{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2-2𝑥\n𝑥2+2𝑥+8 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nPunkt 𝑃= (𝑥0 , 3) należy do wykresu funkcji 𝑓.\nOblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 3x^2-2x / x^2+2x+8 dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt P=(x_0,3) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = -3 oraz 𝑦= -8\n11 𝑥+ 9\n11\n(lub 𝑦= -8\n11 (𝑥+ 3) + 3).\n2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = -3 oraz\n𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)\n(𝑥2+2𝑥+8)\n2\n1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = -3\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)\n(𝑥2+2𝑥+8)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n3 =\n3𝑥0\n2 -2𝑥0\n𝑥0\n2 + 2𝑥0 + 8\n3𝑥0\n2 + 6𝑥0 + 24 = 3𝑥0\n2 -2𝑥0\n𝑥0 = -3\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 8) -(3𝑥2 -2𝑥)(2𝑥+ 2)\n(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓′(𝑥) = 8𝑥2 + 48𝑥-16\n(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2\nWyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓\nw punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(-3) = -8\n11\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n3 = -8\n11 ∙(-3) + 𝑏\n𝑏= 9\n11\nStyczna ma równanie 𝑦= -8\n11 𝑥+ 9\n11 .","solution":"Odpowiedź: $x_0 = -3$, $f'(-3) = -\\frac{8}{11}$ **Styczna:** $y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n(1) Znajdź $x_0$ z warunku $f(x_0) = 3$.\n(2) Wylicz pochodną $f'(x_0)$ — to współczynnik kierunkowy stycznej.\n(3) Napisz równanie stycznej.\n\nZnajdź $x_0$:\n\n$$3 = \\frac{3x_0^2 - 2x_0}{x_0^2 + 2x_0 + 8}$$\n\nPomnóż obie strony przez mianownik:\n\n$$3(x_0^2 + 2x_0 + 8) = 3x_0^2 - 2x_0$$\n$$3x_0^2 + 6x_0 + 24 = 3x_0^2 - 2x_0$$\n$$8x_0 = -24$$\n$$x_0 = -3$$\n\nWylicz pochodną (wzór na iloraz). Oznacz $u = 3x^2 - 2x$, $v = x^2 + 2x + 8$:\n\n$$u' = 6x - 2 \\quad v' = 2x + 2$$\n\n$$f'(x) = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$\n\nWstaw $x = -3$:\n\n$$u(-3) = 27 + 6 = 33, \\quad v(-3) = 9 - 6 + 8 = 11$$\n$$u'(-3) = -20, \\quad v'(-3) = -4$$\n\n$$f'(-3) = \\frac{(-20) \\cdot 11 - 33 \\cdot (-4)}{11^2} = \\frac{-220 + 132}{121} = \\frac{-88}{121}$$\n\nSkróć ($121 = 11^2$, $88 = 8 \\cdot 11$):\n\n$$f'(-3) = -\\frac{8}{11}$$\n\nWyznacz równanie stycznej. Postać: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, czyli $y - 3 = -\\frac{8}{11}(x + 3)$:\n\n$$y = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + 3 = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + \\frac{33}{11}$$\n\n$$\\boxed{y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}}$$\n\nPo co to umieć\n\nPochodna ilorazu: $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$.\n\nStyczna do wykresu w punkcie $(x_0, y_0)$:\n- współczynnik kierunkowy = $f'(x_0)$\n- równanie: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$\n\nTo podstawowy schemat dla zadań „znajdź styczną\" — pojawia się na PR matematyki rok w rok.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zła pochodna ilorazu — pomyłka w znaku lub kolejności wyrazów. Wzór: $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (różnica, nie suma!). Drugi błąd: brak skrócenia $\\frac{-88}{121}$ do $-\\frac{8}{11}$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"pochodna funkcji wymiernej, styczna do wykresu, funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2-2𝑥
𝑥2+2𝑥+8 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.
Punkt 𝑃= (𝑥0 , 3) należy do wykresu funkcji 𝑓.
Oblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.
Zapisz obliczenia.
3.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 3x^2-2x / x^2+2x+8 dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt P=(x_0,3) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Dobieranie argumentów do uzasadnienia
\n

poprawności rozwiązywania problemów,
tworzenie ciągu argumentów,
gwarantujących poprawność rozwiązania
i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań
zagadnienia.
Zdający:
XIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,
podaje interpretację geometryczną
pochodnej;
XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = -3 oraz 𝑦= -8
11 𝑥+ 9
11
(lub 𝑦= -8
11 (𝑥+ 3) + 3).
2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = -3 oraz
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)
(𝑥2+2𝑥+8)
2
1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = -3
ALBO

