{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n√𝒙𝟐+ 𝟒𝒙+ 𝟒< 𝟐𝟓\n𝟑-√𝒙𝟐-𝟔𝒙+ 𝟗\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: skorzystaj z tego, że √𝑎2 = |𝑎| dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.\n9.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność √{x^2+4x+4} < 25/3 - √{x^2-6x+9} Wskazówka: skorzystaj z tego, że √{a^2}=|a| dla każdej liczby rzeczywistej a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną, o stopniu\ntrudności nie większym niż:\n2|𝑥+ 3| + 3|𝑥-1| = 13,\n|𝑥+ 2| + 2|𝑥-3| < 11.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-11\n3 , 14\n3 ).\n3 pkt - rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków\n(o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa\nℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n𝑥-3 < 19\n3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19\n3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31\n3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31\n3 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -11\n3 oraz 𝑥= 14\n3 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej\ni zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2),\n[-2, 3), [3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 < 0\ni 𝑥-3 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 ≥0 (z dokładnością do\ndomknięcia)\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| oraz 𝑔(𝑥) = 25\n3 -|𝑥-3|.\n1 pkt - przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko\nw jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu\nrozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji\n𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| albo 𝑔(𝑥) = 25\n3 -|𝑥-3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥+ 2| oraz\n|𝑥-3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań).\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥∈(-11\n3 , 14\n3 ), ale nie\nsprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓\ni 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz\n√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.\nZapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci\n|𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))\nW tym przypadku nierówność ma postać - 𝑥-2 < 25\n3 + 𝑥-3, czyli 𝑥> -11\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-11\n3 , -2).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-2, 3))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25\n3 + 𝑥-3. Otrzymujemy prawdziwą\nnierówność 5 < 25\n3 , więc 𝑥∈[-2, 3).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[3, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25\n3 -𝑥+ 3, czyli 𝑥< 14\n3 . Stąd\notrzymujemy 𝑥∈[3, 14\n3 ).\nOstatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11\n3 , 14\n3 ).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nZauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz\n√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.\nZapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwa jest\nrównoważność: |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3| , korzystając z tej równoważności\ndwukrotnie:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|)\n|𝑥-3| < 19\n3 -𝑥 i |𝑥-3| < 𝑥+ 31\n3\n𝑥-3 < 19\n3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19\n3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31\n3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31\n3 )\n2𝑥< 28\n3 i -3 > -19\n3 i -3 < 31\n3 i 2𝑥> -22\n3\n𝑥< 14\n3 i 𝑥∈ℝ i 𝑥∈ℝ i 𝑥> -11\n3\n-11\n3 < 𝑥< 14\n3\nOstatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11\n3 , 14\n3 ).","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)$. Zauważ: $\\sqrt{x^2+4x+4} = |x+2|$, $\\sqrt{x^2-6x+9} = |x-3|$. Nierówność: $|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}$. Rozpatruje 3 przypadki znaków modułów.