{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nW pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy\njednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z kul pozostałych w pojemniku -\nlosujemy jeszcze jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim\nlosowaniu.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR10.3) korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny\nwynik: 2\n7 .\n2 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 oraz\nprawdopodobieństw warunkowych 𝑃(𝐴|𝐵1), 𝑃(𝐴|𝐵2), 𝑃(𝐴|𝐵3):\n𝑃(𝐵1) =\n(5\n2)\n(7\n2) i 𝑃(𝐵2) =\n(5\n1) ⋅ (2\n1)\n(7\n2)\n,i 𝑃(𝐵3) =\n(2\n2)\n(7\n2) ,i 𝑃(𝐴|𝐵1) = 2\n5 ,i 𝑃(𝐴|𝐵2) = 1\n5 ,\ni 𝑃(𝐴|𝐵3) = 0\nALBO\n- zapisanie prawdopodobieństw na wszystkich odcinkach istotnych gałęzi drzewa,\nALBO\n- zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej\ndefinicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅6 ⋅5 oraz\n|𝐴| = 5 ⋅4 ⋅2 + 5 ⋅2 ⋅1 + 2 ⋅5 ⋅1 (lub |𝐴| = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 60).\n1 pkt - opisanie zdarzeń losowych 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 i obliczenie ich prawdopodobieństw:\n𝑃(𝐵1) =\n(5\n2)\n(7\n2) , 𝑃(𝐵2) =\n(5\n1) ⋅ (2\n1)\n(7\n2)\n, 𝑃(𝐵3) =\n(2\n2)\n(7\n2)\nALBO\n- narysowanie drzewa stochastycznego doświadczenia i zapisanie prawdopodobieństw\nna gałęziach drzewa I etapu doświadczenia (dla drzewa dwuetapowego) lub I i II\netapu (dla drzewa trzyetapowego),\nALBO\n- obliczenie prawdopodobieństw wylosowania kuli czarnej na ostatnim etapie oraz\nwłaściwe zinterpretowanie wcześniejszych etapów doświadczenia: 2\n5 , 1\n5 ,\nALBO\n- zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych lub liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej\ndefinicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅6 ⋅5 lub\n|𝐴| = 5 ⋅4 ⋅2 + 5 ⋅2 ⋅1 + 2 ⋅5 ⋅1 (lub |𝐴| = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 60).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, stosując twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, pominie składnik\n𝑃(𝐵3) ⋅𝑃(𝐴|𝐵3), to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze jedynie 𝑃(𝐴) = 2\n7 , to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze 𝑃(𝐴) = 2\n7 i zapisze poprawny komentarz uzasadniający\notrzymany wynik, to otrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (prawdopodobieństwo całkowite)\nWprowadzamy następujące oznaczenia:\n𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że w drugim losowaniu wylosowano kulę czarną,\n𝐵1 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu wylosowano dwie kule białe,\n𝐵2 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu wylosowano kulę białą i kulę\nczarną,\n𝐵3 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu wylosowano dwie kule czarne.\nObliczamy prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 :\n𝑃(𝐵1) =\n(5\n2)\n(7\n2)\n= 10\n21 𝑃(𝐵2) =\n(5\n1) ⋅ (2\n1)\n(7\n2)\n= 10\n21 𝑃(𝐵3) =\n(2\n2)\n(7\n2)\n= 1\n21\nObliczamy prawdopodobieństwa warunkowe 𝑃(𝐴|𝐵1), 𝑃(𝐴|𝐵2), 𝑃(𝐴|𝐵3):\n𝑃(𝐴|𝐵1) = 𝑃(𝐴∩𝐵1) ∶𝑃(𝐵1) =\n(5\n2) ⋅(2\n1)\n(7\n2) ⋅(5\n1)\n:\n(5\n2)\n(7\n2) = 2\n5\n𝑃(𝐴|𝐵2) = 1\n5 𝑃(𝐴|𝐵3) = 0\nStosujemy twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i obliczamy prawdopodobieństwo\nzdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵1) ⋅𝑃(𝐵1) + 𝑃(𝐴|𝐵2) ⋅𝑃(𝐵2) + 𝑃(𝐴|𝐵3) ⋅𝑃(𝐵3) =\n= 2\n5 ⋅10\n21 + 1\n5 ⋅10\n21 + 0 ⋅1\n21 = 2\n7\nSposób II (model klasyczny)\nNiech 𝐾 będzie zbiorem siedmiu kul, które znajdowały się w pojemniku. Przyjmijmy, że\nzdarzeniem elementarnym jest każdy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧), którego wyrazami są trzy kule:\n𝑥, 𝑦, 𝑧∈𝐾, parami różne. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (jest to\nmodel klasyczny).\nWtedy\n|Ω| = 7 ⋅6 ⋅5 = 210\ngdzie |Ω| oznacza liczbę elementów zbioru Ω (zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nNiech 𝐴 będzie zdarzeniem polegającym na tym, że trzecia z wylosowanych kul (𝑧) będzie\nczarna.\nZdarzenie 𝐴 jest sumą parami rozłącznych zdarzeń:\n𝐴1 - dwie wylosowane kule (𝑥 oraz 𝑦) będą białe, a trzecia kula (𝑧) będzie czarna,\n𝐴2 - pierwsza kula (𝑥) będzie biała, a następne dwie (𝑦 oraz 𝑧) będą czarne,\n𝐴3 - pierwsza kula (𝑥) będzie czarna, druga (𝑦) będzie biała, a trzecia kula (𝑧) będzie\nczarna.\nPonieważ\n|𝐴1| = 5 ∙4 ∙2 = 40, |𝐴2| = 5 ∙2 ∙1 = 10, |𝐴3| = 2 ∙5 ∙1 = 10\nwięc\n|𝐴| = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 60\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 60\n210 = 2\n7\nSposób III (drzewo stochastyczne - 3 etapy)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi. Symbol „𝑏” odpowiada wylosowaniu kuli białej, symbol „𝑐” - kuli\nczarnej. Po wylosowaniu dwóch kul czarnych nie możemy już wylosować kuli czarnej.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że trzecia z wylosowanych kul jest\nczarna.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 5\n7 ∙4\n6 ∙2\n5 + 5\n7 ∙2\n6 ∙1\n5 + 2\n7 ∙5\n6 ∙1\n5 = 2\n7\n4\n6\n5\n7\n2\n7\n5\n6\n𝑐\n𝑐\n𝑏\n𝑐\n𝑐\n𝑐\n𝑏\n𝑏\n𝑐\n2\n5\n2\n6\n1\n5\n1\n5\nSposób III (drzewo stochastyczne - 2 etapy)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi. Symbol „𝑏” odpowiada kuli białej, symbol „𝑐” - kuli czarnej.\nPo wylosowaniu dwóch kul czarnych nie możemy już wylosować kuli czarnej.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że kula wylosowana w drugim losowaniu\njest czarna.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n(\n5\n2)\n(\n7\n2)\n∙2\n5 +\n(\n5\n2)\n(\n7\n2)\n∙1\n5 = 2\n7\nቀ5\n2ቁ\nቀ7\n2ቁ\nቀ5\n1ቁቀ2\n1ቁ\nቀ7\n2ቁ\n𝑐\n𝑐\n𝑏, 𝑏\n𝑏, 𝑐\n𝑐, 𝑐\n2\n5\n1\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy
jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z kul pozostałych w pojemniku -
losujemy jeszcze jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim
losowaniu.

