{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2-2𝑥\n𝑥2+2𝑥+8 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nPunkt 𝑃= (𝑥0 , 3) należy do wykresu funkcji 𝑓. Oblicz 𝑥0 oraz wyznacz równanie\nstycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR11.2) oblicza pochodne funkcji\nwymiernych;\nR11.3) korzysta z geometrycznej\ninterpretacji pochodnej.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = -3 oraz 𝑦= -8\n11 𝑥+ 9\n11\n(lub 𝑦= -8\n11 (𝑥+ 3) + 3).\n2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = -3 oraz\n𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)\n(𝑥2+2𝑥+8)\n2\n1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = -3\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)\n(𝑥2+2𝑥+8)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n3 =\n3𝑥0\n2 -2𝑥0\n𝑥0\n2 + 2𝑥0 + 8\n3𝑥0\n2 + 6𝑥0 + 24 = 3𝑥0\n2 -2𝑥0\n𝑥0 = -3\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (6𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 8) -(3𝑥2 -2𝑥)(2𝑥+ 2)\n(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2\n𝑓′(𝑥) = 8𝑥2 + 48𝑥-16\n(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2\nWyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓\nw punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(-3) = -8\n11\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n3 = -8\n11 ∙(-3) + 𝑏\n𝑏= 9\n11\nStyczna ma równanie 𝑦= -8\n11 𝑥+ 9\n11 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2-2𝑥<br>𝑥2+2𝑥+8 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.<br>Punkt 𝑃= (𝑥0 , 3) należy do wykresu funkcji 𝑓. Oblicz 𝑥0 oraz wyznacz równanie<br>stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>8.<br>9.<br>Maks. liczba pkt<br>3<br>3<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>R11.2) oblicza pochodne funkcji<br>wymiernych;<br>R11.3) korzysta z geometrycznej<br>interpretacji pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = -3 oraz 𝑦= -8<br>11 𝑥+ 9<br>11<br>(lub 𝑦= -8<br>11 (𝑥+ 3) + 3).<br>2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = -3 oraz<br>𝑓′(𝑥) =<br>(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)<br>(𝑥2+2𝑥+8)<br>2<br>1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = -3<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) =</li></ul>\n<p>(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)<br>(𝑥2+2𝑥+8)<br>2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co<br>najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Obliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:<br>3 =<br>3𝑥0<br>2 -2𝑥0<br>𝑥0<br>2 + 2𝑥0 + 8<br>3𝑥0<br>2 + 6𝑥0 + 24 = 3𝑥0<br>2 -2𝑥0<br>𝑥0 = -3<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:<br>𝑓′(𝑥) = (6𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 8) -(3𝑥2 -2𝑥)(2𝑥+ 2)<br>(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2<br>𝑓′(𝑥) = 8𝑥2 + 48𝑥-16<br>(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2<br>Wyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓<br>w punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:<br>𝑎= 𝑓′(-3) = -8<br>11<br>Obliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:<br>3 = -8<br>11 ∙(-3) + 𝑏<br>𝑏= 9<br>11<br>Styczna ma równanie 𝑦= -8<br>11 𝑥+ 9<br>11 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}