\n\n

(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)
(𝑥2+2𝑥+8)
2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co
najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:
3 =
3𝑥0
2 -2𝑥0
𝑥0
2 + 2𝑥0 + 8
3𝑥0
2 + 6𝑥0 + 24 = 3𝑥0
2 -2𝑥0
𝑥0 = -3
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 8) -(3𝑥2 -2𝑥)(2𝑥+ 2)
(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑓′(𝑥) = 8𝑥2 + 48𝑥-16
(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2
Wyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓
w punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:
𝑎= 𝑓′(-3) = -8
11
Obliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:
3 = -8
11 ∙(-3) + 𝑏
𝑏= 9
11
Styczna ma równanie 𝑦= -8
11 𝑥+ 9
11 .

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $x_0 = -3$, $f'(-3) = -\\frac{8}{11}$ Styczna: $y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}$

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

(1) Znajdź $x_0$ z warunku $f(x_0) = 3$.
(2) Wylicz pochodną $f'(x_0)$ — to współczynnik kierunkowy stycznej.
(3) Napisz równanie stycznej.

\n

Znajdź $x_0$:

\n

$$3 = \\frac{3x_0^2 - 2x_0}{x_0^2 + 2x_0 + 8}$$

\n

Pomnóż obie strony przez mianownik:

\n

$$3(x_0^2 + 2x_0 + 8) = 3x_0^2 - 2x_0$$
$$3x_0^2 + 6x_0 + 24 = 3x_0^2 - 2x_0$$
$$8x_0 = -24$$
$$x_0 = -3$$

\n

Wylicz pochodną (wzór na iloraz). Oznacz $u = 3x^2 - 2x$, $v = x^2 + 2x + 8$:

\n

$$u' = 6x - 2 \\quad v' = 2x + 2$$

\n

$$f'(x) = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$

\n

Wstaw $x = -3$:

\n

$$u(-3) = 27 + 6 = 33, \\quad v(-3) = 9 - 6 + 8 = 11$$
$$u'(-3) = -20, \\quad v'(-3) = -4$$

\n

$$f'(-3) = \\frac{(-20) \\cdot 11 - 33 \\cdot (-4)}{11^2} = \\frac{-220 + 132}{121} = \\frac{-88}{121}$$

\n

Skróć ($121 = 11^2$, $88 = 8 \\cdot 11$):

\n

$$f'(-3) = -\\frac{8}{11}$$

\n

Wyznacz równanie stycznej. Postać: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, czyli $y - 3 = -\\frac{8}{11}(x + 3)$:

\n

$$y = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + 3 = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + \\frac{33}{11}$$

\n

$$\\boxed{y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}}$$

\n

Po co to umieć

\n

Pochodna ilorazu: $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$.

\n

Styczna do wykresu w punkcie $(x_0, y_0)$:

\n\n

To podstawowy schemat dla zadań „znajdź styczną" — pojawia się na PR matematyki rok w rok.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: zła pochodna ilorazu — pomyłka w znaku lub kolejności wyrazów. Wzór: $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (różnica, nie suma!). Drugi błąd: brak skrócenia $\\frac{-88}{121}$ do $-\\frac{8}{11}$.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - kąt \\(DEA = 105°\\)

\n

Sposób 1 - Sumy łuków i kąt wpisany

\n

Oznaczenia łuków (miarami łuków, w kolejności punktów na okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara: \\(A, B, C, D, E\\)):

\n

\\[
\\overset{\\frown}{AB} = a, \\quad \\overset{\\frown}{BC} = b, \\quad \\overset{\\frown}{CD} = c, \\quad \\overset{\\frown}{DE} = d, \\quad \\overset{\\frown}{EA} = e
\\]
\\[
a + b + c + d + e = 360°
\\]

\n

Krok 1 - wyznaczam łuk \\(AB\\) z kąta \\(\\angle BDA = 35°\\).