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
R10.3) korzysta z twierdzenia
o prawdopodobieństwie całkowitym.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny
wynik: 2
7 .
2 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 oraz
prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(𝐴|𝐵1), 𝑃(𝐴|𝐵2), 𝑃(𝐴|𝐵3):
𝑃(𝐵1) =
(5
2)
(7

\n
  1. i 𝑃(𝐵2) =
\n

(5

\n
  1. ⋅ (2
\n

1)
(7
2)
,i 𝑃(𝐵3) =
(2
2)
(7

\n
  1. ,i 𝑃(𝐴|𝐵1) = 2
\n

5 ,i 𝑃(𝐴|𝐵2) = 1
5 ,
i 𝑃(𝐴|𝐵3) = 0
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej
definicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅6 ⋅5 oraz
|𝐴| = 5 ⋅4 ⋅2 + 5 ⋅2 ⋅1 + 2 ⋅5 ⋅1 (lub |𝐴| = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 60).
1 pkt - opisanie zdarzeń losowych 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 i obliczenie ich prawdopodobieństw:
𝑃(𝐵1) =
(5
2)
(7

\n
  1. , 𝑃(𝐵2) =
\n

(5

\n
  1. ⋅ (2
\n

1)
(7
2)
, 𝑃(𝐵3) =
(2
2)
(7
2)
ALBO

\n\n

na gałęziach drzewa I etapu doświadczenia (dla drzewa dwuetapowego) lub I i II
etapu (dla drzewa trzyetapowego),
ALBO

\n\n

właściwe zinterpretowanie wcześniejszych etapów doświadczenia: 2
5 , 1
5 ,
ALBO

\n\n

zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej
definicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅6 ⋅5 lub
|𝐴| = 5 ⋅4 ⋅2 + 5 ⋅2 ⋅1 + 2 ⋅5 ⋅1 (lub |𝐴| = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 60).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, stosując twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, pominie składnik
\n

𝑃(𝐵3) ⋅𝑃(𝐴|𝐵3), to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze jedynie 𝑃(𝐴) = 2
\n

