{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶\ntego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem 𝐴𝐵 - kąt ostry,\nktórego sinus jest równy 1\n4 .\nOblicz obwód czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCzworokąt ABCD, w którym |BC|=4 i |CD|=5, jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem |AB| - kąt ostry, którego sinus jest równy 1/4. Oblicz obwód czworokąta ABCD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10.\n3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)\nALBO\n- obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania\n8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|.\n2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: 8√3\nALBO\n- zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,\nALBO\n- zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,\nALBO\n- zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):\n1) |𝐴𝐵|\n√3\n2\n= 4\n1\n4\nlub 1\n4 = 2√3\n|𝐴𝐵|,\n2) 1\n2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅\n√3\n2 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1\n4 ,\n3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|),\n4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷|\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵), np.\n𝑥2 = 16 + (2 + 𝑥√15\n4 )\n2\n-4 (2 + 𝑥√15\n4 ),\n16 = (2 + √15\n4 𝑥)\n2\n+ 𝑥2 -√15\n2\n⋅(2 + √15\n4 𝑥) 𝑥\n(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania\nsin 𝛼= 1\n4 .\nObliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵. Korzystamy\nz twierdzenia sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\nsin 60° = |𝐵𝐶|\nsin 𝛼\n|𝐴𝐵|\n√3\n2\n= 4\n1\n4\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nPonieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nSposób II\nZauważmy, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć na dwa sposoby:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐶| ⋅sin 60° = 1\n2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅√3\n2\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1\n4\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nPonieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nSposób III\nOznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania\nsin 𝛼= 1\n4 . Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵.\nProwadzimy wysokość 𝐵𝐸 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nTrójkąt prostokątny 𝐵𝐶𝐸 ma kąty ostre 30° i 60°,\nwięc jest „połową” trójkąta równobocznego o boku\ndługości 4. Zatem\n5\n𝐶\n𝐷\n4\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝑆\n60°\n𝐸\n5\n𝐶\n𝐷\n4\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝑆\n60°\n𝑎\n|𝐸𝐵| = 4√3\n2\n= 2√3\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐸 otrzymujemy\nsin 𝛼= |𝐸𝐵|\n|𝐴𝐵|\nczyli\n1\n4 = 2√3\n|𝐴𝐵|\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany na okręgu, więc |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|.\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: **Obwód: $16\\sqrt{3} + 10$** Z twierdzenia sinusów w $\\triangle ABC$: $AB = \\frac{4 \\sin 60°}{\\sin\\alpha} = \\frac{4 \\cdot \\sqrt{3}/2}{1/4} = 8\\sqrt{3}$. Z własności czworokąta opisanego: $AD = AB + CD - BC = 8\\sqrt{3} + 5 - 4 = 8\\sqrt{3} + 1$. Obwód = $AB + BC + CD + DA = 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + 8\\sqrt{3} + 1 = 16\\sqrt{3} + 10$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nSkorzystaj z twierdzenia sinusów w $\\triangle ABC$:\n\n$\\angle ACB = 60°$, $\\angle BAC = \\alpha$ ($\\sin\\alpha = \\frac{1}{4}$), $|BC| = 4$.