{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nLiczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3. Wykaż, że 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że\njedna z liczb: 𝑥, 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie\nzałożenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦)\nw postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≥0 lub 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≤0, np. 16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0\nALBO\n- wykorzystanie założenia 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności w postaci\n4(𝑥-𝑦)2 ≤0 (lub 4(4 -2𝑦)2 ≤0, lub 4(2𝑥-4)2 ≤0),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦) ≤0 oraz poprawne\nokreślenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦),\nALBO\n- zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie\nobu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych\nprzypadków.\n1 pkt - wykorzystanie zależności 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą,\nnp. 𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci\n(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci 𝑥⋅𝑦≥4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający podstawia do związków 𝑥+ 𝑦= 4 oraz 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 konkretne\nwartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc 𝑦= 4 -𝑥. Ponieważ ponadto 𝑥 i 𝑦 spełniają nierówność\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3, więc otrzymujemy\n𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3\nStosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy\n𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤𝑥(16 -8𝑥+ 𝑥2) -(64 -48𝑥+ 12𝑥2 -𝑥3)\nPrzekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno\n𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤16𝑥-8𝑥2 + 𝑥3 -64 + 48𝑥-12𝑥2 + 𝑥3\n16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0\n(4𝑥-8)2 ≤0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym\nrozwiązaniem tej nierówności jest 𝑥= 2.\nPonieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc 𝑦= 2.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 kolejno do postaci\n𝑥3 -𝑥2𝑦-𝑥𝑦2 + 𝑦3 ≤0\n(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≤0\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc otrzymujemy\n4(𝑥-𝑦)2 ≤0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić\n(𝑥-𝑦)2 = 0\nStąd 𝑥-𝑦= 0, czyli 𝑥= 𝑦. Zatem 2𝑥= 4, czyli 𝑥= 2. Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc\n𝑦= 2.\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Liczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność<br>𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3. Wykaż, że 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>5.<br>6.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>3<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>R2.1) używa wzorów skróconego mnożenia<br>na (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności<br>𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować<br>o równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że<br>jedna z liczb: 𝑥, 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>2 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie<br>założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦)<br>w postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≥0 lub 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≤0, np. 16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0<br>ALBO</p>\n<ul><li>wykorzystanie założenia 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności w postaci</li></ul>\n<p>4(𝑥-𝑦)2 ≤0 (lub 4(4 -2𝑦)2 ≤0, lub 4(2𝑥-4)2 ≤0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności do postaci (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦) ≤0 oraz poprawne</li></ul>\n<p>określenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie</li></ul>\n<p>obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych<br>przypadków.<br>1 pkt - wykorzystanie zależności 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą,<br>np. 𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci</li></ul>\n<p>(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci 𝑥⋅𝑦≥4.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający podstawia do związków 𝑥+ 𝑦= 4 oraz 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 konkretne<br>wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc 𝑦= 4 -𝑥. Ponieważ ponadto 𝑥 i 𝑦 spełniają nierówność<br>𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3, więc otrzymujemy<br>𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3<br>Stosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy<br>𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤𝑥(16 -8𝑥+ 𝑥2) -(64 -48𝑥+ 12𝑥2 -𝑥3)<br>Przekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno<br>𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤16𝑥-8𝑥2 + 𝑥3 -64 + 48𝑥-12𝑥2 + 𝑥3<br>16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0<br>(4𝑥-8)2 ≤0<br>Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym<br>rozwiązaniem tej nierówności jest 𝑥= 2.<br>Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc 𝑦= 2.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Przekształcamy nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 kolejno do postaci<br>𝑥3 -𝑥2𝑦-𝑥𝑦2 + 𝑦3 ≤0<br>(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0<br>(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≤0<br>Ponieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc otrzymujemy<br>4(𝑥-𝑦)2 ≤0<br>Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić<br>(𝑥-𝑦)2 = 0<br>Stąd 𝑥-𝑦= 0, czyli 𝑥= 𝑦. Zatem 2𝑥= 4, czyli 𝑥= 2. Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc<br>𝑦= 2.<br>To należało wykazać.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}