{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nRozważamy trójkąty 𝐴𝐵𝐶, w których 𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑚, 0), gdzie 𝑚∈(4, +∞),\na wierzchołek 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -2𝑥. Na boku 𝐵𝐶 tego trójkąta leży punkt\n𝐷= (3, 2).\na) Wykaż, że dla 𝑚∈(4, +∞) pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, jako funkcja zmiennej 𝑚, wyraża się\nwzorem\n𝑃(𝑚) =\n𝑚2\n𝑚-4\nb) Oblicz tę wartość 𝑚, dla której funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz\nrównanie prostej 𝐵𝐶, przy której funkcja 𝑃 osiąga tę najmniejszą wartość.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n3 pkt - wyznaczenie pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcji zmiennej 𝑚: 𝑃(𝑚) = 𝑚2\n𝑚-4 .\n2 pkt - wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu 𝐶: 𝑥𝐶=\n𝑚\n4-𝑚\n(lub 𝑦𝐶= 2𝑚\n𝑚-4 ).\n1 pkt - wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷: 2\n3-𝑚\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐵𝐷 w postaci ogólnej, np. 2𝑥+ (𝑚-3)𝑦-2𝑚= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść b)\n4 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 w przypadku, gdy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest\nnajmniejsze, np. 𝑦= -2\n5 𝑥+ 16\n5 .\n3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑚) > 0 dla 𝑚∈(8, +∞) oraz\n𝑃′(𝑚) < 0 dla 𝑚∈(4, 8), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości\nzmiennej 𝑚, dla której funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą, np.\nfunkcja 𝑃 zmiennej 𝑚 (określona na przedziale (4, +∞)) jest rosnąca\nw przedziale ⟨8, +∞) oraz malejąca w przedziale (4, 8⟩, więc w punkcie 𝑚= 8\nosiąga najmniejszą wartość\nALBO\n- uzasadnienie, że dla 𝑚= 8 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie\nśrednich liczbowych).\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑚= 8\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑚, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej\ni geometrycznej liczb dodatnich 𝑚-4 oraz 16\n𝑚-4 : 𝑚= 8.\n1 pkt - wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑚) = 2𝑚(𝑚-4)-𝑚2⋅1\n(𝑚-4)2\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚-4\noraz 16\n𝑚-4 :\n𝑚-4 +\n16\n𝑚-4\n2\n≥√(𝑚-4) ⋅\n16\n𝑚-4\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚-4, 4\noraz 16\n𝑚-4 :\n𝑚-4 + 4 +\n16\n𝑚-4\n3\n≥√(𝑚-4) ⋅4 ⋅\n16\n𝑚-4\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części b):\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-”, znak pochodnej.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑚, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nlub\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑚 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja 𝑃 przyjmuje najmniejszą wartość dla\n𝑚= 8, nie ogranicza się do przedziału (4, +∞), to za część b) może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty.\n4. Akceptujemy przedziały monotoniczności (4, 8), (8, +∞).\n5. Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to\notrzymuje co najwyżej 3 punkty za część b).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nSposób I\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐷: 𝑎𝐵𝐷= 2-0\n3-𝑚=\n2\n3-𝑚 .\nProsta 𝐵𝐷 ma równanie 𝑦=\n2\n3-𝑚⋅(𝑥-𝑚).