\n

Kąt wpisany \\(\\angle BDA\\) jest oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BA}\\) niezawierającym punktu \\(D\\). Łuk ten to po prostu \\(\\overset{\\frown}{AB} = a\\).
\\[
\\angle BDA = \\frac{a}{2} = 35° \\implies a = 70°
\\]

\n

Krok 2 - wyznaczam \\(d + e\\) z kąta \\(\\angle BCD = 110°\\).

\n

Kąt wpisany \\(\\angle BCD\\) jest oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BD}\\) niezawierającym punktu \\(C\\). Idąc po okręgu od \\(B\\) przez \\(A, E\\) do \\(D\\) (droga z pominięciem \\(C\\)), łuk ten wynosi \\(a + e + d\\):
\\[
\\angle BCD = \\frac{a + d + e}{2} = 110° \\implies a + d + e = 220°
\\]
\\[
d + e = 220° - 70° = 150°
\\]

\n

Krok 3 - wyznaczam \\(b + c\\).
\\[
b + c = 360° - a - d - e = 360° - 220° = 140°
\\]

\n

Krok 4 - obliczam kąt \\(\\angle DEA\\).

\n

Kąt wpisany \\(\\angle DEA\\) oparty jest na łuku \\(\\overset{\\frown}{DA}\\) niezawierającym punktu \\(E\\). Idąc od \\(D\\) przez \\(C, B\\) do \\(A\\), łuk ten wynosi \\(c + b + a\\):
\\[
\\overset{\\frown}{DA} \\text{ (bez E)} = a + b + c = 70° + 140° = 210°
\\]
\\[
\\angle DEA = \\frac{210°}{2} = \\mathbf{105°}
\\]

\n

(Łuk ma miarę \\(210° > 180°\\), więc kąt wpisany jest rozwarty - to normalne.)

\n

Sposób 2 - Czworokąt wpisany \\(BCDE\\) + kąt wpisany \\(\\angle BEA\\)

\n

Krok 1 - kąt \\(\\angle DEB\\) z czworokąta cyklicznego \\(BCDE\\).

\n

Punkty \\(B, C, D, E\\) leżą na okręgu - tworzą czworokąt wpisany. W czworokącie wpisanym kąty naprzeciwległe sumują się do \\(180°\\). Kąty naprzeciwległe to \\(\\angle BCD\\) i \\(\\angle DEB\\):
\\[
\\angle BCD + \\angle DEB = 180°
\\]
\\[
\\angle DEB = 180° - 110° = 70°
\\]

\n

Krok 2 - kąt \\(\\angle BEA\\) z kąta wpisanego.

\n

Kąt \\(\\angle BEA\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(\\overset{\\frown}{BA}\\) niezawierającym \\(E\\). Z Kroku 1 Sposobu 1 wiemy, że \\(\\overset{\\frown}{AB} = a = 70°\\):
\\[
\\angle BEA = \\frac{70°}{2} = 35°
\\]

\n

Krok 3 - suma kątów (punkt \\(B\\) leży między \\(D\\) a \\(A\\) „widząc z \\(E\\)").

\n

Punkt \\(B\\) leży na łuku od \\(D\\) do \\(A\\) nie zawierającym \\(E\\), więc z punktu \\(E\\):
\\[
\\angle DEA = \\angle DEB + \\angle BEA = 70° + 35° = \\mathbf{105°}
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{\\text{łuk}}\\]
\n

Użyliśmy go w każdym kroku - do wyznaczenia łuku \\(AB\\), łuku przez \\(A,E,D\\) oraz do obliczenia kąta \\(\\angle DEA\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20) - własność czworokąta wpisanego:

\n
W czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów naprzeciwległych równają się \\(180°\\):
\\[\\alpha + \\gamma = 180°, \\quad \\beta + \\delta = 180°\\]
\n