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozpoznaj kwadraty pełne pod pierwiastkami.\n\n$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \\implies \\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$$\n\n$$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \\implies \\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$$\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\n$$|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}$$\n\nRozpatrz 3 przypadki znaków modułów (krytyczne punkty: $x = -2$ i $x = 3$).\n\nPrzypadek 1: $x < -2$. Wtedy $|x+2| = -(x+2)$, $|x-3| = 3-x$:\n\n$$-(x+2) + (3-x) = -2x + 1 < \\frac{25}{3}$$\n$$-2x < \\frac{22}{3} \\implies x > -\\frac{11}{3}$$\n\nRazem z $x < -2$: $-\\frac{11}{3} < x < -2$.\n\nPrzypadek 2: $-2 \\leq x < 3$. Wtedy $|x+2| = x+2$, $|x-3| = 3-x$:\n\n$$(x+2) + (3-x) = 5$$\n\n$5 < \\frac{25}{3}$? $5 = \\frac{15}{3} < \\frac{25}{3}$ ✓\n\nCały przedział $-2 \\leq x < 3$ jest rozwiązaniem.\n\nPrzypadek 3: $x \\geq 3$. Wtedy $|x+2| = x+2$, $|x-3| = x-3$:\n\n$$(x+2) + (x-3) = 2x - 1 < \\frac{25}{3}$$\n$$2x < \\frac{28}{3} \\implies x < \\frac{14}{3}$$\n\nRazem z $x \\geq 3$: $3 \\leq x < \\frac{14}{3}$.\n\nZbierz wszystkie przedziały:\n\n$$\\left(-\\frac{11}{3}, -2\\right) \\cup [-2, 3) \\cup \\left[3, \\frac{14}{3}\\right) = \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)$$\n\nPo co to umieć\n\n$\\sqrt{a^2} = |a|$ — fundament. To dlatego $\\sqrt{x^2} \\neq x$ dla wszystkich $x$.\n\nGeometryczna interpretacja: $|x - a|$ = odległość $x$ od $a$. Wyrażenie $|x+2| + |x-3| = |x - (-2)| + |x - 3|$ = suma odległości $x$ od $-2$ i od $3$.\n\nDla punktów pomiędzy $-2$ a $3$ ta suma jest stale równa $5$ (długość odcinka). Poza nim — rośnie liniowo. To pozwala szybciej rozumować geometrycznie.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\sqrt{x^2} = x$ zamiast $|x|$. Pamiętaj — pierwiastek kwadratowy z liczby jest **zawsze nieujemny**, więc $\\sqrt{a^2} = |a|$, nie $a$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"nierówność z modułami, suma odległości, bezwgledna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż nierówność
√𝒙𝟐+ 𝟒𝒙+ 𝟒< 𝟐𝟓
𝟑-√𝒙𝟐-𝟔𝒙+ 𝟗
Zapisz obliczenia.
Wskazówka: skorzystaj z tego, że √𝑎2 = |𝑎| dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.
9.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Rozwiąż nierówność √{x^2+4x+4} < 25/3 - √{x^2-6x+9} Wskazówka: skorzystaj z tego, że √{a^2}=|a| dla każdej liczby rzeczywistej a.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia
na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.
III.R4) rozwiązuje równania i nierówności
z wartością bezwzględną, o stopniu
trudności nie większym niż:
2|𝑥+ 3| + 3|𝑥-1| = 13,
|𝑥+ 2| + 2|𝑥-3| < 11.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-11
3 , 14
3 ).
3 pkt - rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków
(o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa
ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)
ALBO

