Zadanie 2. (0-3)
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo
wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1
4 .
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu
partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.
2.
0-1-
2-3
MMAP-R0_100
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1/4. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Zadanie 2. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.R2) stosuje schemat Bernoullego.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1
64 .
2 pkt - zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech
sukcesów w pięciu próbach Bernoullego, np. 𝑃= (5
4)
4
⋅(3
4)
1
4)
5
,
𝑃= 5 ⋅(1
4)
4
⋅3
4 + (1
4)
5
,
𝑃= 1 -[(5
4)
0
⋅(3
4)
5
4)
1
⋅(3
4)
4
4)
2
⋅(3
4)
3
4)
3
⋅(3
4)
1
]
1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej
partii: 𝑝= 1
4 , 𝑞= 3
4
ALBO
prawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, 𝑞 - porażki,
ALBO
odpowiadające pięciu wygranym i czterem wygranym,
ALBO
wygranym i jednej przegranej oraz określenie na każdym odcinku gałęzi
prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
4)
4
⋅(3
4)
1
oraz
𝑃(𝑆5
4)
5
, ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że 𝑃= 𝑃(𝑆5
5), to
otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
zadanie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Określamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej partii: 𝑝= 1
4 ,
𝑞= 1 -𝑝= 3
4 .
Niech 𝑆5
𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wygraniu przez Tomka dokładnie 𝑘 partii
spośród pięciu rozgrywanych (𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}).
Obliczamy prawdopodobieństwo 𝑃 wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu
partii:
𝑃= 𝑃(𝑆5
4)
4
⋅(3
4)
1
4)
5
= 5 ⋅3 + 1
45
= 16
45 = 1
64
Sposób II (poprzez drzewo)
Określamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej partii: 𝑝= 1
4 ,
𝑞= 1 -𝑝= 3
4 .
Rysujemy fragment drzewa doświadczenia, zawierający wszystkie gałęzie odpowiadające
czterem oraz pięciu wygranym przez Tomka partiom.
Symbol 𝑇 odpowiada partii wygranej przez Tomka, natomiast 𝑅 - partii, której Tomek nie
wygrał. Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że Tomek wygrał co najmniej
cztery spośród pięciu partii.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
4 ∙1
4 ∙1
4 ∙1
4 ∙1
4 + 5 ∙3
4 ∙1
4 ∙1
4 ∙1
4 ∙1
4 =
16
1024 = 1
64
Sposób III (przez zdarzenie przeciwne)
Określamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej partii: 𝑝= 1
4 ,
𝑞= 1 -𝑝= 3
4 .
Niech 𝑆5
𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wygraniu przez Tomka dokładnie 𝑘 partii
spośród pięciu rozgrywanych (𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}).
1
4
3
4
𝑇
𝑅
1
4
1
4
3
4
𝑇
𝑅
𝑇
𝑇
𝑅
𝑇
𝑇
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
𝑇
𝑅
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑅
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴′ - przeciwnego do zdarzenia 𝐴. Zdarzenie 𝐴′
odpowiada co najwyżej trzem wygranym przez Tomka partiom.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴′ jest równe
𝑃(𝐴′) = 𝑃(𝑆5
= (5
\n4)
0
⋅(3
4)
5
4)
1
⋅(3
4)
4
4)
2
⋅(3
4)
3
4)
3
⋅(3
4)
2
= 9 ∙112
45
= 63
64
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 - tj. wygrania przez Tomka co najmniej czterech
z pięciu partii, jest równe
𝑃(𝐴) = 1 -𝑃(𝐴′) = 1 -63
64 = 1
64
Odpowiedź: $P = \\frac{1}{64}$ Schemat Bernoulliego: $P(\\geq 4) = P(4) + P(5) = \\binom{5}{4} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^4 \\left(\\frac{3}{4}\\right) + \\binom{5}{5} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^5 = \\frac{15}{1024} + \\frac{1}{1024} = \\frac{16}{1024} = \\frac{1}{64}$.
