{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n√𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9\nWskazówka: skorzystaj z tego, że √𝑎2 = |𝑎| dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR3.8) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną, o poziomie\ntrudności nie wyższym niż:\n||𝑥+ 1| -2| = 3, |𝑥+ 3| + |𝑥-5| > 12.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-11\n3 , 14\n3 ).\n3 pkt - rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków\n(o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa\nℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n𝑥-3 < 19\n3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19\n3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31\n3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31\n3 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -11\n3 oraz 𝑥= 14\n3 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej\ni zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2),\n⟨-2, 3), ⟨3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 < 0\ni 𝑥-3 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 ≥0 (z dokładnością do\ndomknięcia)\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| oraz 𝑔(𝑥) =\n25\n3 -|𝑥-3|.\n1 pkt - przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko\nw jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu\nrozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji\n𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| albo 𝑔(𝑥) = 25\n3 -|𝑥-3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥+ 2| oraz\n|𝑥-3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań).\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥∈(-11\n3 , 14\n3 ), ale nie\nsprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓\ni 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz\n√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.\nZapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci\n|𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))\nW tym przypadku nierówność ma postać - 𝑥-2 < 25\n3 + 𝑥-3, czyli 𝑥> -11\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-11\n3 , -2).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈⟨-2, 3))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25\n3 + 𝑥-3. Otrzymujemy prawdziwą\nnierówność 5 < 25\n3 , więc 𝑥∈⟨-2, 3).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈⟨3, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25\n3 -𝑥+ 3, czyli 𝑥< 14\n3 . Stąd\notrzymujemy 𝑥∈⟨3, 14\n3 ).\nOstatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11\n3 , 14\n3 ).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nZauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz\n√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.\nZapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci\n|𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwa jest\nrównoważność: |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzekształcamy nierówność |𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3| , korzystając z tej równoważności\ndwukrotnie:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|)\n|𝑥-3| < 19\n3 -𝑥 i |𝑥-3| < 𝑥+ 31\n3\n𝑥-3 < 19\n3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19\n3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31\n3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31\n3 )\n2𝑥< 28\n3 i -3 > -19\n3 i -3 < 31\n3 i 2𝑥> -22\n3\n𝑥< 14\n3 i 𝑥∈ℝ i 𝑥∈ℝ i 𝑥> -11\n3\n-11\n3 < 𝑥< 14\n3\nOstatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11\n3 , 14\n3 ).","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż nierówność
√𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25
3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9
Wskazówka: skorzystaj z tego, że √𝑎2 = |𝑎| dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
R3.8) rozwiązuje równania i nierówności
z wartością bezwzględną, o poziomie
trudności nie wyższym niż:
||𝑥+ 1| -2| = 3, |𝑥+ 3| + |𝑥-5| > 12.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-11
3 , 14
3 ).
3 pkt - rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków
(o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa
ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)
ALBO

\n\n

𝑥+ 2 < 25
3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25
3 -|𝑥-3|), a następnie w postaci
równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:
𝑥-3 < 19
3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19
3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31
3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31
3 ),
ALBO

\n\n

przecięcia: 𝑥= -11
3 oraz 𝑥= 14
3 i sprawdzenie rachunkiem poprawności
odczytanych współrzędnych.
2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej
i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2),
⟨-2, 3), ⟨3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 < 0
i 𝑥-3 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 ≥0 (z dokładnością do
domknięcia)
ALBO

\n\n

𝑥+ 2 < 25
3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25
3 -|𝑥-3|),
ALBO

\n\n

25
3 -|𝑥-3|.
1 pkt - przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko
\n

w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu
rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji
\n

𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| albo 𝑔(𝑥) = 25
3 -|𝑥-3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej
konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co
najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥+ 2| oraz
|𝑥-3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań).

\n
  1. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥∈(-11
\n

3 , 14
3 ), ale nie
sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓
i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz
√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.
Zapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25
3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci
|𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3|.
Rozważamy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))
W tym przypadku nierówność ma postać - 𝑥-2 < 25
3 + 𝑥-3, czyli 𝑥> -11
3 .
Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-11
3 , -2).
Przypadek 2. (gdy 𝑥∈⟨-2, 3))
W tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25
3 + 𝑥-3. Otrzymujemy prawdziwą
nierówność 5 < 25
3 , więc 𝑥∈⟨-2, 3).
Przypadek 3. (gdy 𝑥∈⟨3, +∞))
W tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25
3 -𝑥+ 3, czyli 𝑥< 14
3 . Stąd
otrzymujemy 𝑥∈⟨3, 14
3 ).
Ostatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11
3 , 14
3 ).
Sposób II (poprzez koniunkcję nierówności)
Zauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz
√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.
Zapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25
3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci
|𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3|.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwa jest
równoważność: |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przekształcamy nierówność |𝑥+ 2| < 25
3 -|𝑥-3| , korzystając z tej równoważności
dwukrotnie:
𝑥+ 2 < 25
3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25
3 -|𝑥-3|)
|𝑥-3| < 19
3 -𝑥 i |𝑥-3| < 𝑥+ 31
3
𝑥-3 < 19
3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19
3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31
3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31
3 )
2𝑥< 28
3 i -3 > -19
3 i -3 < 31
3 i 2𝑥> -22
3
𝑥< 14
3 i 𝑥∈ℝ i 𝑥∈ℝ i 𝑥> -11
3
-11
3 < 𝑥< 14
3
Ostatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11
3 , 14
3 ).

","solutions":[]}