{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nLiczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3.\nWykaż, że 𝒙= 𝟐 oraz 𝒚= 𝟐.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nLiczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x+y=4 i nierówność x^3-x^2y ≤ xy^2-y³. Wykaż, że x=2 oraz y=2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R3) korzysta ze wzorów na: (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 + 𝑏3 i 𝑎3 -𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że\njedna z liczb: 𝑥, 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.\n2 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie\nzałożenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦)\nw postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≥0 lub 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≤0, np. 16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0\nALBO\n- wykorzystanie założenia 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności w postaci\n4(𝑥-𝑦)2 ≤0 (lub 4(4 -2𝑦)2 ≤0, lub 4(2𝑥-4)2 ≤0),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦) ≤0 oraz poprawne\nokreślenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦),\nALBO\n- zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie\nobu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych\nprzypadków.\n1 pkt - wykorzystanie zależności 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą,\nnp. 𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci\n(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci 𝑥⋅𝑦≥4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający podstawia do związków 𝑥+ 𝑦= 4 oraz 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 konkretne\nwartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc 𝑦= 4 -𝑥. Ponieważ ponadto 𝑥 i 𝑦 spełniają nierówność\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3, więc otrzymujemy\n𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3\nStosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy\n𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤𝑥(16 -8𝑥+ 𝑥2) -(64 -48𝑥+ 12𝑥2 -𝑥3)\nPrzekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno\n𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤16𝑥-8𝑥2 + 𝑥3 -64 + 48𝑥-12𝑥2 + 𝑥3\n16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0\n(4𝑥-8)2 ≤0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym\nrozwiązaniem tej nierówności jest 𝑥= 2.\nPonieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc 𝑦= 2.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 kolejno do postaci\n𝑥3 -𝑥2𝑦-𝑥𝑦2 + 𝑦3 ≤0\n(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≤0\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc otrzymujemy\n4(𝑥-𝑦)2 ≤0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić\n(𝑥-𝑦)2 = 0\nStąd 𝑥-𝑦= 0, czyli 𝑥= 𝑦. Zatem 2𝑥= 4, czyli 𝑥= 2. Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc\n𝑦= 2.\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Przekształcamy nierówność: $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0$ → $(x-y)^2 (x+y) \\leq 0$. Ponieważ $x+y = 4 > 0$, musi być $(x-y)^2 \\leq 0$, więc $(x-y)^2 = 0$ czyli $x = y$. Z $x+y=4$ wynika $x = y = 2$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nMając dwa warunki — $x + y = 4$ i $x^3 - x^2y \\leq xy^2 - y^3$ — pokazać, że jedyne rozwiązanie to $x = y = 2$.\n\nPrzekształć nierówność. Przenieś wszystko na lewo:\n\n$$x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0$$\n\nPogrupuj wyrazy po dwa:\n\n$$x^2(x - y) - y^2(x - y) \\leq 0$$\n\n$$(x - y)(x^2 - y^2) \\leq 0$$\n\nRozłóż $x^2 - y^2$ na czynniki:\n\n$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$\n\nStąd:\n\n$$(x - y)(x - y)(x + y) \\leq 0$$\n\n$$(x - y)^2 (x + y) \\leq 0$$\n\nWykorzystaj warunek $x + y = 4$. Podstaw:\n\n$$(x - y)^2 \\cdot 4 \\leq 0$$\n\n$$(x - y)^2 \\leq 0$$\n\nWnioskuj. $(x - y)^2 \\geq 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jedyną możliwością przy $\\leq 0$ jest równość:\n\n$$(x - y)^2 = 0 \\implies x = y$$\n\nZ $x = y$ i $x + y = 4$:\n\n$$2x = 4 \\implies x = 2 \\implies y = 2$$\n\nCo należało dowieść. ∎\n\nPo co to umieć\n\nSchemat dowodów typu „wykaż, że $x = a, y = b$\" oparty na grupowaniu + nieujemności kwadratu jest częsty na PR. Klucz:\n1. Przekształć nierówność do postaci „suma kwadratów ≤ 0\" lub „kwadrat razy coś > 0 ≤ 0\".\n2. Wnioskuj, że każdy kwadrat = 0.\n3. Z dodatkowego warunku wylicz konkretne wartości.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: brak grupowania wyrazów. Drugi błąd: pominięcie wniosku że $x + y > 0$ — bez tego $(x-y)^2(x+y) \\leq 0$ nie wymusza równości.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"dowód, grupowanie wyrazów, nierówność z kwadratem, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Liczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność
𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3.
Wykaż, że 𝒙= 𝟐 oraz 𝒚= 𝟐.
4.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x+y=4 i nierówność x^3-x^2y ≤ xy^2-y³. Wykaż, że x=2 oraz y=2.

