{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nTrójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają długości\n5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.\nOblicz pole trójkąta 𝑇2.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2: 𝑃2 = 120.\n1 pkt - wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania\npozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.\n𝑎2\n𝑏2 = 12\n5 i 𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262, (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2: 𝑃1\n𝑃2 = (\n|𝐵𝐶|\n26 )\n2\n(lub 𝑃2\n𝑃1 = ( 26\n|𝐵𝐶|)\n2\n) oraz\nobliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 13,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘=\n|𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 2\n(lub 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐹| = 1\n2),\nALBO\n- obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu\nrównań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2, 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\ni 13\n5 = 26\n𝑏2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nDługości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1, 𝑏1 oraz\n𝑎2, 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są\nrówne:\n𝑎2\n𝑏2\n= 𝑎1\n𝑏1\ngdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5\nZatem\n𝑎2\n𝑏2\n= 12\n5 więc 𝑏2 = 5\n12 𝑎2\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:\n𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262\n𝑎2\n2 + ( 5\n12)\n2\n𝑎2\n2 = 262\n169\n144 𝑎2\n2 = 262\n𝑎2 = √144\n169 ⋅26 = 24\nZatem 𝑏2 = 5\n12 ⋅24 = 10.\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅𝑎2 ⋅𝑏2 = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\nSposób II\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘= |𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2:\n|𝐷𝐸| = 2 ⋅|𝐴𝐵| = 2 ⋅12 = 24\n|𝐷𝐹| = 2 ⋅|𝐴𝐶| = 2 ⋅5 = 10\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐷𝐹| = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\nSposób III\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘=\n|𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| = 1\n2 ⋅12 ⋅5 = 30\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali\npodobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2:\n𝑃2\n𝑃1\n= 𝑘2\nZatem\n𝑃2 = 𝑘2 ⋅𝑃1 = 22 ⋅30 = 120","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Trójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają długości<br>5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.<br>Oblicz pole trójkąta 𝑇2.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>32.<br>33.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>G10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.<br>7.3) rozpoznaje trójkąty podobne<br>i wykorzystuje cechy podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2: 𝑃2 = 120.<br>1 pkt - wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania<br>pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.<br>𝑎2<br>𝑏2 = 12<br>5 i 𝑎2<br>2 + 𝑏2<br>2 = 262, (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2: 𝑃1</li></ul>\n<p>𝑃2 = (<br>|𝐵𝐶|<br>26 )<br>2<br>(lub 𝑃2<br>𝑃1 = ( 26<br>|𝐵𝐶|)<br>2<br>) oraz<br>obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 13,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘=</li></ul>\n<p>|𝐸𝐹|<br>|𝐵𝐶| = 2<br>(lub 𝑘=<br>|𝐵𝐶|<br>|𝐸𝐹| = 1<br>2),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu</li></ul>\n<p>równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2, 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.<br>𝑐1 = 13 i 13<br>12 = 26<br>𝑎2<br>i 13<br>5 = 26<br>𝑏2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1, 𝑏1 oraz<br>𝑎2, 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są<br>równe:<br>𝑎2<br>𝑏2<br>= 𝑎1<br>𝑏1<br>gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5<br>Zatem<br>𝑎2<br>𝑏2<br>= 12<br>5 więc 𝑏2 = 5<br>12 𝑎2<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:<br>𝑎2<br>2 + 𝑏2<br>2 = 262<br>𝑎2<br>2 + ( 5<br>12)<br>2<br>𝑎2<br>2 = 262<br>169<br>144 𝑎2<br>2 = 262<br>𝑎2 = √144<br>169 ⋅26 = 24<br>Zatem 𝑏2 = 5<br>12 ⋅24 = 10.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝑇2:<br>𝑃2 = 1<br>2 ⋅𝑎2 ⋅𝑏2 = 1<br>2 ⋅24 ⋅10 = 120<br>Sposób II<br>Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego<br>trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie<br>𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy<br>|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2<br>122 + 52 = |𝐵𝐶|2<br>|𝐵𝐶|2 = 169<br>|𝐵𝐶| = 13<br>Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:<br>𝑘= |𝐸𝐹|<br>|𝐵𝐶| = 26<br>13 = 2<br>Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2:<br>|𝐷𝐸| = 2 ⋅|𝐴𝐵| = 2 ⋅12 = 24<br>|𝐷𝐹| = 2 ⋅|𝐴𝐶| = 2 ⋅5 = 10<br>Obliczamy pole trójkąta 𝑇2:<br>𝑃2 = 1<br>2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐷𝐹| = 1<br>2 ⋅24 ⋅10 = 120<br>Sposób III<br>Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego<br>trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie<br>𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy<br>|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2<br>122 + 52 = |𝐵𝐶|2<br>|𝐵𝐶|2 = 169<br>|𝐵𝐶| = 13<br>Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:<br>𝑘=<br>|𝐸𝐹|<br>|𝐵𝐶| = 26<br>13 = 2<br>Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1:<br>𝑃1 = 1<br>2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| = 1<br>2 ⋅12 ⋅5 = 30<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>26<br>5<br>12<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>26<br>5<br>12<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali<br>podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2:<br>𝑃2<br>𝑃1<br>= 𝑘2<br>Zatem<br>𝑃2 = 𝑘2 ⋅𝑃1 = 22 ⋅30 = 120</p>","solutions":[]}