{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nZe zbioru ośmiu liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po\njednej liczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych\nliczb jest podzielny przez 15.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\n35.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n64 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 8 ⋅8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1\n8 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n64 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n64 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru\nΩ jest równa 64.\nW tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n2\n3\n×\n4\n5\n×\n×\n×\n6\n×\n7\n8\n9\n×\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn\njest podzielny przez 15, jest równe 6\n64 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest\npodzielny przez 15.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 = 6\n64\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n5\n3\n6\n9\n5\n5\n3\n5\n6\n9\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze\nzbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅8 = 64.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest\npodzielny przez 15.\nWielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.\nWyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:\n15 = 3 ⋅5 = 5 ⋅3 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),\n30 = 6 ⋅5 = 5 ⋅6 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),\n45 = 9 ⋅5 = 5 ⋅9 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).\nSprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = 6\n64 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 35. (0-2)
Ze zbioru ośmiu liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po
jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych
liczb jest podzielny przez 15.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
35.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 35. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.2) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6
64 .
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO

\n\n

zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO

\n\n

|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1
8 na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO

\n\n

64 ,
ALBO

\n\n

64 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
×
4
5
×
×
×
6
×
7
8
9
×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
jest podzielny przez 15, jest równe 6
64 .
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
8 ∙1
8 + 1
8 ∙1
8 + 1
8 ∙1
8 + 1
8 ∙1
8 + 1
8 ∙1
8 + 1
8 ∙1
8 = 6
64
1
8
1
8
1
8
1
8
5
3
6
9
5
5
3
5
6
9
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅5 = 5 ⋅3 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅5 = 5 ⋅6 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅5 = 5 ⋅9 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = 6
64 .

","solutions":[]}