{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nRozwiąż równanie 3 sin2 𝑥-sin2(2𝑥) = 0 w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR6.5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\nR6.6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne typu sin 2𝑥= 1\n2 ,\nsin 2𝑥+ cos 𝑥= 1, sin 𝑥+ cos 𝑥= 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: 𝜋, 7𝜋\n6 , 11𝜋\n6 , 2𝜋.\n3 pkt - przekształcenie równania 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 do alternatywy równań\ntrygonometrycznych i rozwiązanie dwóch z otrzymanych równań w zbiorze ℝ lub\njednego z nich w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉.\n2 pkt - zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥= 0 lub 3 -4 cos2 𝑥= 0\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥= 0 lub 4 sin2 𝑥-1 = 0,\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań:\n√3 sin 𝑥-2sin 𝑥cos 𝑥= 0 lub √3 sin 𝑥+ 2sin 𝑥cos 𝑥= 0,\nALBO\n- zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą 𝑡= cos2 𝑥 (np.\n4𝑡2 -7𝑡+ 3 = 0 i 𝑡= 1 oraz 𝑡= 3\n4 ),\nALBO\n- zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą 𝑡= sin2 𝑥 (np.\n4𝑡2 -𝑡= 0 i 𝑡= 0 oraz 𝑡= 1\n4 ),\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań: |sin 𝑥| = 0 lub √3 -2|cos 𝑥| = 0.\n1 pkt - przekształcenie równania 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 do jednej z poniższych postaci:\nsin2 𝑥(3 -4 cos2 𝑥) = 0\nlub sin2 𝑥(4 sin2 𝑥-1) = 0,\nlub 4 cos4 𝑥-7 cos2 𝑥+ 3 = 0,\nlub 4 sin4 𝑥-sin2 𝑥= 0,\nlub (√3 sin 𝑥-sin 2𝑥)(√3 sin 𝑥+ sin 2𝑥) = 0,\nlub |√3 sin 𝑥| = |sin 2𝑥|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\n- podzielenie obu stron równania przez sin 𝑥 (bez stosownego założenia)\n- zastosowania niepoprawnej zależności √𝑎2 = 𝑎\n- zastosowania niepoprawnej zależności √𝑎2 -𝑏2 = 𝑎-𝑏\ni zdający konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji).\n2. Jeżeli zdający, przekształcając lewą stronę równania, zapisze ją w postaci\nsin 𝑥⋅(3 -4 cos2 𝑥) lub sin 𝑥⋅(√3 -2 cos 𝑥)(√3 + 2 cos 𝑥), to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie, korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta,\ni otrzymujemy:\n3 sin2 𝑥-4 sin2 𝑥∙cos2 𝑥= 0\nsin2 𝑥(3 -4 cos2 𝑥) = 0\nsin2 𝑥= 0 lub 3 -4 cos2 𝑥= 0\nsin 𝑥= 0 lub cos2 𝑥= 3\n4\nsin 𝑥= 0 lub cos 𝑥= √3\n2 lub cos 𝑥= -√3\n2\nRównanie sin 𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 dwa rozwiązania: 𝜋 oraz 2𝜋.\nRównanie cos 𝑥=\n√3\n2 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 jedno rozwiązanie: 11𝜋\n6 .\nRównanie cos 𝑥= -\n√3\n2 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 jedno rozwiązanie: 7𝜋\n6 .\nZatem równanie 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 cztery rozwiązania:\n𝜋, 7𝜋\n6 , 11𝜋\n6 , 2𝜋.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie, korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta,\ni otrzymujemy:\n3 sin2 𝑥= sin2 2𝑥\n√3|sin 𝑥| = |sin 2𝑥|\n√3 ⋅|sin 𝑥| = 2 ⋅|sin 𝑥| ⋅|cos 𝑥|\n|sin 𝑥| ⋅(√3 -2|cos 𝑥|) = 0\n|sin 𝑥| = 0 lub √3 -2|cos 𝑥| = 0\nsin 𝑥= 0 lub |cos 𝑥| = √3\n2\nRównanie sin 𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 dwa rozwiązania: 𝜋 oraz 2𝜋.\nRównanie | cos 𝑥| =\n√3\n2 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 dwa rozwiązania: 7𝜋\n6 oraz 11𝜋\n6 .\nZatem równanie 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 cztery rozwiązania:\n𝜋, 7𝜋\n6 , 11𝜋\n6 , 2𝜋.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Rozwiąż równanie 3 sin2 𝑥-sin2(2𝑥) = 0 w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R6.5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy
i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów
i cosinusów kątów;
R6.6) rozwiązuje równania
trygonometryczne typu sin 2𝑥= 1
2 ,
sin 2𝑥+ cos 𝑥= 1, sin 𝑥+ cos 𝑥= 1.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: 𝜋, 7𝜋
6 , 11𝜋
6 , 2𝜋.
3 pkt - przekształcenie równania 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 do alternatywy równań
trygonometrycznych i rozwiązanie dwóch z otrzymanych równań w zbiorze ℝ lub
jednego z nich w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉.
2 pkt - zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥= 0 lub 3 -4 cos2 𝑥= 0
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