\nWyznaczamy współrzędne wierzchołka 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), rozwiązując układ równań\n𝑦=\n2\n3-𝑚⋅(𝑥-𝑚) i 𝑦= -2𝑥.\nStąd, dla 𝑚> 4, otrzymujemy\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2\n3 -𝑚⋅(𝑥𝐶-𝑚) = -2𝑥𝐶\n(\n2\n3 -𝑚+ 2) 𝑥𝐶=\n2𝑚\n3 -𝑚\n8 -2𝑚\n3 -𝑚⋅𝑥𝐶=\n2𝑚\n3 -𝑚\n4 -𝑚\n3 -𝑚⋅𝑥𝐶=\n𝑚\n3 -𝑚\n𝑥𝐶=\n𝑚\n4 -𝑚\nWtedy 𝑦𝐶= -2 ∙\n𝑚\n4-𝑚= 2𝑚\n𝑚-4. Zatem 𝐶= ( 𝑚\n4-𝑚 ,\n2𝑚\n𝑚-4).\nPodstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma długość |𝑚|. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona\nz wierzchołka 𝐶 jest równa | 2𝑚\n𝑚-4|. Zatem pole 𝑃 tego trójkąta, jako funkcja zmiennej 𝑚,\njest określone wzorem\n𝑃(𝑚) = 1\n2 ∙|𝑚| ⋅| 2𝑚\n𝑚-4|\nPonieważ 𝑚> 4, więc 𝑃(𝑚) = 𝑚2\n𝑚-4 .\nSposób II\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐷: 𝑎𝐵𝐷= 2-0\n3-𝑚=\n2\n3-𝑚 .\nPunkt 𝐶 leży na prostej 𝑦= -2𝑥, zatem ma współrzędne (𝑥𝐶, -2𝑥𝐶).\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= -2𝑥𝐶-0\n𝑥𝐶-𝑚= 2𝑥𝐶\n𝑚-𝑥𝐶\nPonieważ 𝑎𝐵𝐷= 𝑎𝐵𝐶, więc dla 𝑚> 4 otrzymujemy\n2\n3 -𝑚=\n2𝑥𝐶\n𝑚-𝑥𝐶\nStąd\n𝑥𝐶=\n𝑚\n4 -𝑚\nWtedy -2𝑥𝐶= -2 ∙\n𝑚\n4-𝑚= 2𝑚\n𝑚-4 . Zatem 𝐶= ( 𝑚\n4-𝑚 ,\n2𝑚\n𝑚-4).\nPodstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma długość |𝑚|. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona\nz wierzchołka 𝐶 jest równa | 2𝑚\n𝑚-4|. Zatem pole 𝑃 tego trójkąta, jako funkcja zmiennej 𝑚,\njest określone wzorem\n𝑃(𝑚) = 1\n2 ∙|𝑚| ⋅| 2𝑚\n𝑚-4|\nPonieważ 𝑚> 4, więc 𝑃(𝑚) = 𝑚2\n𝑚-4 .\nb)\nSposób I\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑚) = 2𝑚(𝑚-4) -𝑚2 ∙1\n(𝑚-4)2\n= 𝑚2 -8𝑚\n(𝑚-4)2 = 𝑚(𝑚-8)\n(𝑚-4)2\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑚) = 0 i 𝑚∈(4, +∞)\n𝑚(𝑚-8)\n(𝑚-4)2 = 0 i 𝑚∈(4, +∞)\n𝑚(𝑚-8) = 0 i 𝑚∈(4, +∞)\n𝑚= 8\nPonieważ 𝑃′(𝑚) > 0 dla 𝑚∈(8, +∞) oraz 𝑃′(𝑚) < 0 dla 𝑚∈(4, 8), więc funkcja 𝑃\njest malejąca w przedziale (4, 8⟩ oraz rosnąca w przedziale ⟨8, +∞). Zatem funkcja 𝑃\nosiąga wartość najmniejszą dla 𝑚= 8.\nGdy 𝑚= 8, to prosta 𝐵𝐶 przechodzi przez punkty 𝐵= (8, 0) oraz 𝐷= (3, 2), więc ma\nrównanie 𝑦=\n2\n3-8 ⋅(𝑥-8), czyli 𝑦= -2\n5 𝑥+ 16\n5 .\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑚2\n𝑚-4 :\n𝑚2\n𝑚-4 = (𝑚2 -8𝑚+ 16) + 8𝑚-32 + 16\n𝑚-4\n= (𝑚-4) + 8 +\n16\n𝑚-4\nPonieważ 𝑚> 4, więc liczby 𝑚-4 oraz 16\n𝑚-4 są dodatnie. Z nierówności między\nśrednimi arytmetyczną i geometryczną dla liczb dodatnich 𝑚-4 oraz 16\n𝑚-4 otrzymujemy:\n𝑚-4 +\n16\n𝑚-4\n2\n≥√(𝑚-4) ⋅\n16\n𝑚-4\n𝑚-4 +\n16\n𝑚-4\n2\n≥√16\n𝑚-4 +\n16\n𝑚-4 ≥8\n𝑚-4 + 8 +\n16\n𝑚-4 ≥16\n𝑃(𝑚) ≥16\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑚, dla których 𝑚-4 =\n16\n𝑚-4 i jednocześnie\n𝑚> 4, tj. dla 𝑚= 8.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑚= 8.\nGdy 𝑚= 8, to prosta 𝐵𝐶 przechodzi przez punkty 𝐵= (8, 0) oraz 𝐷= (3, 2), więc ma\nrównanie 𝑦=\n2\n3-8 ⋅(𝑥-8), czyli 𝑦= -2\n5 𝑥+ 16\n5 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-7)<br>Rozważamy trójkąty 𝐴𝐵𝐶, w których 𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑚, 0), gdzie 𝑚∈(4, +∞),<br>a wierzchołek 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -2𝑥. Na boku 𝐵𝐶 tego trójkąta leży punkt<br>𝐷= (3, 2).<br>a) Wykaż, że dla 𝑚∈(4, +∞) pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, jako funkcja zmiennej 𝑚, wyraża się<br>wzorem<br>𝑃(𝑚) =<br>𝑚2<br>𝑚-4<br>b) Oblicz tę wartość 𝑚, dla której funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz<br>równanie prostej 𝐵𝐶, przy której funkcja 𝑃 osiąga tę najmniejszą wartość.