{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których równanie\n𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 = 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR3.1) stosuje wzory Viète’a;\nR3.2) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(2, 9\n4).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28, np. -64 -3 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) ∙(-4) > -28\nALBO\n- zapisanie nierówności (-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n> -28 i poprawne\nzastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej\njednego ze składników sumy (-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 w zależności\nod 𝑚: 𝑥1 =\n-4-√20𝑚-44\n𝑚-2\n2⋅1\n, 𝑥2 =\n-4+√20𝑚-44\n𝑚-2\n2⋅1\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań\nz etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚-3\n𝑚-2 lub\n𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie\nistotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 do postaci\npozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2], i konsekwentnie do popełnionego błędu\ndoprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt\nza II etap.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 , gdzie 𝑚≠2, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\nwtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:\n42 -4 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) > 0\n20𝑚-44\n𝑚-2\n> 0\n(20𝑚-44) ⋅(𝑚-2) > 0\n20 (𝑚-11\n5 ) ⋅(𝑚-2) > 0\n𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞)\nII etap\nSposób I\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28, korzystając ze wzorów Viète’a:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28\n-64 -3 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) ∙(-4) > -28\n𝑚-3\n𝑚-2 < -3\n(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0\n𝑚∈(2, 9\n4)\nSposób II\nWyznaczamy pierwiastki 𝑥1, 𝑥2 trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 :\n𝑥1 =\n-4 -√\n20𝑚-44\n𝑚-2\n2 ⋅1\n= -2 -√5𝑚-11\n𝑚-2\n𝑥2 =\n-4 + √\n20𝑚-44\n𝑚-2\n2 ⋅1\n= -2 + √5𝑚-11\n𝑚-2\nNierówność 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 możemy więc zapisać w postaci\n(-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n> -28\nOznaczmy √5𝑚-11\n𝑚-2 przez 𝑝. Wtedy\n(-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28\nKorzystając ze wzoru na sześcian różnicy i sześcian sumy, otrzymujemy dalej\n(-8 -12𝑝-6𝑝2 -𝑝3) + (-8 + 12𝑝-6𝑝2 + 𝑝3) > -28\n-12𝑝2 -16 > -28\n12𝑝2 -12 < 0\n𝑝2 -1 < 0\nZatem\n(√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n2\n-1 < 0\n5𝑚-11\n𝑚-2 -1 < 0\n5𝑚-11 -𝑚+ 2\n𝑚-2\n< 0\n4𝑚-9\n𝑚-2 < 0\n(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0\n𝑚∈(2, 9\n4)\nUwaga:\nNierówność (-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28 możemy również przekształcić, korzystając ze\nwzoru na sumę sześcianów. Wtedy otrzymujemy\n(-2 -𝑝+ (-2) + 𝑝)[(-2 -𝑝)2 -(-2 -𝑝)(-2 + 𝑝) + (-2 + 𝑝)2] > -28\n-4(4 + 4𝑝+ 𝑝2 + 𝑝2 -4 + 4 -4𝑝+ 𝑝2) > -28\n3𝑝2 + 4 < 7\n𝑝2 -1 < 0\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞) oraz 𝑚∈(2, 9\n4): 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których równanie
𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3
𝑚-2 = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
R3.1) stosuje wzory Viète’a;
R3.2) rozwiązuje równania i nierówności
liniowe i kwadratowe z parametrem.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, 2) ∪(11
5 , +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku
𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28: 𝑚∈(2, 9
4).
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku
𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28, np. -64 -3 ∙(-𝑚-3
𝑚-2) ∙(-4) > -28
ALBO

\n\n

𝑚-2 )
3

\n\n

𝑚-2 )
3

\n
-28 i poprawne
\n

zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej
jednego ze składników sumy (-2 -√5𝑚-11
𝑚-2 )
3

\n\n

𝑚-2 )
3
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28
ALBO

\n\n

𝑚-2 w zależności
od 𝑚: 𝑥1 =
-4-√20𝑚-44
𝑚-2
2⋅1
, 𝑥2 =
-4+√20𝑚-44
𝑚-2
2⋅1
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28: 𝑚∈(11
5 , 9
4).
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28: 𝑚∈(11
5 , 9
4).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb
rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań
z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚-3
\n

𝑚-2 lub
𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje
0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie
\n

istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28 do postaci
pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że
𝑥1
3 + 𝑥2
3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2], i konsekwentnie do popełnionego błędu
doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt
za II etap.
Przykładowe pełne rozwiązanie
I etap
Trójmian kwadratowy 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3
𝑚-2 , gdzie 𝑚≠2, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:
42 -4 ∙(-𝑚-3
𝑚-2) > 0
20𝑚-44
𝑚-2

\n
0
\n

(20𝑚-44) ⋅(𝑚-2) > 0
20 (𝑚-11
5 ) ⋅(𝑚-2) > 0
𝑚∈(-∞, 2) ∪(11
5 , +∞)
II etap
Sposób I
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28, korzystając ze wzorów Viète’a:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28
-64 -3 ∙(-𝑚-3
𝑚-2) ∙(-4) > -28
𝑚-3
𝑚-2 < -3
(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0
𝑚∈(2, 9
4)
Sposób II
Wyznaczamy pierwiastki 𝑥1, 𝑥2 trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3
𝑚-2 :
𝑥1 =
-4 -√
20𝑚-44
𝑚-2
2 ⋅1
= -2 -√5𝑚-11
𝑚-2
𝑥2 =
-4 + √
20𝑚-44
𝑚-2
2 ⋅1
= -2 + √5𝑚-11
𝑚-2
Nierówność 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28 możemy więc zapisać w postaci
(-2 -√5𝑚-11
𝑚-2 )
3

\n\n

𝑚-2 )
3

\n
-28
\n

Oznaczmy √5𝑚-11
𝑚-2 przez 𝑝. Wtedy
(-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28
Korzystając ze wzoru na sześcian różnicy i sześcian sumy, otrzymujemy dalej
(-8 -12𝑝-6𝑝2 -𝑝3) + (-8 + 12𝑝-6𝑝2 + 𝑝3) > -28
-12𝑝2 -16 > -28
12𝑝2 -12 < 0
𝑝2 -1 < 0
Zatem
(√5𝑚-11
𝑚-2 )
2
-1 < 0
5𝑚-11
𝑚-2 -1 < 0
5𝑚-11 -𝑚+ 2
𝑚-2
< 0
4𝑚-9
𝑚-2 < 0
(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0
𝑚∈(2, 9
4)
Uwaga:
Nierówność (-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28 możemy również przekształcić, korzystając ze
wzoru na sumę sześcianów. Wtedy otrzymujemy
(-2 -𝑝+ (-2) + 𝑝)[(-2 -𝑝)2 -(-2 -𝑝)(-2 + 𝑝) + (-2 + 𝑝)2] > -28
-4(4 + 4𝑝+ 𝑝2 + 𝑝2 -4 + 4 -4𝑝+ 𝑝2) > -28
3𝑝2 + 4 < 7
𝑝2 -1 < 0
III etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, które jednocześnie spełniają warunki
𝑚∈(-∞, 2) ∪(11
5 , +∞) oraz 𝑚∈(2, 9
4): 𝑚∈(11
5 , 9
4).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}