{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej 𝒏 liczba 𝒏𝟐+ 𝟐𝟎𝟐𝟑 jest podzielna\nprzez 𝟖.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n1 pkt - zapisanie liczby 𝑛 w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ , i przekształcenie\nwyrażenia (2𝑘+ 1)2 + 2023 do postaci sumy o składnikach podzielnych przez 8\n(lub do postaci iloczynu liczby 4 i liczby parzystej), np. 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024,\n4[𝑘(𝑘+ 1) + 506].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑛 będzie liczbą całkowitą nieparzystą. Wtedy 𝑛= 2𝑘+ 1 przy pewnym 𝑘∈ℤ, więc\n𝑛2 + 2023 = (2𝑘+ 1)2 + 2023 = 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 + 2023 = 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024.\nJeżeli 𝑘 jest liczbą parzystą, to liczba 4𝑘(𝑘+ 1) jest podzielna przez 8 jako iloczyn\nliczby 4, liczby parzystej 𝑘 i liczby całkowitej 𝑘+ 1.\nJeżeli 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to liczba 4𝑘(𝑘+ 1) jest podzielna przez 8 jako iloczyn\nliczby 4, liczby parzystej 𝑘+ 1 i liczby całkowitej 𝑘.\nLiczba 2024 jest podzielna przez 8, gdyż 2024 = 8 ⋅253.\nZatem liczba 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024 jest podzielna przez 8 jako suma liczb podzielnych\nprzez 8. To kończy dowód.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 9. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej 𝒏 liczba 𝒏𝟐+ 𝟐𝟎𝟐𝟑 jest podzielna
przez 𝟖.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia […].
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
1 pkt - zapisanie liczby 𝑛 w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ , i przekształcenie
wyrażenia (2𝑘+ 1)2 + 2023 do postaci sumy o składnikach podzielnych przez 8
(lub do postaci iloczynu liczby 4 i liczby parzystej), np. 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024,
4[𝑘(𝑘+ 1) + 506].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝑛 będzie liczbą całkowitą nieparzystą. Wtedy 𝑛= 2𝑘+ 1 przy pewnym 𝑘∈ℤ, więc
𝑛2 + 2023 = (2𝑘+ 1)2 + 2023 = 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 + 2023 = 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024.
Jeżeli 𝑘 jest liczbą parzystą, to liczba 4𝑘(𝑘+ 1) jest podzielna przez 8 jako iloczyn
liczby 4, liczby parzystej 𝑘 i liczby całkowitej 𝑘+ 1.
Jeżeli 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to liczba 4𝑘(𝑘+ 1) jest podzielna przez 8 jako iloczyn
liczby 4, liczby parzystej 𝑘+ 1 i liczby całkowitej 𝑘.
Liczba 2024 jest podzielna przez 8, gdyż 2024 = 8 ⋅253.
Zatem liczba 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024 jest podzielna przez 8 jako suma liczb podzielnych
przez 8. To kończy dowód.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}