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>16.<br>Maks. liczba pkt<br>7<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-7)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>R11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania<br>zagadnień optymalizacyjnych.<br>Zasady oceniania<br>Część a)<br>3 pkt - wyznaczenie pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcji zmiennej 𝑚: 𝑃(𝑚) = 𝑚2<br>𝑚-4 .<br>2 pkt - wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu 𝐶: 𝑥𝐶=<br>𝑚<br>4-𝑚<br>(lub 𝑦𝐶= 2𝑚<br>𝑚-4 ).<br>1 pkt - wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷: 2<br>3-𝑚<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania prostej 𝐵𝐷 w postaci ogólnej, np. 2𝑥+ (𝑚-3)𝑦-2𝑚= 0.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Część b)<br>4 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 w przypadku, gdy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest<br>najmniejsze, np. 𝑦= -2<br>5 𝑥+ 16<br>5 .<br>3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑚) &gt; 0 dla 𝑚∈(8, +∞) oraz<br>𝑃′(𝑚) &lt; 0 dla 𝑚∈(4, 8), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości<br>zmiennej 𝑚, dla której funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą, np.<br>funkcja 𝑃 zmiennej 𝑚 (określona na przedziale (4, +∞)) jest rosnąca<br>w przedziale ⟨8, +∞) oraz malejąca w przedziale (4, 8⟩, więc w punkcie 𝑚= 8<br>osiąga najmniejszą wartość<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że dla 𝑚= 8 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie</li></ul>\n<p>średnich liczbowych).<br>2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑚= 8<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wartości 𝑚, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej</li></ul>\n<p>i geometrycznej liczb dodatnich 𝑚-4 oraz 16<br>𝑚-4 : 𝑚= 8.<br>1 pkt - wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑚) = 2𝑚(𝑚-4)-𝑚2⋅1<br>(𝑚-4)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚-4</li></ul>\n<p>oraz 16<br>𝑚-4 :<br>𝑚-4 +<br>16<br>𝑚-4<br>2<br>≥√(𝑚-4) ⋅<br>16<br>𝑚-4<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚-4, 4</li></ul>\n<p>oraz 16<br>𝑚-4 :<br>𝑚-4 + 4 +<br>16<br>𝑚-4<br>3<br>≥√(𝑚-4) ⋅4 ⋅<br>16<br>𝑚-4<br>3<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi do części b):</p>\n<ol><li>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres</li></ol>\n<p>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np.<br>znakami „+” i „-”, znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑚, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃</li></ul>\n<p>lub</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑚 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej najmniejsza wartość.<br>Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co<br>najwyżej 3 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja 𝑃 przyjmuje najmniejszą wartość dla</li></ol>\n<p>𝑚= 8, nie ogranicza się do przedziału (4, +∞), to za część b) może otrzymać co<br>najwyżej 3 punkty.</p>\n<ol><li>Akceptujemy przedziały monotoniczności (4, 8), (8, +∞).</li><li>Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to</li></ol>\n<p>otrzymuje co najwyżej 3 punkty za część b).