{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-4)\nRozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°.\nPodaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od\ndługości 𝒙 boku równoległoboku.\nOblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz\nto największe pole.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii podczas\nrozwiązywania zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\nZdający:\nXIII. rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia długości obu boków równoległoboku o największym\npolu oraz podanie prawidłowych wyników: 𝑎= 50, 𝑏= 50 oraz 𝑃(50) = 1250.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole 𝑃 równoległoboku w zależności od jednej\nzmiennej, wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej funkcji oraz prawidłowe obliczenie\nargumentu 𝑎𝑜𝑝𝑡 , dla którego funkcja pola osiąga wartość największą:\n𝑃(𝑎) = 𝑎∙(100 -𝑎) ∙1\n2 , 𝐷= (0, 100), 𝑎𝑜𝑝𝑡= 50.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole równoległoboku w zależności od jednej zmiennej:\n𝑃(𝑎) = 𝑎∙(100 -𝑎) ∙1\n2 .\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole równoległoboku: 𝑃= 𝑎⋅𝑏∙sin 30°\nLUB\n- zapisanie związku między długościami boków równoległoboku: 2𝑎+ 2𝑏= 200.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 oraz 𝑏 długości boków\nrównoległoboku o obwodzie równym 200\ni kącie ostrym o mierze 30° (zobacz\nrysunek).\nPonieważ 2𝑎+ 2𝑏= 200 oraz 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑏= 100 -𝑎 i 𝑎∈(0, 100).\nWyznaczamy pole 𝑃 równoległoboku jako funkcję jednej zmiennej 𝑎:\n𝑃= 𝑎⋅𝑏⋅sin 30°\n𝑃(𝑎) = 𝑎⋅(100 -𝑎) ⋅1\n2\n𝑃(𝑎) = -1\n2 𝑎2 + 50𝑎\ndla 𝑎∈(0, 100).\n𝐶\n𝑎\n𝑏\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWykresem funkcji 𝑃(𝑎) jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Z własności\nfunkcji kwadratowej wynika, że funkcja 𝑃 może osiągnąć wartość największą w punkcie\nodpowiadającym wierzchołkowi paraboli, tj. dla argumentu 𝑎= -\n50\n2⋅(-1\n2) = 50. Ponieważ\n50 ∈(0, 100), więc funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑎= 50. Wtedy\n𝑏= 100 -𝑎= 100 -50 = 50 oraz 𝑃(50) = 50 ⋅(100 -50) ⋅1\n2 = 1250.\nZ rozważanych równoległoboków największe pole - równe 1250 - ma ten, który jest\nrombem o boku długości 50.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-4)<br>Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°.<br>Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od<br>długości 𝒙 boku równoległoboku.<br>Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz<br>to największe pole.<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>29.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii podczas</li></ol>\n<p>rozwiązywania zadań, również<br>w sytuacjach nietypowych.<br>Zdający:<br>XIII. rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia długości obu boków równoległoboku o największym<br>polu oraz podanie prawidłowych wyników: 𝑎= 50, 𝑏= 50 oraz 𝑃(50) = 1250.<br>3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole 𝑃 równoległoboku w zależności od jednej<br>zmiennej, wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej funkcji oraz prawidłowe obliczenie<br>argumentu 𝑎𝑜𝑝𝑡 , dla którego funkcja pola osiąga wartość największą:<br>𝑃(𝑎) = 𝑎∙(100 -𝑎) ∙1<br>2 , 𝐷= (0, 100), 𝑎𝑜𝑝𝑡= 50.<br>2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole równoległoboku w zależności od jednej zmiennej:<br>𝑃(𝑎) = 𝑎∙(100 -𝑎) ∙1<br>2 .<br>1 pkt - zapisanie wzoru na pole równoległoboku: 𝑃= 𝑎⋅𝑏∙sin 30°<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie związku między długościami boków równoległoboku: 2𝑎+ 2𝑏= 200.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy przez 𝑎 oraz 𝑏 długości boków<br>równoległoboku o obwodzie równym 200<br>i kącie ostrym o mierze 30° (zobacz<br>rysunek).<br>Ponieważ 2𝑎+ 2𝑏= 200 oraz 𝑎&gt; 0 i 𝑏&gt; 0, więc 𝑏= 100 -𝑎 i 𝑎∈(0, 100).<br>Wyznaczamy pole 𝑃 równoległoboku jako funkcję jednej zmiennej 𝑎:<br>𝑃= 𝑎⋅𝑏⋅sin 30°<br>𝑃(𝑎) = 𝑎⋅(100 -𝑎) ⋅1<br>2<br>𝑃(𝑎) = -1<br>2 𝑎2 + 50𝑎<br>dla 𝑎∈(0, 100).<br>𝐶<br>𝑎<br>𝑏<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐴<br>30°<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Wykresem funkcji 𝑃(𝑎) jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Z własności<br>funkcji kwadratowej wynika, że funkcja 𝑃 może osiągnąć wartość największą w punkcie<br>odpowiadającym wierzchołkowi paraboli, tj. dla argumentu 𝑎= -<br>50<br>2⋅(-1</p>\n<ol><li>= 50. Ponieważ</li></ol>\n<p>50 ∈(0, 100), więc funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑎= 50. Wtedy<br>𝑏= 100 -𝑎= 100 -50 = 50 oraz 𝑃(50) = 50 ⋅(100 -50) ⋅1<br>2 = 1250.<br>Z rozważanych równoległoboków największe pole - równe 1250 - ma ten, który jest<br>rombem o boku długości 50.</p>","solutions":[]}