\n\n$$\\frac{BC}{\\sin\\angle BAC} = \\frac{AB}{\\sin\\angle ACB}$$\n\n$$\\frac{4}{1/4} = \\frac{AB}{\\sqrt{3}/2}$$\n\n$$16 = \\frac{2 \\cdot AB}{\\sqrt{3}} \\implies AB = 8\\sqrt{3}$$\n\nWykorzystaj własność czworokąta opisanego na okręgu. Sumy długości boków przeciwległych są równe:\n\n$$AB + CD = BC + AD$$\n\n$$8\\sqrt{3} + 5 = 4 + AD \\implies AD = 8\\sqrt{3} + 1$$\n\nObwód:\n\n$$L = AB + BC + CD + AD$$\n\n$$= 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + 8\\sqrt{3} + 1$$\n\n$$= 16\\sqrt{3} + 10$$\n\nPo co to umieć\n\nTwierdzenie Pitota dla czworokąta opisanego: $AB + CD = BC + AD$.\n\nTwierdzenie sinusów w trójkącie: $\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$ (R - promień okręgu opisanego).\n\nKlasyczne zadanie PR — łączenie własności czworokąta z trygonometrią trójkąta utworzonego przez przekątną.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie czworokąta **opisanego** (boki styczne do okręgu wewnętrznego) z **wpisanym** (wierzchołki na okręgu). Własności są różne! Opisany: $AB + CD = BC + AD$. Wpisany: $\\angle A + \\angle C = 180°$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"czworokąt opisany na okręgu, twierdzenie sinusów, planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶<br>tego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem 𝐴𝐵 - kąt ostry,<br>którego sinus jest równy 1<br>4 .<br>Oblicz obwód czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.<br>8.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Czworokąt ABCD, w którym |BC|=4 i |CD|=5, jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem |AB| - kąt ostry, którego sinus jest równy 1/4. Oblicz obwód czworokąta ABCD.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VIII.R1) stosuje własności czworokątów<br>wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10.<br>3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania</li></ul>\n<p>8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|.<br>2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: 8√3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.</li></ul>\n<p>1 pkt - zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):</p>\n<ol><li>|𝐴𝐵|</li></ol>\n<p>√3<br>2<br>= 4<br>1<br>4<br>lub 1<br>4 = 2√3<br>|𝐴𝐵|,</p>\n<ol><li>1</li></ol>\n<p>2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅<br>√3<br>2 = 1<br>2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1<br>4 ,</p>\n<ol><li>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|),</li><li>|𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷|</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵), np.</li></ul>\n<p>𝑥2 = 16 + (2 + 𝑥√15<br>4 )<br>2<br>-4 (2 + 𝑥√15<br>4 ),<br>16 = (2 + √15<br>4 𝑥)<br>2</p>\n<ul><li>𝑥2 -√15</li></ul>\n<p>2<br>⋅(2 + √15<br>4 𝑥) 𝑥<br>(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania<br>sin 𝛼= 1<br>4 .<br>Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵. Korzystamy<br>z twierdzenia sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i otrzymujemy<br>|𝐴𝐵|<br>sin 60° = |𝐵𝐶|<br>sin 𝛼<br>|𝐴𝐵|<br>√3<br>2<br>= 4<br>1<br>4<br>Stąd |𝐴𝐵| = 8√3.<br>Ponieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność<br>|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|<br>Zatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy<br>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10<br>Sposób II<br>Zauważmy, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć na dwa sposoby:<br>𝑃= 1<br>2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐶| ⋅sin 60° = 1<br>2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅√3<br>2<br>𝑃= 1<br>2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1<br>4<br>Stąd |𝐴𝐵| = 8√3.