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nSchemat Bernoulliego: $n = 5$ niezależnych prób, $p = \\frac{1}{4}$ (sukces = wygrana Tomka), $q = 1-p = \\frac{3}{4}$. Szukamy $P(X \\geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$.
\nWzór na prawdopodobieństwo $k$ sukcesów w $n$ próbach:
\n$$P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$
\nOblicz $P(X = 4)$:
\n$$P(X = 4) = \\binom{5}{4} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^4 \\left(\\frac{3}{4}\\right)^1 = 5 \\cdot \\frac{1}{256} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{15}{1024}$$
\nOblicz $P(X = 5)$:
\n$$P(X = 5) = \\binom{5}{5} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^5 \\left(\\frac{3}{4}\\right)^0 = 1 \\cdot \\frac{1}{1024} \\cdot 1 = \\frac{1}{1024}$$
\nSuma:
\n$$P(X \\geq 4) = \\frac{15}{1024} + \\frac{1}{1024} = \\frac{16}{1024} = \\frac{1}{64}$$
\nPo co to umieć
\nSchemat Bernoulliego dotyczy ciągu niezależnych prób z dwoma wynikami (sukces/porażka) i stałym prawdopodobieństwem $p$. Wzór:
\n$$P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
\n„Co najmniej $k$" = suma wszystkich $P(X = k), P(X = k+1), \\ldots, P(X = n)$.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie przypadku 5 wygranych — „co najmniej 4" obejmuje 4 i 5. Drugi błąd: brak współczynnika dwumianowego $\\binom{5}{4} = 5$ (zlicza, na które partie wypadają wygrane).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Długość wektora \\(\\vec{u} - 4\\vec{v}\\) wynosi 17.
\nKrok 1: Oblicz \\(4\\vec{v}\\)
\n\\[4\\vec{v} = 4 \\cdot [-1, -5] = [-4, -20]\\]
\nMnożymy każdą współrzędną przez \\(4\\).
\nKrok 2: Oblicz \\(\\vec{u} - 4\\vec{v}\\)
\n\\[\\vec{u} - 4\\vec{v} = [4, -5] - [-4, -20] = [4 - (-4),\\ -5 - (-20)] = [8, 15]\\]
\nUwaga: odejmujemy od \\(\\vec{u}\\) wektor \\(4\\vec{v}\\) - pamiętaj o zamianie znaków!
\nKrok 3: Oblicz długość wektora \\([8, 15]\\)
\n\\[|\\vec{u} - 4\\vec{v}| = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = \\mathbf{17}\\]
\nZauważ, że \\(8\\), \\(15\\), \\(17\\) to pitagorejska trójka liczb! Wynik jest "ładną" liczbą całkowitą - to wskazuje, że obliczenia poszły dobrze.
\nPo wyznaczeniu wektora wynikowego \\([8, 15]\\) możemy zweryfikować bez kalkulatora:
\nSzukamy, czy \\(8\\), \\(15\\), \\(c\\) tworzy trójkąt prostokątny:
\n\\[c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\\]
\nPonieważ \\(289 = 17^2\\), wynik to dokładnie \\(17\\) - bez zaokrągleń.
\nWarto zapamiętać trójki pitagorejskie przydatne na maturze:
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość wektora:
\n\\[|\\vec{u}| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\\]
\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 3, podstawiając współrzędne obliczonego wektora \\([8, 15]\\).
\nKarta wzorów podaje też definicję wektora \\(\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\) - operacje na wektorach (mnożenie przez skalar, odejmowanie) wykonujemy składową po składowej, co zastosowaliśmy w Krokach 1-2.