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>a)<br>Sposób I<br>Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐷: 𝑎𝐵𝐷= 2-0<br>3-𝑚=<br>2<br>3-𝑚 .<br>Prosta 𝐵𝐷 ma równanie 𝑦=<br>2<br>3-𝑚⋅(𝑥-𝑚).<br>Wyznaczamy współrzędne wierzchołka 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), rozwiązując układ równań<br>𝑦=<br>2<br>3-𝑚⋅(𝑥-𝑚) i 𝑦= -2𝑥.<br>Stąd, dla 𝑚&gt; 4, otrzymujemy<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>2<br>3 -𝑚⋅(𝑥𝐶-𝑚) = -2𝑥𝐶<br>(<br>2<br>3 -𝑚+ 2) 𝑥𝐶=<br>2𝑚<br>3 -𝑚<br>8 -2𝑚<br>3 -𝑚⋅𝑥𝐶=<br>2𝑚<br>3 -𝑚<br>4 -𝑚<br>3 -𝑚⋅𝑥𝐶=<br>𝑚<br>3 -𝑚<br>𝑥𝐶=<br>𝑚<br>4 -𝑚<br>Wtedy 𝑦𝐶= -2 ∙<br>𝑚<br>4-𝑚= 2𝑚<br>𝑚-4. Zatem 𝐶= ( 𝑚<br>4-𝑚 ,<br>2𝑚<br>𝑚-4).<br>Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma długość |𝑚|. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona<br>z wierzchołka 𝐶 jest równa | 2𝑚<br>𝑚-4|. Zatem pole 𝑃 tego trójkąta, jako funkcja zmiennej 𝑚,<br>jest określone wzorem<br>𝑃(𝑚) = 1<br>2 ∙|𝑚| ⋅| 2𝑚<br>𝑚-4|<br>Ponieważ 𝑚&gt; 4, więc 𝑃(𝑚) = 𝑚2<br>𝑚-4 .<br>Sposób II<br>Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐷: 𝑎𝐵𝐷= 2-0<br>3-𝑚=<br>2<br>3-𝑚 .<br>Punkt 𝐶 leży na prostej 𝑦= -2𝑥, zatem ma współrzędne (𝑥𝐶, -2𝑥𝐶).<br>Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= -2𝑥𝐶-0<br>𝑥𝐶-𝑚= 2𝑥𝐶<br>𝑚-𝑥𝐶<br>Ponieważ 𝑎𝐵𝐷= 𝑎𝐵𝐶, więc dla 𝑚&gt; 4 otrzymujemy<br>2<br>3 -𝑚=<br>2𝑥𝐶<br>𝑚-𝑥𝐶<br>Stąd<br>𝑥𝐶=<br>𝑚<br>4 -𝑚<br>Wtedy -2𝑥𝐶= -2 ∙<br>𝑚<br>4-𝑚= 2𝑚<br>𝑚-4 . Zatem 𝐶= ( 𝑚<br>4-𝑚 ,<br>2𝑚<br>𝑚-4).<br>Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma długość |𝑚|. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona<br>z wierzchołka 𝐶 jest równa | 2𝑚<br>𝑚-4|. Zatem pole 𝑃 tego trójkąta, jako funkcja zmiennej 𝑚,<br>jest określone wzorem<br>𝑃(𝑚) = 1<br>2 ∙|𝑚| ⋅| 2𝑚<br>𝑚-4|<br>Ponieważ 𝑚&gt; 4, więc 𝑃(𝑚) = 𝑚2<br>𝑚-4 .<br>b)<br>Sposób I<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑚) = 2𝑚(𝑚-4) -𝑚2 ∙1<br>(𝑚-4)2<br>= 𝑚2 -8𝑚<br>(𝑚-4)2 = 𝑚(𝑚-8)<br>(𝑚-4)2<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:<br>𝑃′(𝑚) = 0 i 𝑚∈(4, +∞)<br>𝑚(𝑚-8)<br>(𝑚-4)2 = 0 i 𝑚∈(4, +∞)<br>𝑚(𝑚-8) = 0 i 𝑚∈(4, +∞)<br>𝑚= 8<br>Ponieważ 𝑃′(𝑚) &gt; 0 dla 𝑚∈(8, +∞) oraz 𝑃′(𝑚) &lt; 0 dla 𝑚∈(4, 8), więc funkcja 𝑃<br>jest malejąca w przedziale (4, 8⟩ oraz rosnąca w przedziale ⟨8, +∞). Zatem funkcja 𝑃<br>osiąga wartość najmniejszą dla 𝑚= 8.<br>Gdy 𝑚= 8, to prosta 𝐵𝐶 przechodzi przez punkty 𝐵= (8, 0) oraz 𝐷= (3, 2), więc ma<br>równanie 𝑦=<br>2<br>3-8 ⋅(𝑥-8), czyli 𝑦= -2<br>5 𝑥+ 16<br>5 .<br>Sposób II<br>Przekształcamy wyrażenie 𝑚2<br>𝑚-4 :<br>𝑚2<br>𝑚-4 = (𝑚2 -8𝑚+ 16) + 8𝑚-32 + 16<br>𝑚-4<br>= (𝑚-4) + 8 +<br>16<br>𝑚-4<br>Ponieważ 𝑚&gt; 4, więc liczby 𝑚-4 oraz 16<br>𝑚-4 są dodatnie. Z nierówności między<br>średnimi arytmetyczną i geometryczną dla liczb dodatnich 𝑚-4 oraz 16<br>𝑚-4 otrzymujemy:<br>𝑚-4 +<br>16<br>𝑚-4<br>2<br>≥√(𝑚-4) ⋅<br>16<br>𝑚-4<br>𝑚-4 +<br>16<br>𝑚-4<br>2<br>≥√16<br>𝑚-4 +<br>16<br>𝑚-4 ≥8<br>𝑚-4 + 8 +<br>16<br>𝑚-4 ≥16<br>𝑃(𝑚) ≥16<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>przy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑚, dla których 𝑚-4 =<br>16<br>𝑚-4 i jednocześnie<br>𝑚&gt; 4, tj. dla 𝑚= 8.<br>Zatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑚= 8.<br>Gdy 𝑚= 8, to prosta 𝐵𝐶 przechodzi przez punkty 𝐵= (8, 0) oraz 𝐷= (3, 2), więc ma<br>równanie 𝑦=<br>2<br>3-8 ⋅(𝑥-8), czyli 𝑦= -2<br>5 𝑥+ 16<br>5 .</p>","solutions":[]}