{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nPan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna\nrata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.\nOblicz kwotę pierwszej raty.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):\n2𝑎1 + 17 ⋅(-30)\n2\n⋅18 = 8910\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\noraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1:\n2𝑎1+17⋅30\n2\n⋅18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,\nALBO\n- zapisanie równania\n𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -2 ⋅30) + (𝑎1 -3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 -17 ⋅30) = 8910,\ngdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania\n𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅30) + (𝑎1 + 3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 + 17 ⋅30) = 8910\n(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),\nALBO\n- zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1) i ostatnią ratą (𝑎18), np.\n𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶9 albo 𝑎18 = 𝑎1 -17 ⋅30 itp.,\nALBO\n- rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (-30) lub 30\ni zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.\n(𝑥, 𝑥-30, 𝑥-60, …, 𝑥-510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),\nALBO\n- zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.\n𝑎9+𝑎10\n2\n= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 -30.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟= 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie\ninterpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟= -30. Korzystamy ze\nwzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie\n2𝑎1 + 17 ⋅(-30)\n2\n⋅18 = 8910\nPrzekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy\n9(2𝑎1 -510) = 8910\n2𝑎1 -510 = 990\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób II\nPrzyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym\n𝑆18 = 8910 i 𝑟= 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy równanie\n2𝑎1 + 17 ⋅30\n2\n⋅18 = 8910\nPrzekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy\n9(2𝑎1 + 510) = 8910\n2𝑎1 + 510 = 990\n𝑎1 = 240\nOstatnia rata była równa 240 zł.\nObliczamy wysokość pierwszej raty\n𝑎18 = 240 + 17 ⋅30 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób III\nKolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym\nróżnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę\n(18 -1) ⋅30 = 510 zł.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd\n𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -60) + (𝑎1 -90)+. . . +(𝑎1 -510) = 8910\n18𝑎1 -(30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910\ngdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa\n30 + 510\n2\n⋅17 = 4590\nZatem\n18𝑎1 -4590 = 8910\n18𝑎1 = 13500\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób IV\nKolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem\n𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10\nObliczamy wartość pojedynczej sumy\n𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990\nKorzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy\n𝑎1 + 𝑎1 -17 ⋅30 = 990\n2𝑎1 = 990 + 510\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób V\nPrzyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:\n970 zł, 940 zł, … , 490 zł.\nSuma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania\no 4500 zł.\nObliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:\n4500 ∶18 = 250\n1000 -250 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób VI\nKolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) o różnicy\n𝑟= -30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:\n{(𝑎9 + 𝑎10) ⋅9 = 8910\n𝑎10 = 𝑎9 -30 {𝑎9 + 𝑎10 = 990\n𝑎9 -𝑎10 = 30\n2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510\nZatem\n𝑎1 = 𝑎9 -8 ⋅(-30) = 510 + 240 = 750","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna
rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt - zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅(-30)
2
⋅18 = 8910
ALBO

\n\n

oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1:
2𝑎1+17⋅30
2
⋅18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
ALBO

\n\n

𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -2 ⋅30) + (𝑎1 -3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 -17 ⋅30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅30) + (𝑎1 + 3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 + 17 ⋅30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO

\n\n

𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶9 albo 𝑎18 = 𝑎1 -17 ⋅30 itp.,
ALBO

\n\n

i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥, 𝑥-30, 𝑥-60, …, 𝑥-510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO

\n\n

𝑎9+𝑎10
2
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 -30.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
\n

rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
  2. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟= 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
\n

interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟= -30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅(-30)
2
⋅18 = 8910
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 -510) = 8910
2𝑎1 -510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟= 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅30
2
⋅18 = 8910
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 -1) ⋅30 = 510 zł.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -60) + (𝑎1 -90)+. . . +(𝑎1 -510) = 8910
18𝑎1 -(30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
2
⋅17 = 4590
Zatem
18𝑎1 -4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 -17 ⋅30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶18 = 250
1000 -250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) o różnicy
𝑟= -30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
{(𝑎9 + 𝑎10) ⋅9 = 8910
𝑎10 = 𝑎9 -30 {𝑎9 + 𝑎10 = 990
𝑎9 -𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 -8 ⋅(-30) = 510 + 240 = 750

","solutions":[]}