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
II.R3) korzysta ze wzorów na: (𝑎+ 𝑏)3,
(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 + 𝑏3 i 𝑎3 -𝑏3.
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności
𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować
o równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że
jedna z liczb: 𝑥, 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.
2 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie
założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦)
w postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≥0 lub 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≤0, np. 16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0
ALBO

\n\n

4(𝑥-𝑦)2 ≤0 (lub 4(4 -2𝑦)2 ≤0, lub 4(2𝑥-4)2 ≤0),
ALBO

\n\n

określenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦),
ALBO

\n\n

obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych
przypadków.
1 pkt - wykorzystanie zależności 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą,
np. 𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3
ALBO

\n\n

(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0,
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający podstawia do związków 𝑥+ 𝑦= 4 oraz 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 konkretne
wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Ponieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc 𝑦= 4 -𝑥. Ponieważ ponadto 𝑥 i 𝑦 spełniają nierówność
𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3, więc otrzymujemy
𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3
Stosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy
𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤𝑥(16 -8𝑥+ 𝑥2) -(64 -48𝑥+ 12𝑥2 -𝑥3)
Przekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno
𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤16𝑥-8𝑥2 + 𝑥3 -64 + 48𝑥-12𝑥2 + 𝑥3
16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0
(4𝑥-8)2 ≤0
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym
rozwiązaniem tej nierówności jest 𝑥= 2.
Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc 𝑦= 2.
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 kolejno do postaci
𝑥3 -𝑥2𝑦-𝑥𝑦2 + 𝑦3 ≤0
(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0
(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≤0
Ponieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc otrzymujemy
4(𝑥-𝑦)2 ≤0
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić
(𝑥-𝑦)2 = 0
Stąd 𝑥-𝑦= 0, czyli 𝑥= 𝑦. Zatem 2𝑥= 4, czyli 𝑥= 2. Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc
𝑦= 2.
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Przekształcamy nierówność: $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0$ → $(x-y)^2 (x+y) \\leq 0$. Ponieważ $x+y = 4 > 0$, musi być $(x-y)^2 \\leq 0$, więc $(x-y)^2 = 0$ czyli $x = y$. Z $x+y=4$ wynika $x = y = 2$.

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Mając dwa warunki — $x + y = 4$ i $x^3 - x^2y \\leq xy^2 - y^3$ — pokazać, że jedyne rozwiązanie to $x = y = 2$.

\n

Przekształć nierówność. Przenieś wszystko na lewo:

\n

$$x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0$$

\n

Pogrupuj wyrazy po dwa:

\n

$$x^2(x - y) - y^2(x - y) \\leq 0$$

\n

$$(x - y)(x^2 - y^2) \\leq 0$$

\n

Rozłóż $x^2 - y^2$ na czynniki:

\n

$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$

\n

Stąd:

\n

$$(x - y)(x - y)(x + y) \\leq 0$$

\n

$$(x - y)^2 (x + y) \\leq 0$$

\n

Wykorzystaj warunek $x + y = 4$. Podstaw:

\n

$$(x - y)^2 \\cdot 4 \\leq 0$$

\n

$$(x - y)^2 \\leq 0$$

\n

Wnioskuj. $(x - y)^2 \\geq 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jedyną możliwością przy $\\leq 0$ jest równość:

\n

$$(x - y)^2 = 0 \\implies x = y$$

\n

Z $x = y$ i $x + y = 4$:

\n

$$2x = 4 \\implies x = 2 \\implies y = 2$$

\n

Co należało dowieść. ∎

\n

Po co to umieć

\n

Schemat dowodów typu „wykaż, że $x = a, y = b$" oparty na grupowaniu + nieujemności kwadratu jest częsty na PR. Klucz:

\n
  1. Przekształć nierówność do postaci „suma kwadratów ≤ 0" lub „kwadrat razy coś > 0 ≤ 0".
  2. Wnioskuj, że każdy kwadrat = 0.
  3. Z dodatkowego warunku wylicz konkretne wartości.
\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: brak grupowania wyrazów. Drugi błąd: pominięcie wniosku że $x + y > 0$ — bez tego $(x-y)^2(x+y) \\leq 0$ nie wymusza równości.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (57 sposobów)

\n

Sposób 1 - Dopełnienie (liczymy to, czego NIE chcemy)

\n

Kluczowa obserwacja: Iloczyn dwóch liczb jest parzysty wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest parzysta. Liczenie takich par bezpośrednio jest żmudne - łatwiej użyć dopełnienia.