<br>Ponieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność<br>|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|<br>Zatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy<br>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10<br>Sposób III<br>Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania<br>sin 𝛼= 1<br>4 . Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵.<br>Prowadzimy wysokość 𝐵𝐸 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.<br>Trójkąt prostokątny 𝐵𝐶𝐸 ma kąty ostre 30° i 60°,<br>więc jest „połową” trójkąta równobocznego o boku<br>długości 4. Zatem<br>5<br>𝐶<br>𝐷<br>4<br>𝛼<br>𝐵<br>𝐴<br>𝑆<br>60°<br>𝐸<br>5<br>𝐶<br>𝐷<br>4<br>𝛼<br>𝐵<br>𝐴<br>𝑆<br>60°<br>𝑎<br>|𝐸𝐵| = 4√3<br>2<br>= 2√3<br>Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐸 otrzymujemy<br>sin 𝛼= |𝐸𝐵|<br>|𝐴𝐵|<br>czyli<br>1<br>4 = 2√3<br>|𝐴𝐵|<br>Stąd |𝐴𝐵| = 8√3.<br>Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany na okręgu, więc |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|.<br>Zatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy<br>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>Obwód: $16\\sqrt{3} + 10$</strong> Z twierdzenia sinusów w $\\triangle ABC$: $AB = \\frac{4 \\sin 60°}{\\sin\\alpha} = \\frac{4 \\cdot \\sqrt{3}/2}{1/4} = 8\\sqrt{3}$. Z własności czworokąta opisanego: $AD = AB + CD - BC = 8\\sqrt{3} + 5 - 4 = 8\\sqrt{3} + 1$. Obwód = $AB + BC + CD + DA = 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + 8\\sqrt{3} + 1 = 16\\sqrt{3} + 10$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Skorzystaj z twierdzenia sinusów w $\\triangle ABC$:</p>\n<p>$\\angle ACB = 60°$, $\\angle BAC = \\alpha$ ($\\sin\\alpha = \\frac{1}{4}$), $|BC| = 4$.</p>\n<p>$$\\frac{BC}{\\sin\\angle BAC} = \\frac{AB}{\\sin\\angle ACB}$$</p>\n<p>$$\\frac{4}{1/4} = \\frac{AB}{\\sqrt{3}/2}$$</p>\n<p>$$16 = \\frac{2 \\cdot AB}{\\sqrt{3}} \\implies AB = 8\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Wykorzystaj własność czworokąta opisanego na okręgu. Sumy długości boków przeciwległych są równe:</p>\n<p>$$AB + CD = BC + AD$$</p>\n<p>$$8\\sqrt{3} + 5 = 4 + AD \\implies AD = 8\\sqrt{3} + 1$$</p>\n<p>Obwód:</p>\n<p>$$L = AB + BC + CD + AD$$</p>\n<p>$$= 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + 8\\sqrt{3} + 1$$</p>\n<p>$$= 16\\sqrt{3} + 10$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Twierdzenie Pitota dla czworokąta opisanego: $AB + CD = BC + AD$.</p>\n<p>Twierdzenie sinusów w trójkącie: $\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$ (R - promień okręgu opisanego).</p>\n<p>Klasyczne zadanie PR — łączenie własności czworokąta z trygonometrią trójkąta utworzonego przez przekątną.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie czworokąta <strong>opisanego</strong> (boki styczne do okręgu wewnętrznego) z <strong>wpisanym</strong> (wierzchołki na okręgu). Własności są różne! Opisany: $AB + CD = BC + AD$. Wpisany: $\\angle A + \\angle C = 180°$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{2}{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Prawdopodobieństwo całkowite (podział na przypadki)</h4>\n<p><strong>Oznaczenia:</strong></p>\n<ul><li>\\(A\\) = zdarzenie: w <strong>drugim losowaniu</strong> wyciągamy kulę czarną</li><li>Pierwsze losowanie (2 kule z 7) może dać 0, 1 lub 2 kule czarne</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Liczba sposobów wylosowania 2 kul z 7.</strong></p>\n<p>\\[\\binom{7}{2} = \\frac{7!}{2! \\cdot 5!} = 21\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zdarzenia rozkładu (co zostało w pojemniku po pierwszym losowaniu).