Zadanie 6. (0-3)
Rozwiąż równanie
𝟒𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙)𝐜𝐨𝐬(𝟔𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟏𝟎𝒙) + 𝟏
Zapisz obliczenia.
6.
0-1-
2-3
MMAP-R0_100
Rozwiąż równanie 4sin(4x)cos(6x) = 2sin(10x)+1
Zadanie 6. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R6) rozwiązuje równania
trygonometryczne o stopniu trudności nie
większym niż w przykładzie
4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7
12 𝜋+ 𝑘𝜋 oraz 11
12 𝜋+ 𝑘𝜋,
gdzie 𝑘∈ℤ .
2 pkt - przekształcenie równania do postaci sin(2𝑥) = -1
2 lub sin(-2𝑥) = 1
2 .
1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów i zapisanie sin(10𝑥) jako
sin(6𝑥) cos(4𝑥) + cos(6𝑥) sin(4𝑥)
ALBO
2 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako sin(10𝑥) -sin(2𝑥) lub sin(10𝑥) + sin(-2𝑥),
ALBO
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako [sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin𝑥] ⋅[cos(5𝑥) cos 𝑥-sin(5𝑥) sin 𝑥].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
rozwiązań, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
\nsumy/różnicy sinusów, lub iloczyn sinusa i cosinusa
ALBO
i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, i otrzyma co najmniej jedną serię rozwiązań,
to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Stosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,
otrzymując:
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(10𝑥) + 1
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(6𝑥+ 4𝑥) + 1
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(6𝑥) cos(4𝑥) + 2 cos(6𝑥) sin(4𝑥) + 1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2 sin(4𝑥) cos(6𝑥) -2 sin(6𝑥) cos(4𝑥) = 1
-2 sin(2𝑥) = 1
sin(2𝑥) = -1
2
Stąd 2𝑥= 7
6 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= 11
6 𝜋+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ, czyli
𝑥= 7
12 𝜋+ 𝑘𝜋 lub 𝑥= 11
12 𝜋+ 𝑘𝜋
gdzie 𝑘∈ℤ.
Sposób II
Zauważamy, że 4𝑥+ 6𝑥= 10𝑥. Postać lewej strony równania sugeruje zastosowanie
wzoru na różnicę sinusów. Niech 𝛼 i 𝛽 będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 𝛼-𝛽
2
= 4𝑥
oraz 𝛼+𝛽
2
= 6𝑥. Wtedy
{
𝛼= 8𝑥+ 𝛽
8𝑥+ 𝛽+ 𝛽
2
= 6𝑥
{ 𝛼= 10𝑥
𝛽= 2𝑥
Przekształcamy lewą stronę równania 4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(10𝑥) + 1:
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2(sin 𝛼-sin 𝛽) = 2(sin(10𝑥) -sin (2𝑥))
Stąd i ze wzoru na różnicę sinusów otrzymujemy:
2(sin(10𝑥) -sin(2𝑥)) = 2 sin(10𝑥) + 1
-2 sin(2𝑥) = 1
sin(2𝑥) = -1
2
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
2𝑥= 7
6 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= 11
6 𝜋+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍
𝑥= 7
12 𝜋+ 𝑘𝜋 lub 𝑥= 11
12 𝜋+ 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍
Sposób III
Przekształcamy równoważnie wyrażenie 4 sin(4𝑥) cos(6𝑥), stosując wzory na sinus różnicy
i cosinus sumy kątów:
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 4 sin(5𝑥-𝑥) cos(5𝑥+ 𝑥) =
= 4[sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥] ⋅[cos(5𝑥) cos 𝑥-sin(5𝑥) sin 𝑥] =
= 4 sin(5𝑥) cos(5𝑥) cos2 𝑥-4 sin2(5𝑥) sin 𝑥cos 𝑥-4 cos2(5𝑥) sin 𝑥cos 𝑥+
+4 sin(5𝑥) cos(5𝑥) sin2 𝑥=
= 4 sin(5𝑥) cos(5𝑥) -4 sin 𝑥cos 𝑥= 2 sin(10𝑥) -2 sin(2𝑥)
Stąd otrzymujemy:
4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(10𝑥) + 1
2(sin(10𝑥) -sin(2𝑥)) = 2 sin(10𝑥) + 1
-2 sin(2𝑥) = 1
sin(2𝑥) = -1
2
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:
2𝑥= 7
6 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= 11
6 𝜋+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍
𝑥= 7
12 𝜋+ 𝑘𝜋 lub 𝑥= 11
12 𝜋+ 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: $x = -\\frac{\\pi}{12} + k\\pi$ lub $x = \\frac{7\\pi}{12} + k\\pi$ dla $k \\in \\mathbb{Z}$. Krok kluczowy: $2 \\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)$, więc $4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2\\sin(10x) - 2\\sin(2x)$. Po skróceniu: $\\sin(2x) = -\\frac{1}{2}$.