\n

Krok 1: Wszystkie możliwe pary

\n

Losujemy jednocześnie 2 liczby z 13, kolejność nie ma znaczenia:
\\[|\\Omega| = \\binom{13}{2} = \\frac{13 \\cdot 12}{2} = 78\\]

\n

Krok 2: Pary ze złym iloczynem (iloczyn NIEPARZYSTY)

\n

Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.

\n

Liczby nieparzyste w zbiorze: \\(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\\) - jest ich 7.

\n

Liczba par złożonych z dwóch liczb nieparzystych:
\\[\\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2} = 21\\]

\n

Krok 3: Pary z iloczynem PARZYSTYM (dopełnienie)

\n

\\[78 - 21 = \\mathbf{57}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie (podział na przypadki)

\n

Liczby parzyste: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12\\) - jest ich 6.
Liczby nieparzyste: \\(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\\) - jest ich 7.

\n

Iloczyn jest parzysty w dwóch przypadkach:

\n

Przypadek A: obie liczby parzyste
\\[\\binom{6}{2} = \\frac{6 \\cdot 5}{2} = 15 \\text{ par}\\]

\n

Przypadek B: jedna parzysta, jedna nieparzysta
\\[\\binom{6}{1} \\cdot \\binom{7}{1} = 6 \\cdot 7 = 42 \\text{ par}\\]

\n

Łącznie:
\\[15 + 42 = \\mathbf{57}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - symbol Newtona:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy go do policzenia liczby par: \\(\\binom{13}{2} = 78\\), \\(\\binom{7}{2} = 21\\), \\(\\binom{6}{2} = 15\\).

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne i dopełnienie:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}, \\quad P(A') = 1 - P(A)\\]
Zasada dopełnienia w zliczaniu: \\(|A| = |\\Omega| - |A'|\\) - właśnie to zastosowaliśmy w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (np. 42) | Policzono tylko pary „jedna parzysta + jedna nieparzysta", pominięto pary obu parzystych |
| B (np. 54) | Źle policzono liczby nieparzyste (np. wzięto 6 zamiast 7), bo zapomniano o 13 |
| D (np. 60) | Policzono pary ze złym iloczynem jako \\(\\binom{6}{2} = 15\\) zamiast \\(\\binom{7}{2} = 21\\), czyli wzięto parzyste zamiast nieparzyste do dopełnienia |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć, że „przynajmniej jedna parzysta" to nie to samo co „dokładnie jedna parzysta". Sposób 1 (dopełnienie) jest bezpieczniejszy - eliminuje ten błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy dobrze policzyłeś liczby nieparzyste! W zbiorze \\(\\{1, ,13\\}\\) jest 7 liczb nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13) i 6 parzystych (2, 4, 6, 8, 10, 12). Pomylenie tych liczb to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: „Losujemy jednocześnie" = kombinacja bez powtórzeń (kolejność nie ma znaczenia). \\(\\binom{13}{2} = 78\\), NIE \\(13 \\cdot 12 = 156\\).
\n
Analiza zadania
\n

W zbiorze \\(\\{1,2,\\ldots,13\\}\\) mamy:

\n\n

Iloczyn dwóch liczb jest parzysty wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest parzysta.

\n
Sposób 1 - zdarzenie przeciwne
\n

Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Zatem:
\\[\\text{parzyste} = \\binom{13}{2} - \\binom{7}{2}\\]

\n

Od wszystkich par odejmujemy pary złożone z dwóch nieparzystych (karta wzorów, dział XII: \\(\\binom{n}{k}=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\)).

\n

Odpowiedź: C

\n

Dla sprawdzenia: \\(\\binom{13}{2}=78\\), \\(\\binom{7}{2}=21\\), więc \\(78-21=57\\).

\n
Sposób 2 - sumowanie przypadków
\n\n

Razem: \\(15+42=57\\).