7 , to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze 𝑃(𝐴) = 2
\n

7 i zapisze poprawny komentarz uzasadniający
otrzymany wynik, to otrzymuje 3 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (prawdopodobieństwo całkowite)
Wprowadzamy następujące oznaczenia:
𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że w drugim losowaniu wylosowano kulę czarną,
𝐵1 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu wylosowano dwie kule białe,
𝐵2 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu wylosowano kulę białą i kulę
czarną,
𝐵3 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu wylosowano dwie kule czarne.
Obliczamy prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 :
𝑃(𝐵1) =
(5
2)
(7
2)
= 10
21 𝑃(𝐵2) =
(5

\n
  1. ⋅ (2
\n

1)
(7
2)
= 10
21 𝑃(𝐵3) =
(2
2)
(7
2)
= 1
21
Obliczamy prawdopodobieństwa warunkowe 𝑃(𝐴|𝐵1), 𝑃(𝐴|𝐵2), 𝑃(𝐴|𝐵3):
𝑃(𝐴|𝐵1) = 𝑃(𝐴∩𝐵1) ∶𝑃(𝐵1) =
(5

\n
  1. ⋅(2
\n

1)
(7

\n
  1. ⋅(5
\n

1)
:
(5
2)
(7

\n
  1. = 2
\n

5
𝑃(𝐴|𝐵2) = 1
5 𝑃(𝐴|𝐵3) = 0
Stosujemy twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i obliczamy prawdopodobieństwo
zdarzenia 𝐴:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵1) ⋅𝑃(𝐵1) + 𝑃(𝐴|𝐵2) ⋅𝑃(𝐵2) + 𝑃(𝐴|𝐵3) ⋅𝑃(𝐵3) =
= 2
5 ⋅10
21 + 1
5 ⋅10
21 + 0 ⋅1
21 = 2
7
Sposób II (model klasyczny)
Niech 𝐾 będzie zbiorem siedmiu kul, które znajdowały się w pojemniku. Przyjmijmy, że
zdarzeniem elementarnym jest każdy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧), którego wyrazami są trzy kule:
𝑥, 𝑦, 𝑧∈𝐾, parami różne. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (jest to
model klasyczny).
Wtedy
|Ω| = 7 ⋅6 ⋅5 = 210
gdzie |Ω| oznacza liczbę elementów zbioru Ω (zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Niech 𝐴 będzie zdarzeniem polegającym na tym, że trzecia z wylosowanych kul (𝑧) będzie
czarna.
Zdarzenie 𝐴 jest sumą parami rozłącznych zdarzeń:
𝐴1 - dwie wylosowane kule (𝑥 oraz 𝑦) będą białe, a trzecia kula (𝑧) będzie czarna,
𝐴2 - pierwsza kula (𝑥) będzie biała, a następne dwie (𝑦 oraz 𝑧) będą czarne,
𝐴3 - pierwsza kula (𝑥) będzie czarna, druga (𝑦) będzie biała, a trzecia kula (𝑧) będzie
czarna.
Ponieważ
|𝐴1| = 5 ∙4 ∙2 = 40, |𝐴2| = 5 ∙2 ∙1 = 10, |𝐴3| = 2 ∙5 ∙1 = 10
więc
|𝐴| = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 60
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = |𝐴|
|Ω| = 60
210 = 2
7
Sposób III (drzewo stochastyczne - 3 etapy)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi. Symbol „𝑏” odpowiada wylosowaniu kuli białej, symbol „𝑐” - kuli
czarnej. Po wylosowaniu dwóch kul czarnych nie możemy już wylosować kuli czarnej.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że trzecia z wylosowanych kul jest
czarna.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 5
7 ∙4
6 ∙2
5 + 5
7 ∙2
6 ∙1
5 + 2
7 ∙5
6 ∙1
5 = 2
7
4
6
5
7
2
7
5
6
𝑐
𝑐
𝑏
𝑐
𝑐
𝑐
𝑏
𝑏
𝑐
2
5
2
6
1
5
1
5
Sposób III (drzewo stochastyczne - 2 etapy)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi. Symbol „𝑏” odpowiada kuli białej, symbol „𝑐” - kuli czarnej.
Po wylosowaniu dwóch kul czarnych nie możemy już wylosować kuli czarnej.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że kula wylosowana w drugim losowaniu
jest czarna.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) =
(
5
2)
(
7
2)
∙2
5 +
(
5
2)
(
7
2)
∙1
5 = 2
7
ቀ5
2ቁ
ቀ7
2ቁ
ቀ5
1ቁቀ2
1ቁ
ቀ7
2ቁ
𝑐
𝑐
𝑏, 𝑏
𝑏, 𝑐
𝑐, 𝑐
2
5
1
5
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}