oy$. To jest poprawne - trójkąt istnieje.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu pochodnej ilorazu $\\frac{m^2}{m-4}$ często uczniowie zapominają odjąć $1$ (pochodna mianownika) i piszą błędnie $P'(m) = \\frac{2m}{1} = 2m$. Zawsze sprawdź regułę ilorazu!
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 (AM-GM) nierówność $u + \\frac{16}{u} \\geq 8$ daje minimum tylko dla $u > 0$. Gdybyś zapomniał podstawić z powrotem $m = u + 4$, dostałbyś błędny wynik $m = 4$ - ale $m = 4$ jest poza dziedziną!
\n
Analiza zadania
\n

\\(A=(0,0)\\), \\(B=(m,0)\\), \\(C\\) na prostej \\(y=-2x\\), \\(D=(3,2)\\) na odcinku \\(BC\\). Pole \\(P(m)=\\dfrac{1}{2}|AB|\\cdot h\\), gdzie \\(h\\) = wysokość z \\(C\\) na prostą \\(AB\\) (oś \\(OX\\)).

\n
Część a) - dowód wzoru
\n

Sposób 1. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(BD\\) (bo \\(D\\in BC\\), więc \\(BD\\) = część \\(BC\\)):
\\[a_{BD}=\\dfrac{2-0}{3-m}=\\dfrac{2}{3-m}\\]

\n

Prosta \\(BD\\): \\(y=\\dfrac{2}{3-m}(x-m)\\).

\n

Punkt \\(C=(x_{C},y_{C})\\) jest przecięciem \\(BC\\) z \\(y=-2x\\):
\\[\\dfrac{2}{3-m}(x_{C}-m)=-2x_{C}\\]
\\[\\dfrac{2(x_{C}-m)}{3-m}=-2x_{C}\\]
\\[\\dfrac{x_{C}-m}{3-m}=-x_{C}\\]
\\[x_{C}-m=-x_{C}(3-m)=-3x_{C}+mx_{C}\\]
\\[x_{C}+3x_{C}-mx_{C}=m\\]
\\[x_{C}(4-m)=m\\]
\\[x_{C}=\\dfrac{m}{4-m}\\]

\n

Wtedy \\(y_{C}=-2x_{C}=\\dfrac{-2m}{4-m}=\\dfrac{2m}{m-4}\\).

\n

Podstawa \\(|AB|=m\\), wysokość \\(h=|y_{C}|=\\left|\\dfrac{2m}{m-4}\\right|\\). Dla \\(m>4\\): \\(h=\\dfrac{2m}{m-4}\\).

\n

\\[P(m)=\\dfrac{1}{2}\\cdot m\\cdot\\dfrac{2m}{m-4}=\\dfrac{m^{2}}{m-4}\\]

\n

To należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)

\n
Część b) - minimum funkcji \\(P\\)
\n

Sposób 1 - pochodna.
Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu (dział XIII):
\\[P'(m)=\\dfrac{2m(m-4)-m^{2}\\cdot 1}{(m-4)^{2}}=\\dfrac{m^{2}-8m}{(m-4)^{2}}=\\dfrac{m(m-8)}{(m-4)^{2}}\\]

\n

Miejsca zerowe w \\((4,+\\infty)\\): \\(m=8\\) (bo \\(m=0\\notin(4,+\\infty)\\)).

\n

Znak pochodnej:

\n\n

Zatem \\(m=8\\) daje minimum globalne na \\((4,+\\infty)\\). Wartość najmniejsza:
\\[P(8)=\\dfrac{64}{4}=16\\]

\n

Wyznaczenie prostej \\(BC\\) dla \\(m=8\\).
Dla \\(m=8\\): \\(B=(8,0)\\), \\(D=(3,2)\\). Prosta przez te punkty:
\\[a_{BD}=\\dfrac{2-0}{3-8}=-\\dfrac{2}{5}\\]
\\[y=-\\dfrac{2}{5}(x-8)=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\]

\n

Odpowiedź: \\(m=8\\); \\(y=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\).

\n

Sposób 2 - nierówność AM-GM.
Przekształcamy: \\(\\dfrac{m^{2}}{m-4}=\\dfrac{(m-4)^{2}+8(m-4)+16}{m-4}=(m-4)+8+\\dfrac{16}{m-4}\\).

\n

Dla \\(m>4\\), liczby \\(m-4\\) i \\(\\dfrac{16}{m-4}\\) są dodatnie. Z AM-GM:
\\[(m-4)+\\dfrac{16}{m-4}\\geq 2\\sqrt{16}=8\\]

\n

z równością gdy \\((m-4)^{2}=16\\), czyli \\(m-4=4\\Rightarrow m=8\\).

\n

Więc \\(P(m)\\geq 8+8=16\\), równość dla \\(m=8\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Gdy funkcja ma postać \\(\\dfrac{m^{2}}{m-a}\\), można zawsze przedstawić ją jako \\((m-a)+2a+\\dfrac{a^{2}}{m-a}\\) i użyć AM-GM - to daje wynik błyskawicznie, bez pochodnej.

"}]}