{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶\ntego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem 𝐴𝐵 - kąt ostry,\nktórego sinus jest równy 1\n4 . Oblicz obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR7.1) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10.\n3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)\nALBO\n- obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania\n8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|.\n2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: 8√3\nALBO\n- zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,\nALBO\n- zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,\nALBO\n- zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):\n1) |𝐴𝐵|\n√3\n2\n= 4\n1\n4\nlub 1\n4 = 2√3\n|𝐴𝐵|,\n2) 1\n2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅\n√3\n2 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1\n4 ,\n3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|),\n4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷|\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵), np.\n𝑥2 = 16 + (2 + 𝑥√15\n4 )\n2\n-4 (2 + 𝑥√15\n4 ),\n16 = (2 + √15\n4 𝑥)\n2\n+ 𝑥2 -√15\n2\n⋅(2 + √15\n4 𝑥) 𝑥\n(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania\nsin 𝛼= 1\n4 .\nObliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵. Korzystamy\nz twierdzenia sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\nsin 60° = |𝐵𝐶|\nsin 𝛼\n|𝐴𝐵|\n√3\n2\n= 4\n1\n4\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nPonieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nSposób II\nZauważmy, że pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć na dwa sposoby:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐶| ⋅sin 60° = 1\n2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅√3\n2\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1\n4\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nPonieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nSposób III\nOznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania\nsin 𝛼= 1\n4 . Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵.\nProwadzimy wysokość 𝐵𝐸 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nTrójkąt prostokątny 𝐵𝐶𝐸 ma kąty ostre 30° i 60°,\nwięc jest „połową” trójkąta równobocznego o boku\ndługości 4. Zatem\n5\n𝐶\n𝐷\n4\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝑆\n60°\n𝐸\n5\n𝐶\n𝐷\n4\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝑆\n60°\n𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐸𝐵| = 4√3\n2\n= 2√3\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐸 otrzymujemy\nsin 𝛼= |𝐸𝐵|\n|𝐴𝐵|\nczyli\n1\n4 = 2√3\n|𝐴𝐵|\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany na okręgu, więc |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|.\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-4)<br>Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶<br>tego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem 𝐴𝐵 - kąt ostry,<br>którego sinus jest równy 1<br>4 . Oblicz obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>13.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R7.1) stosuje twierdzenia charakteryzujące<br>czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty<br>opisane na okręgu.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10.<br>3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania</li></ul>\n<p>8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|.<br>2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: 8√3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.</li></ul>\n<p>1 pkt - zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):</p>\n<ol><li>|𝐴𝐵|</li></ol>\n<p>√3<br>2<br>= 4<br>1<br>4<br>lub 1<br>4 = 2√3<br>|𝐴𝐵|,</p>\n<ol><li>1</li></ol>\n<p>2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅<br>√3<br>2 = 1<br>2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1<br>4 ,</p>\n<ol><li>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|),</li><li>|𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷|</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵), np.</li></ul>\n<p>𝑥2 = 16 + (2 + 𝑥√15<br>4 )<br>2<br>-4 (2 + 𝑥√15<br>4 ),<br>16 = (2 + √15<br>4 𝑥)<br>2</p>\n<ul><li>𝑥2 -√15</li></ul>\n<p>2<br>⋅(2 + √15<br>4 𝑥) 𝑥<br>(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania<br>sin 𝛼= 1<br>4 .<br>Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵. Korzystamy<br>z twierdzenia sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i otrzymujemy<br>|𝐴𝐵|<br>sin 60° = |𝐵𝐶|<br>sin 𝛼<br>|𝐴𝐵|<br>√3<br>2<br>= 4<br>1<br>4<br>Stąd |𝐴𝐵| = 8√3.<br>Ponieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność<br>|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|<br>Zatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy<br>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10<br>Sposób II<br>Zauważmy, że pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć na dwa sposoby:<br>𝑃= 1<br>2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐶| ⋅sin 60° = 1<br>2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅√3<br>2<br>𝑃= 1<br>2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1<br>4<br>Stąd |𝐴𝐵| = 8√3.<br>Ponieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność<br>|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|<br>Zatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy<br>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10<br>Sposób III<br>Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania<br>sin 𝛼= 1<br>4 . Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵.<br>Prowadzimy wysokość 𝐵𝐸 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.<br>Trójkąt prostokątny 𝐵𝐶𝐸 ma kąty ostre 30° i 60°,<br>więc jest „połową” trójkąta równobocznego o boku<br>długości 4. Zatem<br>5<br>𝐶<br>𝐷<br>4<br>𝛼<br>𝐵<br>𝐴<br>𝑆<br>60°<br>𝐸<br>5<br>𝐶<br>𝐷<br>4<br>𝛼<br>𝐵<br>𝐴<br>𝑆<br>60°<br>𝑎<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>|𝐸𝐵| = 4√3<br>2<br>= 2√3<br>Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐸 otrzymujemy<br>sin 𝛼= |𝐸𝐵|<br>|𝐴𝐵|<br>czyli<br>1<br>4 = 2√3<br>|𝐴𝐵|<br>Stąd |𝐴𝐵| = 8√3.<br>Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany na okręgu, więc |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|.<br>Zatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy<br>𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10</p>","solutions":[]}