\n| Odpowiedź | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Obliczenie \\(\\vec{u} + 4\\vec{v}\\) zamiast \\(\\vec{u} - 4\\vec{v}\\): \\([4-4,\\ -5-20] = [0, -25]\\), długość \\(= 25\\) |
| B | Zapomniano pomnożyć \\(\\vec{v}\\) przez 4 - policzono \\(\\vec{u} - \\vec{v} = [5, 0]\\), długość \\(= 5\\) |
| D | Pomylono kolejność: obliczono \\(4\\vec{u} - \\vec{v} = [17, -15]\\), długość \\(= \\sqrt{514}\\) |
⚠️ Uwaga: Odejmowanie wektora \\(4\\vec{v} = [-4, -20]\\) to dodanie \\([4, 20]\\) - łatwo zgubić znak przy \\(-(-20) = +20\\). Pisz pośredni krok!\n
⚠️ Uwaga: Nie mnóż długości wektorów zamiast samych wektorów! \\(|\\vec{u} - 4\\vec{v}| \\neq |\\vec{u}| - 4|\\vec{v}|\\) - to błąd koncepcyjny (długość różnicy ≠ różnica długości).\n
⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw wyznacz współrzędne wektora wynikowego, a dopiero potem licz jego długość - nie "na skróty".\n
Musimy obliczyć \\(\\vec{u}-4\\vec{v}\\), a następnie długość otrzymanego wektora.
\nMnożenie wektora przez liczbę i odejmowanie (karta wzorów, dział X):
\\[4\\vec{v} = 4\\cdot[-1,-5] = [-4,-20]\\]
\\[\\vec{u}-4\\vec{v} = [4,-5]-[-4,-20] = [4-(-4),\\, -5-(-20)] = [8, 15]\\]
Długość wektora \\([a,b]\\) to \\(\\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\):
\\[|\\vec{u}-4\\vec{v}| = \\sqrt{8^{2}+15^{2}} = \\sqrt{64+225} = \\sqrt{289} = 17\\]
Odpowiedź: C
\nWspółrzędne \\([8,15]\\) to klasyczna trójka pitagorejska \\((8,15,17)\\), więc od razu wiemy, że długość wynosi \\(17\\).
\nTrik: Warto zapamiętać trójki pitagorejskie: \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((8,15,17)\\), \\((7,24,25)\\), \\((20,21,29)\\) - często pojawiają się w zadaniach z wektorów i geometrii.
\nPoprawna odpowiedź: C
\nAby obliczyć długość wektora \\(u⃗ - 4v\\), musimy najpierw znaleźć wektor \\(u⃗ - 4v\\), a następnie obliczyć jego długość (normę).
\nKrok 1: Obliczenie wektora \\(u⃗ - 4v\\).
\\[ u⃗ - 4v = [4, -5] - 4[-1, -5] = [4, -5] + [4, 20] = [8, 15] \\]
Krok 2: Obliczenie długości wektora [8, 15].
Długość wektora \\(v⃗ = [x₁, y₁]\\) jest obliczana za pomocą wzoru: \\(||v⃗|| = \\sqrt{x₁² + y₁²}\\).
\\[ ||u⃗ - 4v|| = \\sqrt{8² + 15²} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17 \\]
📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15
\nDługość wektora \\(v⃗ = [x₁, y₁]\\) jest również definiowana jako \\(||v⃗|| = \\sqrt{x₁² + y₁²}\\). Możemy użyć tego wzoru bezpośrednio.
\nKrok 1: Obliczenie długości wektorów \\(u⃗\\) i \\(v\\).
\\[ ||u⃗|| = \\sqrt{4² + (-5)²} = \\sqrt{16 + 25} = \\sqrt{41} \\]
\\[ ||v|| = \\sqrt{(-1)² + (-5)²} = \\sqrt{1 + 25} = \\sqrt{26} \\]
Krok 2: Obliczenie długości wektora \\(u⃗ - 4v\\).
\\[ ||u⃗ - 4v|| = \\sqrt{(8)² + (15)²} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17 \\]
📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15
\nW obu sposobach otrzymaliśmy długość wektora \\(u⃗ - 4v\\) równą 17.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\\\dfrac{1}{64}$
"}]}