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nZastosuj wzór $2\\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)$. Tutaj $A = 4x$, $B = 6x$:
\n$$4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2 \\cdot [2 \\sin(4x) \\cos(6x)] = 2[\\sin(10x) + \\sin(-2x)]$$
\n$$= 2\\sin(10x) - 2\\sin(2x)$$
\n(bo $\\sin(-2x) = -\\sin(2x)$)
\nWstaw do równania:
\n$$2\\sin(10x) - 2\\sin(2x) = 2\\sin(10x) + 1$$
\nSkróć $2\\sin(10x)$ po obu stronach:
\n$$-2\\sin(2x) = 1$$
\n$$\\sin(2x) = -\\frac{1}{2}$$
\nRozwiąż $\\sin u = -\\frac{1}{2}$ (gdzie $u = 2x$). Rozwiązania:
\n$$u = -\\frac{\\pi}{6} + 2k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad u = \\pi + \\frac{\\pi}{6} + 2k\\pi = \\frac{7\\pi}{6} + 2k\\pi$$
\nPodziel przez $2$:
\n$$x = -\\frac{\\pi}{12} + k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{7\\pi}{12} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$
\nPo co to umieć
\nWzory iloczynowe trygonometrii:
\nWszystkie z karty wzorów CKE. Kiedy zobaczysz iloczyn $\\sin \\cos$ z różnymi kątami, prawie zawsze pomaga przejść do sumy za pomocą tych wzorów.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie wzoru $2\\sin A \\cos B$ i próba podstawiania bezpośrednia. Klucz: zauważyć że $\\sin(10x)$ pojawia się po obu stronach i można je skrócić po zastosowaniu wzoru.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Jest to zadanie otwarte - wymagane jest udowodnienie, że jedyne liczby rzeczywiste spełniające oba warunki jednocześnie to \\(x = 2, y = 2\\).
\nPrzekształcamy nierówność - przenosimy wszystko na lewą stronę:
\n\\[x^3 - x^2y \\leq xy^2 - y^3\\]
\n\\[x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0\\]
\nGrupujemy wyrazy i faktoryzujemy:
\n\\[x^2(x - y) - y^2(x - y) \\leq 0\\]
\n\\[(x^2 - y^2)(x - y) \\leq 0\\]
\nKorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \\(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\\):
\n\\[(x - y)(x + y)(x - y) \\leq 0\\]
\n\\[\\boxed{(x - y)^2 \\cdot (x + y) \\leq 0}\\]
\nPodstawiamy \\(x + y = 4\\):
\n\\[(x - y)^2 \\cdot 4 \\leq 0\\]
\nKluczowa obserwacja: Dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(x, y\\) zachodzi \\((x-y)^2 \\geq 0\\), zatem:
\n\\[(x - y)^2 \\cdot 4 \\geq 0\\]
\nMamy więc jednocześnie:
\n\\[(x - y)^2 \\cdot 4 \\leq 0 \\quad \\text{oraz} \\quad (x - y)^2 \\cdot 4 \\geq 0\\]
\nStąd wynika: \\((x - y)^2 \\cdot 4 = 0\\), czyli \\((x - y)^2 = 0\\), a to oznacza:
\n\\[x - y = 0 \\implies x = y\\]
\nWracamy do równania \\(x + y = 4\\):
\n\\[x + x = 4 \\implies 2x = 4 \\implies x = 2\\]
\nZatem \\(x = 2\\) oraz \\(y = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nZ równania \\(x + y = 4\\) wyznaczamy \\(y = 4 - x\\) i wstawiamy do nierówności.