</strong></p>\n<p>| Zdarzenie | Opis pierwszego losowania | Liczba sposobów | Prawdopodobieństwo |<br>| \\(B_0\\) | wylosowano 0 czarnych (2 białe) | \\(\\binom{5}{2} = 10\\) | \\(P(B_0) = \\frac{10}{21}\\) |<br>| \\(B_1\\) | wylosowano 1 czarną + 1 białą | \\(\\binom{2}{1}\\binom{5}{1} = 10\\) | \\(P(B_1) = \\frac{10}{21}\\) |<br>| \\(B_2\\) | wylosowano 2 czarne | \\(\\binom{2}{2} = 1\\) | \\(P(B_2) = \\frac{1}{21}\\) |</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(\\frac{10+10+1}{21} = 1\\) ✓</p>\n<p><strong>Krok 3: Warunkowe prawdopodobieństwo wylosowania czarnej w drugim losowaniu.</strong></p>\n<p>Po pierwszym losowaniu w pojemniku zostaje <strong>5 kul</strong>.</p>\n<ul><li>Jeśli \\(B_0\\): pozostało 5 białych + <strong>2 czarne</strong> → \\(P(A \\mid B_0) = \\frac{2}{5}\\)</li><li>Jeśli \\(B_1\\): pozostało 4 białe + <strong>1 czarna</strong> → \\(P(A \\mid B_1) = \\frac{1}{5}\\)</li><li>Jeśli \\(B_2\\): pozostało 5 białych + <strong>0 czarnych</strong> → \\(P(A \\mid B_2) = \\frac{0}{5} = 0\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 4: Wzór na prawdopodobieństwo całkowite.</strong></p>\n<p>\\[P(A) = P(A \\mid B_0) \\cdot P(B_0) + P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{10}{21} + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{10}{21} + 0 \\cdot \\frac{1}{21}\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{20}{105} + \\frac{10}{105} + 0 = \\frac{30}{105} = \\boxed{\\frac{2}{7}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Argument symetrii (elegancki trick)</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> losowanie „2 kul jednocześnie, potem 1&quot; jest równoważne losowaniu <strong>3 kul kolejno bez zwracania</strong> (tylko wynik 3. losowania nas interesuje).</p>\n<p>Inaczej: wyobraź sobie, że układamy wszystkie 7 kul w losowej kolejności. Pytamy: <strong>jakie jest prawdopodobieństwo, że kula na 3. miejscu jest czarna?</strong></p>\n<p>Ponieważ każda z 7 kul ma <strong>dokładnie takie samo prawdopodobieństwo</strong> znalezienia się na dowolnej pozycji (dzięki losowości), a mamy 2 czarne kule spośród 7:</p>\n<p>\\[P(\\text{3. kula jest czarna}) = \\frac{2}{7}\\]</p>\n<p><strong>Nie trzeba liczyć żadnych przypadków!</strong> Symetria losowania gwarantuje, że każda pozycja (1., 2., 3., , 7.) jest jednakowo prawdopodobna dla kuli czarnej.</p>\n<p>Wynik: \\(\\boxed{\\frac{2}{7}}\\) - zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong></p>\n<p>Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:<br>\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2) + \\ldots + P(A \\mid B_n) \\cdot P(B_n)\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1, rozkładając zdarzenie \\(A\\) na 3 wzajemnie wykluczające przypadki \\(B_0, B_1, B_2\\).</p>\n<p>Prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy do obliczenia \\(P(B_0), P(B_1), P(B_2)\\) - jako stosunek sprzyjających do wszystkich możliwości.</p>\n<p><strong>Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)</strong></p>\n<p>Symbol Newtona:<br>\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]<br>Użyliśmy do liczenia \\(\\binom{7}{2} = 21\\), \\(\\binom{5}{2} = 10\\), itd.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno traktować drugiego losowania jako niezależnego od pierwszego! Po pierwszym losowaniu skład pojemnika <strong>zmienia się</strong> - trzeba uwzględnić wszystkie możliwe wyniki pierwszego losowania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Jednoczesne&quot; wylosowanie 2 kul to to samo co wylosowanie ich kolejno bez zwracania - kolejność nie ma znaczenia dla prawdopodobieństw, ale zmienia liczność przestrzeni zdarzeń. Używaj konsekwentnie kombinacji \\(\\binom{n}{k}\\), nie permutacji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć o przypadku \\(B_2\\) (wylosowanie obu czarnych w pierwszym losowaniu). Choć ma on prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{21}\\) i zerowy wkład do wyniku, <strong>pomijanie go jest błędem metodycznym</strong> - trzeba sprawdzić, czy rozkład \\(B_0 + B_1 + B_2 = 1\\).