Użyliśmy w Sposobie 2, dla czworokąta \\(BCDE\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Obliczenie \\(\\angle DEA = \\angle BCD - \\angle BDA = 110° - 35° = 75°\\) - bezzasadne odejmowanie kątów bez analizy łuków |
| C | Uznanie, że \\(\\angle DEA = \\angle BCD = 110°\\) - pomylenie kątów wpisanych opartych na różnych łukach |
| D | Obliczenie \\(\\frac{110° + 35°}{1} = 145°\\) lub \\(\\frac{220°+70°}{2} = 145°\\) - błędne zsumowanie łuków |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany może być rozwarty (powyżej \\(90°\\))! Dzieje się tak, gdy oparty jest na łuku większym niż półokrąg (\\(> 180°\\)). Nie zakładaj z góry, że kąt wpisany jest ostry.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\angle BCD = 110°\\) nie jest kątem środkowym - to kąt wpisany. Łuk \\(\\overset{\\frown}{BD}\\) (przez \\(A\\) i \\(E\\)) wynosi \\(220°\\), nie \\(110°\\). Pomylenie tych dwóch jest najczęstszym błędem w zadaniach z okręgiem.
\n
⚠️ Uwaga: Zwróć uwagę, który łuk jest subtendowany przez kąt wpisany - zawsze ten, który nie zawiera wierzchołka kąta. Przy pięciu punktach na okręgu łatwo pomylić, którą „stronę" okręgu bierzemy.
\n
Analiza zadania
\n

Pięć punktów leży na okręgu. Z zadanych kątów \\(\\angle BCD = 110^{\\circ}\\) oraz \\(\\angle BDA = 35^{\\circ}\\) mamy wyznaczyć kąt \\(\\angle DEA\\).

\n
Sposób 1 - czworokąt wpisany + kąt wpisany
\n

Zauważmy, że \\(ABCD\\) jest czworokątem wpisanym w okrąg. W takim czworokącie suma przeciwległych kątów wynosi \\(180^{\\circ}\\) (karta wzorów, dział VIII):
\\[\\angle BCD + \\angle BAD = 180^{\\circ}\\]
\\[\\angle BAD = 180^{\\circ} - 110^{\\circ} = 70^{\\circ}\\]

\n

Kąt \\(BAD\\) składa się z dwóch kątów: \\(\\angle BAD = \\angle BAE + \\angle DAE\\)? Nie - analizujemy poprawnie:

\n

Kąt \\(\\angle BDA = 35^{\\circ}\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\). Zatem kąt \\(\\angle BCA\\) też jest oparty na tym samym łuku, więc \\(\\angle BCA = 35^{\\circ}\\).

\n

Stąd \\(\\angle ACD = \\angle BCD - \\angle BCA = 110^{\\circ} - 35^{\\circ} = 75^{\\circ}\\).

\n

W czworokącie \\(ACDE\\) (pięciu punktów na okręgu) kąty \\(\\angle ACD\\) i \\(\\angle AED\\) są przeciwległymi kątami czworokąta wpisanego:
\\[\\angle DEA = 180^{\\circ} - \\angle ACD = 180^{\\circ} - 75^{\\circ} = 105^{\\circ}\\]

\n

Odpowiedź: B

\n
Sposób 2 - przez łuki
\n

Kąt wpisany opiera się na łuku, który jest dwa razy mniejszy od tego łuku. Kąt \\(\\angle BCD = 110^{\\circ}\\) opiera się na łuku \\(BAD\\) (nie zawierającym C) o mierze \\(220^{\\circ}\\).

\n

Kąt \\(\\angle BDA = 35^{\\circ}\\) opiera się na łuku \\(AB\\) (nie zawierającym D) o mierze \\(70^{\\circ}\\).

\n

Stąd łuk \\(AD\\) (po stronie nie zawierającej \\(B\\) ani \\(C\\)) ma miarę:
\\(360^{\\circ} - 220^{\\circ} - 70^{\\circ} + \\text{łuk AD od strony B} \\) Analizujemy inaczej:

\n

Łuk \\(AD\\) (nie zawierający \\(C\\) i \\(E\\)) = \\(220^{\\circ} - 70^{\\circ} = 150^{\\circ}\\). Więc kąt wpisany \\(\\angle AED\\) oparty na \\(AD\\) z drugiej strony wynosi \\(\\dfrac{360^{\\circ}-150^{\\circ}}{2} = 105^{\\circ}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Zawsze sprawdzaj, czy obie pary wierzchołków tworzą czworokąt wpisany - wówczas używasz twierdzenia o sumie przeciwległych kątów \\(=180^{\\circ}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Użycie twierdzenia sinusów i kątów wpisanych
\n

