{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nOkreślamy kwadraty 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , … następująco:\n𝐾1 jest kwadratem o boku długości 𝑎\n𝐾2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾1 i dzieli\nten bok w stosunku 1 ∶3\n𝐾3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾2 i dzieli\nten bok w stosunku 1 ∶3\ni ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥2,\n𝐾𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾𝑛-1\ni dzieli ten bok w stosunku 1 ∶3.\nObwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg\ngeometryczny.\nNa rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.\n𝑎\n𝑎\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR5.2) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿=\n4𝑎\n1-\n√10\n4\n(lub 𝐿= 8⋅(4+√10)𝑎\n3\n).\n3 pkt - zapisanie: 𝐿= 4𝑎(1 +\n√10\n4 + 5\n8 + … ).\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞=\n√10\n4 .\n1 pkt - obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 =\n√10\n4 𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje\nzadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞∈(0, 1), oraz za konsekwentne\nobliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).\n3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje\nzadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza\nprzedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za\npoprawne obliczenie 𝑎2).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎𝑖 długość boku kwadratu 𝐾𝑖 , natomiast przez 𝐿𝑖 - obwód kwadratu 𝐾𝑖\n(dla 𝑖= 1, 2, 3, …). Niech 𝐿 oznacza sumę obwodów wszystkich rozważanych kwadratów.\nObliczamy długości boków kolejnych kwadratów:\n𝑎1 = 𝑎\n𝑎2 = √(1\n4 𝑎)\n2\n+ (3\n4 𝑎)\n2\n= √10\n4 𝑎\nAnalogicznie\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎3 = √10\n4 𝑎2 = √10\n4\n∙√10\n4 𝑎= 5\n8 𝑎\n𝑎4 = 5√10\n32 𝑎\ni tak dalej.\nStąd\n𝐿= 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + … = 4𝑎+ 4 ∙√10\n4 𝑎+ 4 ∙5\n8 𝑎+ … = 4𝑎(1 + √10\n4\n+ 5\n8 + … )\nZauważamy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie 𝑎1 = 1\ni 𝑞=\n√10\n4 .\nPonieważ |𝑞| =\n√10\n4\n< 1, zatem spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu sumy\nnieskończonego szeregu geometrycznego.\nZatem 𝐿= 4𝑎∙\n1\n1-\n√10\n4\n4𝑎\n1-\n√10\n4\n= 8⋅(4+√10)𝑎\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Określamy kwadraty 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , … następująco:
𝐾1 jest kwadratem o boku długości 𝑎
𝐾2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾1 i dzieli
ten bok w stosunku 1 ∶3
𝐾3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾2 i dzieli
ten bok w stosunku 1 ∶3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥2,
𝐾𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾𝑛-1
i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg
geometryczny.
Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
𝑎
𝑎

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
11.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
R5.2) rozpoznaje szeregi geometryczne
zbieżne i oblicza ich sumy.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿=
4𝑎
1-
√10
4
(lub 𝐿= 8⋅(4+√10)𝑎
3
).
3 pkt - zapisanie: 𝐿= 4𝑎(1 +
√10
4 + 5
8 + … ).
2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞=
√10
4 .
1 pkt - obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 =
√10
4 𝑎.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to
\n

może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje
\n

zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞∈(0, 1), oraz za konsekwentne
obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje
\n

zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza
\n

przedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za
poprawne obliczenie 𝑎2).
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy przez 𝑎𝑖 długość boku kwadratu 𝐾𝑖 , natomiast przez 𝐿𝑖 - obwód kwadratu 𝐾𝑖
(dla 𝑖= 1, 2, 3, …). Niech 𝐿 oznacza sumę obwodów wszystkich rozważanych kwadratów.
Obliczamy długości boków kolejnych kwadratów:
𝑎1 = 𝑎
𝑎2 = √(1
4 𝑎)
2

\n\n

4 𝑎)
2
= √10
4 𝑎
Analogicznie
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑎3 = √10
4 𝑎2 = √10
4
∙√10
4 𝑎= 5
8 𝑎
𝑎4 = 5√10
32 𝑎
i tak dalej.
Stąd
𝐿= 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + … = 4𝑎+ 4 ∙√10
4 𝑎+ 4 ∙5
8 𝑎+ … = 4𝑎(1 + √10
4

\n\n

8 + … )
Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie 𝑎1 = 1
i 𝑞=
√10
4 .
Ponieważ |𝑞| =
√10
4
< 1, zatem spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu sumy
nieskończonego szeregu geometrycznego.
Zatem 𝐿= 4𝑎∙
1
1-
√10
4
4𝑎
1-
√10
4
= 8⋅(4+√10)𝑎
3

","solutions":[]}