√3 sin 𝑥-2sin 𝑥cos 𝑥= 0 lub √3 sin 𝑥+ 2sin 𝑥cos 𝑥= 0,
ALBO

\n\n

4𝑡2 -7𝑡+ 3 = 0 i 𝑡= 1 oraz 𝑡= 3
4 ),
ALBO

\n\n

4𝑡2 -𝑡= 0 i 𝑡= 0 oraz 𝑡= 1
4 ),
ALBO

\n\n

1 pkt - przekształcenie równania 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 do jednej z poniższych postaci:
sin2 𝑥(3 -4 cos2 𝑥) = 0
lub sin2 𝑥(4 sin2 𝑥-1) = 0,
lub 4 cos4 𝑥-7 cos2 𝑥+ 3 = 0,
lub 4 sin4 𝑥-sin2 𝑥= 0,
lub (√3 sin 𝑥-sin 2𝑥)(√3 sin 𝑥+ sin 2𝑥) = 0,
lub |√3 sin 𝑥| = |sin 2𝑥|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
\n\n

i zdający konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji).

\n
  1. Jeżeli zdający, przekształcając lewą stronę równania, zapisze ją w postaci
\n

sin 𝑥⋅(3 -4 cos2 𝑥) lub sin 𝑥⋅(√3 -2 cos 𝑥)(√3 + 2 cos 𝑥), to może otrzymać co
najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie, korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta,
i otrzymujemy:
3 sin2 𝑥-4 sin2 𝑥∙cos2 𝑥= 0
sin2 𝑥(3 -4 cos2 𝑥) = 0
sin2 𝑥= 0 lub 3 -4 cos2 𝑥= 0
sin 𝑥= 0 lub cos2 𝑥= 3
4
sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥= √3
2 lub cos 𝑥= -√3
2
Równanie sin 𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 dwa rozwiązania: 𝜋 oraz 2𝜋.
Równanie cos 𝑥=
√3
2 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 jedno rozwiązanie: 11𝜋
6 .
Równanie cos 𝑥= -
√3
2 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 jedno rozwiązanie: 7𝜋
6 .
Zatem równanie 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 cztery rozwiązania:
𝜋, 7𝜋
6 , 11𝜋
6 , 2𝜋.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie, korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta,
i otrzymujemy:
3 sin2 𝑥= sin2 2𝑥
√3|sin 𝑥| = |sin 2𝑥|
√3 ⋅|sin 𝑥| = 2 ⋅|sin 𝑥| ⋅|cos 𝑥|
|sin 𝑥| ⋅(√3 -2|cos 𝑥|) = 0
|sin 𝑥| = 0 lub √3 -2|cos 𝑥| = 0
sin 𝑥= 0 lub |cos 𝑥| = √3
2
Równanie sin 𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 dwa rozwiązania: 𝜋 oraz 2𝜋.
Równanie | cos 𝑥| =
√3
2 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 dwa rozwiązania: 7𝜋
6 oraz 11𝜋
6 .
Zatem równanie 3 sin2 𝑥-sin2 2𝑥= 0 ma w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉 cztery rozwiązania:
𝜋, 7𝜋
6 , 11𝜋
6 , 2𝜋.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}