</blockquote>\n<h5>Analiza zadania</h5>\n<p>Mamy \\(7\\) kul: \\(5\\) białych i \\(2\\) czarne. Losujemy najpierw \\(2\\) kule jednocześnie, potem \\(1\\) kulę z pozostałych \\(5\\). Szukamy \\(P(A)\\) - że w drugim losowaniu wylosujemy kulę czarną.</p>\n<h5>Sposób 1 - prawdopodobieństwo całkowite</h5>\n<p>Zdarzenia rozłączne w pierwszym losowaniu:</p>\n<ul><li>\\(B_{1}\\): dwie białe; \\(P(B_{1})=\\dfrac{\\binom{5}{2}}{\\binom{7}{2}}=\\dfrac{10}{21}\\)</li><li>\\(B_{2}\\): biała i czarna; \\(P(B_{2})=\\dfrac{\\binom{5}{1}\\binom{2}{1}}{\\binom{7}{2}}=\\dfrac{10}{21}\\)</li><li>\\(B_{3}\\): dwie czarne; \\(P(B_{3})=\\dfrac{\\binom{2}{2}}{\\binom{7}{2}}=\\dfrac{1}{21}\\)</li></ul>\n<p>Prawdopodobieństwa warunkowe (w pojemniku pozostaje \\(5\\) kul):</p>\n<ul><li>Po \\(B_{1}\\): pozostają \\(3\\) białe i \\(2\\) czarne, więc \\(P(A|B_{1})=\\dfrac{2}{5}\\)</li><li>Po \\(B_{2}\\): pozostają \\(4\\) białe i \\(1\\) czarna, więc \\(P(A|B_{2})=\\dfrac{1}{5}\\)</li><li>Po \\(B_{3}\\): pozostaje \\(5\\) białych, więc \\(P(A|B_{3})=0\\)</li></ul>\n<p>Wzór na prawdopodobieństwo całkowite (karta wzorów, dział XII):<br>\\[P(A)=\\sum_{i}P(A|B_{i})P(B_{i})=\\dfrac{2}{5}\\cdot\\dfrac{10}{21}+\\dfrac{1}{5}\\cdot\\dfrac{10}{21}+0\\cdot\\dfrac{1}{21}\\]<br>\\[P(A)=\\dfrac{20+10}{105}=\\dfrac{30}{105}=\\dfrac{2}{7}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(P(A)=\\dfrac{2}{7}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 2 - model klasyczny z 3 losowaniami pojedynczymi</h5>\n<p>Potraktujmy doświadczenie jako ciąg \\((x,y,z)\\) trzech kul różnych:<br>\\[|\\Omega|=7\\cdot 6\\cdot 5=210\\]</p>\n<p>Zdarzenie \\(A\\) to &quot;trzecia kula czarna&quot;. Rozbijamy na rozłączne:</p>\n<ul><li>\\(A_{1}\\): b, b, c: \\(5\\cdot 4\\cdot 2=40\\)</li><li>\\(A_{2}\\): b, c, c: \\(5\\cdot 2\\cdot 1=10\\)</li><li>\\(A_{3}\\): c, b, c: \\(2\\cdot 5\\cdot 1=10\\)</li></ul>\n<p>\\(|A|=40+10+10=60\\), więc \\(P(A)=\\dfrac{60}{210}=\\dfrac{2}{7}\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - argument symetrii (Trik!)</h5>\n<p>Każda kula ma jednakowe prawdopodobieństwo znaleźć się na dowolnej pozycji w losowaniu. Ponieważ są \\(2\\) czarne z \\(7\\), prawdopodobieństwo, że trzecia wylosowana kula jest czarna, wynosi \\(\\dfrac{2}{7}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>3 pkt - poprawna metoda i wynik \\(\\dfrac{2}{7}\\).</li><li>2 pkt - zapisanie prawdopodobieństw zdarzeń \\(B_{1}, B_{2}, B_{3}\\) oraz warunkowych \\(P(A|B_{i})\\).</li><li>1 pkt - opisanie zdarzeń losowych i obliczenie ich prawdopodobieństw.</li><li><strong>Uwagi CKE</strong>: Jeśli pominie \\(P(B_{3})\\cdot P(A|B_{3})\\), może dostać \\(3\\) pkt. Jeśli poda jedynie \\(P(A)=\\dfrac{2}{7}\\), dostanie \\(1\\) pkt. Jeśli poda \\(P(A)=\\dfrac{2}{7}\\) z poprawnym komentarzem uzasadniającym, to \\(3\\) pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W losowaniach bez zwracania (wszystkie kule rozróżnialne) prawdopodobieństwo, że \\(k\\)-ta wylosowana kula ma daną cechę, jest zawsze równe stosunkowi liczby kul z tą cechą do całkowitej liczby kul - niezależnie od \\(k\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$16\\\\sqrt{3} + 10$</p>"}]}