\n\n

𝑥+ 2 < 25
3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25
3 -|𝑥-3|), a następnie w postaci
równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:
𝑥-3 < 19
3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19
3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31
3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31
3 ),
ALBO

\n\n

przecięcia: 𝑥= -11
3 oraz 𝑥= 14
3 i sprawdzenie rachunkiem poprawności
odczytanych współrzędnych.
2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej
i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2),
[-2, 3), [3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 < 0
i 𝑥-3 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 ≥0 (z dokładnością do
domknięcia)
ALBO

\n\n

𝑥+ 2 < 25
3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25
3 -|𝑥-3|),
ALBO

\n\n

3 -|𝑥-3|.
1 pkt - przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko
\n

w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu
rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji
\n

𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| albo 𝑔(𝑥) = 25
3 -|𝑥-3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej
konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co
najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥+ 2| oraz
|𝑥-3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań).

\n
  1. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥∈(-11
\n

3 , 14
3 ), ale nie
sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓
i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz
√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.
Zapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25
3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci
|𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3|.
Rozważamy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))
W tym przypadku nierówność ma postać - 𝑥-2 < 25
3 + 𝑥-3, czyli 𝑥> -11
3 .
Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-11
3 , -2).
Przypadek 2. (gdy 𝑥∈[-2, 3))
W tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25
3 + 𝑥-3. Otrzymujemy prawdziwą
nierówność 5 < 25
3 , więc 𝑥∈[-2, 3).
Przypadek 3. (gdy 𝑥∈[3, +∞))
W tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25
3 -𝑥+ 3, czyli 𝑥< 14
3 . Stąd
otrzymujemy 𝑥∈[3, 14
3 ).
Ostatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11
3 , 14
3 ).
Sposób II (poprzez koniunkcję nierówności)
Zauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz
√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.
Zapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25
3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci
Zasady oceniania rozwiązań zadań
|𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3|.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwa jest
równoważność: |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎.
Przekształcamy nierówność |𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3| , korzystając z tej równoważności
dwukrotnie:
𝑥+ 2 < 25
3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25
3 -|𝑥-3|)
|𝑥-3| < 19
3 -𝑥 i |𝑥-3| < 𝑥+ 31
3
𝑥-3 < 19
3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19
3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31
3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31
3 )
2𝑥< 28
3 i -3 > -19
3 i -3 < 31
3 i 2𝑥> -22
3
𝑥< 14
3 i 𝑥∈ℝ i 𝑥∈ℝ i 𝑥> -11
3
-11
3 < 𝑥< 14
3
Ostatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11
3 , 14
3 ).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)$. Zauważ: $\\sqrt{x^2+4x+4} = |x+2|$, $\\sqrt{x^2-6x+9} = |x-3|$. Nierówność: $|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}$. Rozpatruje 3 przypadki znaków modułów.

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Rozpoznaj kwadraty pełne pod pierwiastkami.

\n

$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \\implies \\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$$

\n

$$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \\implies \\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$$

\n

Nierówność przyjmuje postać:

\n

$$|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}$$

\n

Rozpatrz 3 przypadki znaków modułów (krytyczne punkty: $x = -2$ i $x = 3$).

\n

Przypadek 1: $x < -2$. Wtedy $|x+2| = -(x+2)$, $|x-3| = 3-x$:

\n

$$-(x+2) + (3-x) = -2x + 1 < \\frac{25}{3}$$
$$-2x < \\frac{22}{3} \\implies x > -\\frac{11}{3}$$

\n

Razem z $x < -2$: $-\\frac{11}{3} < x < -2$.

\n

Przypadek 2: $-2 \\leq x < 3$. Wtedy $|x+2| = x+2$, $|x-3| = 3-x$:

\n

$$(x+2) + (3-x) = 5$$

\n

$5 < \\frac{25}{3}$? $5 = \\frac{15}{3} < \\frac{25}{3}$ ✓

\n

Cały przedział $-2 \\leq x < 3$ jest rozwiązaniem.

\n

Przypadek 3: $x \\geq 3$. Wtedy $|x+2| = x+2$, $|x-3| = x-3$:

\n

$$(x+2) + (x-3) = 2x - 1 < \\frac{25}{3}$$
$$2x < \\frac{28}{3} \\implies x < \\frac{14}{3}$$

\n

Razem z $x \\geq 3$: $3 \\leq x < \\frac{14}{3}$.

\n

Zbierz wszystkie przedziały:

\n

$$\\left(-\\frac{11}{3}, -2\\right) \\cup [-2, 3) \\cup \\left[3, \\frac{14}{3}\\right) = \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)$$

\n

Po co to umieć

\n

$\\sqrt{a^2} = |a|$ — fundament. To dlatego $\\sqrt{x^2} \\neq x$ dla wszystkich $x$.

\n

Geometryczna interpretacja: $|x - a|$ = odległość $x$ od $a$. Wyrażenie $|x+2| + |x-3| = |x - (-2)| + |x - 3|$ = suma odległości $x$ od $-2$ i od $3$.