\n

Sprawdzenie odpowiedzi B: \\(\\binom{6}{1}\\binom{7}{1}+49 = 42+49 = 91\\) - nie.

\n

Sprawdzenie odpowiedzi D: \\(\\binom{13}{2}-\\binom{6}{2} = 78-15=63\\) - nie.

\n

Sprawdzenie C: \\(78-21=57\\) - zgadza się.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Gdy pytanie brzmi "co najmniej jedna", najszybsze rozwiązanie to obliczyć zdarzenie przeciwne ("żadna") i odjąć od całości.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie liczby sposobów wylosowania dwóch liczb z parzystego iloczynu
\n

Zbiór liczb to {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.
Aby iloczyn dwóch liczb był parzysty, przynajmniej jedna z nich musi być parzysta.
Liczba liczb parzystych w zbiorze to: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Jest ich 6.
Liczba liczb nieparzystych w zbiorze to: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Jest ich 7.

\n

Możemy wylosować:

\n
  1. Dwie liczby parzyste: (6 nad 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / 2 = 15
  2. Jedną liczbę parzystą i jedną liczbę nieparzystą: 6 (liczby parzyste) * 7 (liczby nieparzyste) = 42
\n

Suma sposobów to 15 + 42 = 57. To jest błędne.

\n

Poprawna metoda:
Musimy obliczyć liczbę sposobów, aby iloczyn dwóch liczb był parzysty. Można to zrobić, licząc liczbę wszystkich możliwych par liczb i odejmując liczbę par, w których obie liczby są nieparzyste.
Liczba wszystkich możliwych sposobów wylosowania dwóch liczb z 13 to (13 nad 2) = 13! / (2! * 11!) = (13 * 12) / 2 = 78.
Liczba sposobów wylosowania dwóch nieparzystych liczb to (7 nad 2) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / 2 = 21.
Zatem liczba sposobów wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest parzysty, to 78 - 21 = 57. To jest błędne.

\n

Poprawna metoda:
Musimy obliczyć liczbę parzystych iloczynów.
Liczba parzystych liczb w zbiorze to 6.
Liczba nieparzystych liczb w zbiorze to 7.
Aby iloczyn dwóch liczb był parzysty, przynajmniej jedna z nich musi być parzysta. Możemy to obliczyć na dwa sposoby:

\n
  1. Wylosować dwie liczby parzyste: (6 nad 2) = 6! / (2! * 4!) = 15
  2. Wylosować jedną liczbę parzystą i jedną liczbę nieparzystą: 6 (parzyste) * 7 (nieparzyste) = 42
\n

Suma to 15 + 42 = 57.

\n
Sposób 2: Wykorzystanie kombinatoryki
\n

Zbiór ma 13 elementów. Chcemy wybrać 2 elementy z tego zbioru, tak aby ich iloczyn był parzysty.
Możemy to zrobić na \\( \\binom{13}{2} \\) sposobów.
\\( \\binom{13}{2} = \\frac{13 \\cdot 12}{2 \\cdot 1} = 78 \\)
Aby iloczyn był parzysty, przynajmniej jedna z liczb musi być parzysta.
Zbiór ma 6 parzystych liczb.
Zbiór ma 7 nieparzystych liczb.
Liczba sposobów, aby wybrać dwie nieparzyste liczby to \\( \\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2 \\cdot 1} = 21 \\)
Liczba sposobów, aby iloczyn był parzysty to: \\( \\binom{13}{2} - \\binom{7}{2} = 78 - 21 = 57 \\)

\n

📖 Karta wzorów: Kombinacje, strona 16

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

A. \\( \\binom{7}{2} + 49 \\) - To jest błędne, ponieważ \\( \\binom{7}{2} = 21\\), a dodanie 49 nie ma związku z problemem.
B. \\( \\binom{6}{1} \\cdot \\binom{7}{1} + 49 \\) - To jest błędne, ponieważ \\( \\binom{6}{1} \\cdot \\binom{7}{1} = 6 \\cdot 7 = 42\\), a dodanie 49 nie ma związku z problemem.
C. \\( \\binom{13}{2} - \\binom{7}{2} \\) - To jest prawidłowe, ponieważ \\( \\binom{13}{2} = 78 \\) i \\( \\binom{7}{2} = 21\\), a \\( 78 - 21 = 57 \\)
D. \\( \\binom{13}{2} \\) - To jest błędne, ponieważ chcemy, aby iloczyn był parzysty, a nie dowolny.

"}]}