\nLewa strona:
\n\\[x^3 - x^2(4 - x) = x^3 - 4x^2 + x^3 = 2x^3 - 4x^2\\]
\nPrawa strona:
\n\\[x(4 - x)^2 - (4 - x)^3\\]
\nRozwijamy \\((4-x)^2 = 16 - 8x + x^2\\) i \\((4-x)^3 = 64 - 48x + 12x^2 - x^3\\):
\n\\[x(16 - 8x + x^2) - (64 - 48x + 12x^2 - x^3)\\]
\n\\[= 16x - 8x^2 + x^3 - 64 + 48x - 12x^2 + x^3\\]
\n\\[= 2x^3 - 20x^2 + 64x - 64\\]
\nNierówność przyjmuje postać:
\n\\[2x^3 - 4x^2 \\leq 2x^3 - 20x^2 + 64x - 64\\]
\nOdejmujemy \\(2x^3\\) od obu stron:
\n\\[-4x^2 \\leq -20x^2 + 64x - 64\\]
\n\\[16x^2 - 64x + 64 \\leq 0\\]
\n\\[16(x^2 - 4x + 4) \\leq 0\\]
\n\\[\\mathbf{16(x - 2)^2 \\leq 0}\\]
\nPonieważ \\(16(x-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), musi zachodzić równość:
\n\\[16(x-2)^2 = 0 \\implies x = 2\\]
\nZatem \\(y = 4 - 2 = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]
Kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 przy faktoryzacji \\(x^2 - y^2\\).
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyty w Sposobie 2 przy rozwijaniu \\((4-x)^2\\) i rozpoznaniu \\(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\\).
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]
Użyty w Sposobie 2 przy rozwijaniu \\((4-x)^3\\).
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy pokazać, że \\(x = y = 2\\) spełnia oba warunki - to weryfikacja, nie dowód. Trzeba pokazać, że to jedyne rozwiązanie.\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie kroku z \\((x-y)^2 \\geq 0\\). Samo zapisanie \\((x-y)^2 \\cdot 4 \\leq 0\\) nic jeszcze nie dowodzi - dopiero obserwacja, że lewa strona jest nieujemna, wymusza równość zero.\n
⚠️ Uwaga: Przy faktoryzacji \\(x^3 - x^2y - xy^2 + y^3\\) uczniowie często grupują błędnie (np. \\(x^3 + y^3\\) z \\(-x^2y - xy^2\\)). Sprawdź grupowanie przed przejściem dalej.\n
Mamy wykazać, że jeśli \\(x+y=4\\) i \\(x^{3}-x^{2}y\\leq xy^{2}-y^{3}\\), to \\(x=y=2\\).
\nPrzekształcamy nierówność:
\\[x^{3}-x^{2}y - xy^{2}+y^{3}\\leq 0\\]
\\[x^{2}(x-y) - y^{2}(x-y)\\leq 0\\]
\\[(x-y)(x^{2}-y^{2})\\leq 0\\]
\\[(x-y)(x-y)(x+y)\\leq 0\\]
\\[(x-y)^{2}(x+y)\\leq 0\\]
Ponieważ \\(x+y=4>0\\), a \\((x-y)^{2}\\geq 0\\), więc \\((x-y)^{2}(x+y)\\geq 0\\).
\nZestawiając z nierównością, musi zachodzić \\((x-y)^{2}(x+y)=0\\). Skoro \\(x+y=4\\neq 0\\), to \\((x-y)^{2}=0\\), czyli \\(x=y\\).
\nPodstawiając do \\(x+y=4\\): \\(2x=4\\), więc \\(x=2\\) i \\(y=2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nZ warunku \\(y=4-x\\) (karta wzorów, dział II: \\((a-b)^{3}, (a+b)^{3}\\)):
\\[x^{3}-x^{2}(4-x)\\leq x(4-x)^{2}-(4-x)^{3}\\]
Rozwijamy: \\(x^{3}-4x^{2}+x^{3} = 2x^{3}-4x^{2}\\) po lewej.
\n\\(x(16-8x+x^{2}) = 16x-8x^{2}+x^{3}\\) oraz \\((4-x)^{3} = 64-48x+12x^{2}-x^{3}\\).
\nPrawa strona: \\(16x-8x^{2}+x^{3} - 64+48x-12x^{2}+x^{3} = 2x^{3}-20x^{2}+64x-64\\).
\nNierówność:
\\[2x^{3}-4x^{2}\\leq 2x^{3}-20x^{2}+64x-64\\]
\\[16x^{2}-64x+64\\leq 0\\]
\\[16(x^{2}-4x+4)\\leq 0\\]
\\[16(x-2)^{2}\\leq 0\\]
Ponieważ kwadrat jest nieujemny, jedyną możliwością jest \\((x-2)^{2}=0\\), więc \\(x=2\\), a z warunku \\(y=4-x=2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nTrik: Gdy widzisz wyrażenie postaci \\(x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}\\), natychmiast grupuj: \\(x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)=(x-y)(x^{2}-y^{2})=(x-y)^{2}(x+y)\\) - to standardowa tożsamość.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$x = \\\\dfrac{7}{12}\\\\pi + k\\\\pi$ lub $x = \\\\dfrac{11}{12}\\\\pi + k\\\\pi$, gdzie $k \\\\in \\\\mathbb{Z}$
"}]}