\n

Dla punktów pomiędzy $-2$ a $3$ ta suma jest stale równa $5$ (długość odcinka). Poza nim — rośnie liniowo. To pozwala szybciej rozumować geometrycznie.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\sqrt{x^2} = x$ zamiast $|x|$. Pamiętaj — pierwiastek kwadratowy z liczby jest zawsze nieujemny, więc $\\sqrt{a^2} = |a|$, nie $a$.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\(x_0 = -3\\), styczna: \\(y = -\\dfrac{8}{11}x + \\dfrac{9}{11}\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie warunku przynależności + reguła ilorazowa

\n

Krok 1: Wyznaczenie \\(x_0\\)

\n

Punkt \\(P = (x_0, 3)\\) leży na wykresie, więc \\(f(x_0) = 3\\):

\n

\\[\\frac{3x_0^2 - 2x_0}{x_0^2 + 2x_0 + 8} = 3\\]

\n

Mnożymy obie strony przez mianownik (sprawdzimy później, że \\(\\neq 0\\)):

\n

\\[3x_0^2 - 2x_0 = 3(x_0^2 + 2x_0 + 8)\\]

\n

\\[3x_0^2 - 2x_0 = 3x_0^2 + 6x_0 + 24\\]

\n

\\[-2x_0 = 6x_0 + 24\\]

\n

\\[-8x_0 = 24\\]

\n

\\[\\boxed{x_0 = -3}\\]

\n

Sprawdzamy mianownik: \\((-3)^2 + 2(-3) + 8 = 9 - 6 + 8 = 11 \\neq 0\\) ✓

\n

Krok 2: Obliczenie \\(f'(x)\\) - reguła ilorazowa

\n

Oznaczamy \\(u = 3x^2 - 2x\\) i \\(v = x^2 + 2x + 8\\), więc \\(u' = 6x - 2\\) i \\(v' = 2x + 2\\).

\n

\\[f'(x) = \\frac{u'v - uv'}{v^2} = \\frac{(6x-2)(x^2+2x+8) - (3x^2-2x)(2x+2)}{(x^2+2x+8)^2}\\]

\n

Krok 3: Obliczenie \\(f'(-3)\\)

\n

Liczymy kolejno:
\\[u'(-3) = 6(-3) - 2 = -20\\]
\\[v(-3) = (-3)^2 + 2(-3) + 8 = 11\\]
\\[u(-3) = 3 \\cdot 9 - 2(-3) = 27 + 6 = 33\\]
\\[v'(-3) = 2(-3) + 2 = -4\\]

\n

\\[f'(-3) = \\frac{(-20) \\cdot 11 - 33 \\cdot (-4)}{11^2} = \\frac{-220 + 132}{121} = \\frac{-88}{121} = -\\frac{8}{11}\\]

\n

Krok 4: Równanie stycznej

\n

Styczna przechodzi przez \\(P = (-3,\\, 3)\\) i ma współczynnik kierunkowy \\(-\\frac{8}{11}\\):

\n

\\[y - 3 = -\\frac{8}{11}(x - (-3))\\]

\n

\\[y - 3 = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11}\\]

\n

\\[y = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + \\frac{33}{11}\\]

\n

\\[\\boxed{y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, że wyznaczona styczna rzeczywiście przechodzi przez \\(P = (-3, 3)\\):

\n

\\[y(-3) = -\\frac{8}{11} \\cdot (-3) + \\frac{9}{11} = \\frac{24}{11} + \\frac{9}{11} = \\frac{33}{11} = 3 \\checkmark\\]

\n

Równanie stycznej można też zapisać w postaci ogólnej. Mnożymy przez \\(11\\):

\n

\\[11y = -8x + 9\\]

\n

\\[8x + 11y - 9 = 0\\]

\n

Sprawdzamy: \\(8(-3) + 11(3) - 9 = -24 + 33 - 9 = 0\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - reguła ilorazowa:
\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(f'(x)\\) jako ilorazu dwóch wielomianów.

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 33) - równanie stycznej:
\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]
To podstawowy wzór, z którego bezpośrednio wypisaliśmy równanie stycznej w punkcie \\(P\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W regule ilorazowej kolejność ma znaczenie - zawsze \\(u'v - uv'\\), nigdy odwrotnie! Zamiana miejscami daje wynik z przeciwnym znakiem.
\n
⚠️ Uwaga: Przed przemnożeniem przez mianownik sprawdź, że \\(v \\neq 0\\). Tutaj \\(x^2 + 2x + 8 = (x+1)^2 + 7 > 0\\) dla wszystkich \\(x\\) - mianownik nigdy nie jest zerem, więc funkcja jest określona na całej prostej rzeczywistej.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się pomylić przy podstawianiu \\(x_0 = -3\\) - pamiętaj o znaku: \\(-2x_0 = -2 \\cdot (-3) = +6\\), a nie \\(-6\\).
\n
Analiza zadania
\n

Punkt \\(P=(x_{0},3)\\) leży na wykresie, więc \\(f(x_{0})=3\\). Następnie wyznaczamy równanie stycznej \\(y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\\).

