{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nW kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐴= (-8, -2) oraz 𝐶= (0, 4) są końcami przekątnej.\nWyznacz równanie prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 tego kwadratu.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt.\nZasady oceniania\n2 pkt - wyznaczenie i zapisanie równania prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 (w postaci\nrównania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi) np. 𝑦= -4\n3 𝑥-13\n3 .\n1 pkt - obliczenie współrzędnej punktu 𝑆 oraz obliczenie współczynnika kierunkowego\nprostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania prostej 𝐴𝐶): 𝑆= (-4, 1) oraz 3\n4\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷: (-4\n3),\nALBO\n- zapisanie równości |𝑃𝐴| = |𝑃𝐶| wynikającej z własności symetralnej (gdzie 𝑃 jest\npunktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶) lub zapisanie równania postaci\n√(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = √(𝑥-0)2 + (𝑦-4)2\nALBO\n- wyznaczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 (lub jednego z nich i punktu 𝑆),\nz wykorzystaniem punktów kratowych.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ przekątne w kwadracie dzielą się na połowy, szukamy środka odcinka 𝐴𝐶:\n𝑆= (𝑥𝐴+ 𝑥𝐶\n2\n, 𝑦𝐴+ 𝑦𝐶\n2\n) = (-8 + 0\n2\n, -2 + 4\n2\n) = (-4, 1)\nKorzystając ze wzoru (𝑦-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴) -(𝑦𝐶-𝑦𝐴)(𝑥-𝑥𝐴) = 0, wyznaczamy równanie\nprostej 𝐴𝐶:\n(𝑦-(-2)) (0 -(-8)) -(4 -(-2))(𝑥-(-8)) = 0\n(𝑦+ 2) ⋅8 -6 ⋅(𝑥+ 8) = 0\n8𝑦= 6𝑥+ 32\n𝑦= 3\n4 𝑥+ 4\nProsta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶, zatem jej współczynnik\nkierunkowy jest równy (-4\n3).\nObliczamy współczynnik 𝑏 równania kierunkowego prostej 𝐵𝐷, podstawiając do wzoru\n𝑦= -4\n3 𝑥+ 𝑏 współrzędne punktu 𝑆= (-4, 1):\n1 = -4\n3 ⋅(-4) + 𝑏\n𝑏= -13\n3\nProsta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma postać 𝑦= -4\n3 𝑥-13\n3 .\nUwaga:\nRównanie prostej, która zawiera przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, można wyznaczyć\nz równości wynikającej z własności symetralnej odcinka 𝐴𝐶.\nNiech 𝑃= (𝑥, 𝑦) będzie punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶.\nWtedy:\n|𝑃𝐴| = |𝑃𝐶|\n√(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = √(𝑥-0)2 + (𝑦-4)2\n(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = (𝑥-0)2 + (𝑦-4)2\n𝑥2 + 16𝑥+ 64 + 𝑦2 + 4𝑦+ 4 = 𝑥2 + 𝑦2 -8𝑦+ 16\n12𝑦= -16𝑥-68 + 16\n𝑦= -4\n3 𝑥-13\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>W kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐴= (-8, -2) oraz 𝐶= (0, 4) są końcami przekątnej.<br>Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 tego kwadratu.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>8.1) wyznacza równanie prostej<br>przechodzącej przez dwa dane punkty<br>(w postaci kierunkowej lub ogólnej);<br>8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>[…] prostopadła do prostej danej w postaci<br>kierunkowej i przechodzi przez dany punkt.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - wyznaczenie i zapisanie równania prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 (w postaci<br>równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi) np. 𝑦= -4<br>3 𝑥-13<br>3 .<br>1 pkt - obliczenie współrzędnej punktu 𝑆 oraz obliczenie współczynnika kierunkowego<br>prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania prostej 𝐴𝐶): 𝑆= (-4, 1) oraz 3<br>4<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷: (-4</li></ul>\n<p>3),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości |𝑃𝐴| = |𝑃𝐶| wynikającej z własności symetralnej (gdzie 𝑃 jest</li></ul>\n<p>punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶) lub zapisanie równania postaci<br>√(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = √(𝑥-0)2 + (𝑦-4)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 (lub jednego z nich i punktu 𝑆),</li></ul>\n<p>z wykorzystaniem punktów kratowych.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Ponieważ przekątne w kwadracie dzielą się na połowy, szukamy środka odcinka 𝐴𝐶:<br>𝑆= (𝑥𝐴+ 𝑥𝐶<br>2<br>, 𝑦𝐴+ 𝑦𝐶<br>2<br>) = (-8 + 0<br>2<br>, -2 + 4<br>2<br>) = (-4, 1)<br>Korzystając ze wzoru (𝑦-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴) -(𝑦𝐶-𝑦𝐴)(𝑥-𝑥𝐴) = 0, wyznaczamy równanie<br>prostej 𝐴𝐶:<br>(𝑦-(-2)) (0 -(-8)) -(4 -(-2))(𝑥-(-8)) = 0<br>(𝑦+ 2) ⋅8 -6 ⋅(𝑥+ 8) = 0<br>8𝑦= 6𝑥+ 32<br>𝑦= 3<br>4 𝑥+ 4<br>Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶, zatem jej współczynnik<br>kierunkowy jest równy (-4<br>3).<br>Obliczamy współczynnik 𝑏 równania kierunkowego prostej 𝐵𝐷, podstawiając do wzoru<br>𝑦= -4<br>3 𝑥+ 𝑏 współrzędne punktu 𝑆= (-4, 1):<br>1 = -4<br>3 ⋅(-4) + 𝑏<br>𝑏= -13<br>3<br>Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma postać 𝑦= -4<br>3 𝑥-13<br>3 .<br>Uwaga:<br>Równanie prostej, która zawiera przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, można wyznaczyć<br>z równości wynikającej z własności symetralnej odcinka 𝐴𝐶.<br>Niech 𝑃= (𝑥, 𝑦) będzie punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶.<br>Wtedy:<br>|𝑃𝐴| = |𝑃𝐶|<br>√(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = √(𝑥-0)2 + (𝑦-4)2<br>(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = (𝑥-0)2 + (𝑦-4)2<br>𝑥2 + 16𝑥+ 64 + 𝑦2 + 4𝑦+ 4 = 𝑥2 + 𝑦2 -8𝑦+ 16<br>12𝑦= -16𝑥-68 + 16<br>𝑦= -4<br>3 𝑥-13<br>3<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}