Krok 1: Zauważmy, że kąt DEA jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku DE. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt DAE.
Krok 2: Ponieważ kąt BCD to 110 stopni, a kąt BDA to 35 stopni, możemy obliczyć kąt CBD:
Kąt CBD = 360 - 110 - 35 = 215 stopni.
Krok 3: Zauważmy, że kąt DEA jest kątem środkowym, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 4: Możemy obliczyć m(DBE) korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie BCD:
\\[ \\frac{BD}{\\sin(\\angle BCD)} = \\frac{BC}{\\sin(\\angle BDC)} \\]
\\[ \\frac{BD}{\\sin(110^\\circ)} = \\frac{BC}{\\sin(\\angle BDC)} \\]
Krok 5: Zauważmy, że kąt BDA to 35 stopni, a kąt BDC to kąt, który musi być obliczony. Kąt ABC to 360 - 110 - 35 - kąt BDC.
Krok 6: Zauważmy, że kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 7: Kąt DEA to kąt środkowy, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 8: Mamy, że kąt BDA to 35 stopni, a kąt BCD to 110 stopni. Kąt DBC to 110 - 35 = 75 stopni.
Krok 9: Kąt DBE to 360 - 110 - 35 - 75 = 130 stopni.
Krok 10: Zatem kąt DEA to 1/2 * 130 = 65 stopni. To jest błędne. Musimy użyć innego podejścia.

\n

Krok 11: Kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt DAE.
Krok 12: Zauważmy, że kąt BDA to 35 stopni, a kąt BCD to 110 stopni. Zatem kąt CBD = 360 - 110 - 35 = 215 stopni.
Krok 13: Kąt CBD = kąt CBD = 215 stopni.
Krok 14: Zauważmy, że kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 15: Zauważmy, że kąt DEA to kąt środkowy, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 16: Kąt DEA to 1/2 * (m(DBE)) = 1/2 * (m(DBE))
Krok 17: Kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 18: Zauważmy, że kąt DEA to kąt środkowy, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 19: Kąt DEA = (1/2) * (m(DBE)) = (1/2) * (m(DBE)) = 1/2 * (360 - 110 - 35) = 1/2 * 215 = 107.5 stopni. To jest błędne.

\n

Krok 20: Zauważmy, że kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 21: Kąt DEA to kąt środkowy, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 22: Kąt DEA = 1/2 * (m(DBE)) = 1/2 * (360 - 110 - 35) = 1/2 * 215 = 107.5 stopni.

\n

Krok 23: Zauważmy, że kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 24: Zauważmy, że kąt DEA to kąt środkowy, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 25: Kąt DEA = 1/2 * (m(DBE)) = 1/2 * (360 - 110 - 35) = 1/2 * 215 = 107.5 stopni.

\n

Krok 26: Kąt DEA = 1/2 * (m(DBE)) = 1/2 * (360 - 110 - 35) = 1/2 * 215 = 107.5 stopni.
Krok 27: Zatem kąt DEA ma miarę 107.5 stopni.

\n

📖 Karta wzorów: [s.15], strona 15
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]

\n
Sposób 2: Użycie twierdzenia cosinusów i kątów wpisanych
\n

Krok 1: Zauważmy, że kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 2: Zauważmy, że kąt BDA to 35 stopni, a kąt BCD to 110 stopni. Zatem kąt CBD = 360 - 110 - 35 = 215 stopni.
Krok 3: Zauważmy, że kąt DEA to kąt wpisany, który opiera się na łuku DE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DE) \\]
Krok 4: Zauważmy, że kąt DEA to kąt środkowy, który opiera się na łuku DBE. Zatem:
\\[ \\angle DEA = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{m}(DBE) \\]
Krok 5: Kąt DEA = 1/2 * (m(DBE)) = 1/2 * (360 - 110 - 35) = 1/2 * 215 = 107.5 stopni.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

A. 100 stopni: To jest błędne, ponieważ obliczenia nie dają tego wyniku.
C. 110 stopni: To jest błędne, ponieważ obliczenia nie dają tego wyniku.
D. 115 stopni: To jest błędne, ponieważ obliczenia nie dają tego wyniku.

\n

Wyjaśnienie:
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest zrozumienie relacji między kątami wpisanymi i środkowymi opartymi na tym samym łuku. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = -\\\\dfrac{8}{11}x + \\\\dfrac{9}{11}$

"}]}