{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci\n(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że\n(𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5)\nzmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 dla 𝑦= 2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑦2 -4𝑦+ (𝑥2 -2𝑥+ 5)\nzmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠1,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ na podstawie\nanalizy zbiorów wartości obu funkcji.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci\n(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5)\nzmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑦-4)2 bądź\nΔ = -4(𝑦-2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego\nwyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑦2 + 16𝑦-16),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑦2 -4𝑦+ (𝑥2 -2𝑥+ 5)\nzmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑥-2)2 bądź\nΔ = -4(𝑥-1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego\nwyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑥2 + 8𝑥-4),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości\njednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 w sposób równoważny:\n𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -4𝑦 + 4 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów\n(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠1, więc (𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦-2)2 jest\nliczbą nieujemną, zatem suma (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 i otrzymujemy\n𝑥2 -2𝑥+ 𝑦2 -4𝑦+ 5 > 0.\nWyrażenie 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅(𝑦2 -4𝑦+ 5)\nΔ = 4 -4𝑦2 + 16𝑦-20\nΔ = -4(𝑦2 -4𝑦+ 4)\nΔ = -4(𝑦-2)2\nGdy 𝑦≠2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) zmiennej 𝑥\nnie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem\nfunkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.\nGdy 𝑦= 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 1. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠1.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nnierówność 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.\nSposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci\n𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie\nprzekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:\n𝑥2 -2𝑥+ 1 > -𝑦2 + 4𝑦-4 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ\nOtrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci\n(𝑥-1)2 > -(𝑦-2)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ\nRozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że\n𝑓(𝑥) = (𝑥-1)2 dla 𝑥≠1 oraz 𝑔(𝑦) = -(𝑦-2)2 dla 𝑦∈ℝ\nZbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓= (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔= (-∞, 0].\nZauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.\nTo oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nzachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).\nZatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
prawdziwa jest nierówność
𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:

\n
  1. używa wzorów skróconego mnożenia na
\n

(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci
(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że
(𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią
ALBO

\n\n

zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 dla 𝑦= 2,
ALBO

\n\n

zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠1,
ALBO

\n\n

prawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ na podstawie
analizy zbiorów wartości obu funkcji.
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci
(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0
ALBO

\n\n

zmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑦-4)2 bądź
Δ = -4(𝑦-2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑦2 + 16𝑦-16),
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

zmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑥-2)2 bądź
Δ = -4(𝑥-1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑥2 + 8𝑥-4),
ALBO

\n\n

jednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 w sposób równoważny:
𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -4𝑦 + 4 > 0
Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów
(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥≠1, więc (𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦-2)2 jest
liczbą nieujemną, zatem suma (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 i otrzymujemy
𝑥2 -2𝑥+ 𝑦2 -4𝑦+ 5 > 0.
Wyrażenie 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (-2)2 -4 ⋅(𝑦2 -4𝑦+ 5)
Δ = 4 -4𝑦2 + 16𝑦-20
Δ = -4(𝑦2 -4𝑦+ 4)
Δ = -4(𝑦-2)2
Gdy 𝑦≠2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) zmiennej 𝑥
nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest
dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem
funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Gdy 𝑦= 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 1. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑥≠1.
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
nierówność 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.
Sposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie
przekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:
𝑥2 -2𝑥+ 1 > -𝑦2 + 4𝑦-4 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ
Otrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci
(𝑥-1)2 > -(𝑦-2)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ
Rozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że
𝑓(𝑥) = (𝑥-1)2 dla 𝑥≠1 oraz 𝑔(𝑦) = -(𝑦-2)2 dla 𝑦∈ℝ
Zbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓= (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔= (-∞, 0].
Zauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.
To oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
zachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).
Zatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.

","solutions":[]}