\n
Krok 1 - obliczenie \\(x_{0}\\)
\n

\\[\\dfrac{3x_{0}^{2}-2x_{0}}{x_{0}^{2}+2x_{0}+8}=3\\]
\\[3x_{0}^{2}-2x_{0}=3x_{0}^{2}+6x_{0}+24\\]
\\[-2x_{0}-6x_{0}=24 \\Rightarrow -8x_{0}=24 \\Rightarrow x_{0}=-3\\]

\n
Krok 2 - pochodna funkcji
\n

Korzystamy ze wzoru \\(\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)'=\\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\\) (karta wzorów, dział XIII):
\\[u=3x^{2}-2x \\Rightarrow u'=6x-2\\]
\\[v=x^{2}+2x+8 \\Rightarrow v'=2x+2\\]

\n

\\[f'(x)=\\dfrac{(6x-2)(x^{2}+2x+8)-(3x^{2}-2x)(2x+2)}{(x^{2}+2x+8)^{2}}\\]

\n

Licznik (rozwijamy):
\\((6x-2)(x^{2}+2x+8) = 6x^{3}+12x^{2}+48x-2x^{2}-4x-16 = 6x^{3}+10x^{2}+44x-16\\)

\n

\\((3x^{2}-2x)(2x+2) = 6x^{3}+6x^{2}-4x^{2}-4x = 6x^{3}+2x^{2}-4x\\)

\n

Różnica: \\(6x^{3}+10x^{2}+44x-16-6x^{3}-2x^{2}+4x = 8x^{2}+48x-16\\)

\n

\\[f'(x)=\\dfrac{8x^{2}+48x-16}{(x^{2}+2x+8)^{2}}\\]

\n
Krok 3 - wartość pochodnej w \\(x_{0}=-3\\)
\n

\\[f'(-3)=\\dfrac{8\\cdot 9+48\\cdot(-3)-16}{(9-6+8)^{2}}=\\dfrac{72-144-16}{121}=\\dfrac{-88}{121}=-\\dfrac{8}{11}\\]

\n
Krok 4 - równanie stycznej
\n

\\[y-3=-\\dfrac{8}{11}(x-(-3))\\]
\\[y=-\\dfrac{8}{11}x-\\dfrac{24}{11}+3 = -\\dfrac{8}{11}x+\\dfrac{9}{11}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x_{0}=-3\\), styczna: \\(y=-\\dfrac{8}{11}x+\\dfrac{9}{11}\\)

\n
Sposób 2 - obliczenie pochodnej za pomocą podziału
\n

Zapisujemy \\(f(x)=3-\\dfrac{8x+24}{x^{2}+2x+8}\\) (przez dzielenie). Wtedy:
\\[f'(x)=-\\dfrac{8(x^{2}+2x+8)-(8x+24)(2x+2)}{(x^{2}+2x+8)^{2}}\\]

\n

Po uproszczeniu otrzymujemy ten sam wzór \\(f'(x)=\\dfrac{8x^{2}+48x-16}{(x^{2}+2x+8)^{2}}\\). Dalej tak samo.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Gdy styczna w punkcie ma proste współczynniki, sprawdź, czy licznik pochodnej daje się rozłożyć - dla rozkładu \\(8(x^{2}+6x-2)\\) i \\(x_{0}=-3\\) łatwo obliczyć \\(f'(-3)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\\\in \\\\left(-\\\\dfrac{11}{3}, \\\\dfrac{14}{3}\\\\right)$

"}]}