{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-6)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu\npowierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych\npoprowadzonych z wierzchołka 𝑆 ma miarę 2𝛼.\nObjętość tego ostrosłupa jest równa √𝑘⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼) , gdzie 𝑘 jest stałym\nwspółczynnikiem liczbowym.\nOblicz współczynnik 𝒌.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\n[…] ostrosłupów, również z wykorzystaniem\ntrygonometrii i poznanych twierdzeń.\nX.5) (R) wyznacza przekroje […]\nostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich\npola, także z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\ndla sposobu 1.\n6 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na objętość 𝑉 ostrosłupa i poprawne obliczenie\nwspółczynnika 𝑘: 𝑘=\n√2\n36 .\n5 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, wysokości 𝐻 ostrosłupa:\n𝐻= √𝑃⋅cos(2𝛼)\n4√2⋅sin𝛼 .\n4 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu długości krawędzi podstawy\noraz kwadratu wysokości ściany bocznej ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼,\nℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n3 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu długości krawędzi podstawy\nostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼\nLUB\nobliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu wysokości ściany bocznej\nostrosłupa: ℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n2 pkt - zastosowanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆\n(albo twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą 𝑎, np.\n𝑎√2\n4\n𝑃\n2𝑎\n= sin 𝛼, ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n+ ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n-2 ⋅𝑃\n2𝑎⋅𝑃\n2𝑎⋅cos(2𝛼) = (𝑎√2\n2 )\n2\nLUB\nzapisanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, zależności między ℎ oraz 𝑎,\nwynikających ze związków miarowych w trójkącie 𝐸𝑆𝐹 (lub 𝐸𝐺𝑆), np. ℎ= 𝑎√2\n2\nLUB\nzastosowanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆\n(albo twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą ℎ, np.\n𝑃√2\n8ℎ\nℎ= sin 𝛼, ℎ2 + ℎ2 -2 ⋅ℎ⋅ℎ⋅cos(2𝛼) = (𝑃√2\n4ℎ)\n2\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n1 pkt - przypisanie wielkościom 𝑃 i 𝛼 konkretnych wartości liczbowych\n(pod warunkami: 𝑃> 0 i 𝛼∈(0, 45°)) i wyznaczenie wysokości ℎ ściany bocznej\nw zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: ℎ= 𝑃\n2𝑎\nLUB\nprzypisanie wielkościom 𝑃 i 𝛼 konkretnych wartości liczbowych\n(pod warunkami: 𝑃> 0 i 𝛼∈(0, 45°)) i wyznaczenie długości 𝑎 krawędzi bocznej\nw zależności od wysokości ℎ ściany bocznej ostrosłupa: 𝑎= 𝑃\n2ℎ .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla sposobu 2.\n6 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na objętość 𝑉 ostrosłupa i poprawne obliczenie\nwspółczynnika 𝑘: 𝑘=\n√2\n36 .\n5 pkt - obliczenie wysokości 𝐻 ostrosłupa: 𝐻= √\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼-\n√2𝑃⋅sin𝛼\n4\n4 pkt - obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy oraz kwadratu wysokości ściany\nbocznej ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼, ℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n3 pkt - obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼\nLUB\nobliczenie kwadratu wysokości ściany bocznej ostrosłupa: ℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n2 pkt - zastosowanie definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆 (albo twierdzenia cosinusów do\ntrójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n𝑎√2\n4\n𝑃\n2𝑎\n= sin 𝛼, ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n+ ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n-2 ⋅𝑃\n2𝑎⋅𝑃\n2𝑎⋅cos(2𝛼) = (𝑎√2\n2 )\n2\nLUB\nzastosowanie definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆 (albo twierdzenia cosinusów do\ntrójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną niewiadomą ℎ, np.\n𝑃√2\n8ℎ\nℎ= sin 𝛼, ℎ2 + ℎ2 -2 ⋅ℎ⋅ℎ⋅cos(2𝛼) = (𝑃√2\n4ℎ)\n2\n1 pkt - wyznaczenie wysokości ℎ ściany bocznej w zależności od długości 𝑎 krawędzi\npodstawy ostrosłupa: ℎ= 𝑃\n2𝑎\nLUB\nwyznaczenie długości 𝑎 krawędzi bocznej w zależności od wysokości ℎ ściany\nbocznej ostrosłupa: 𝑎= 𝑃\n2ℎ .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ 𝑘 jest współczynnikiem liczbowym, który nie zależy od 𝑃 ani od 𝛼, więc\nobliczymy objętość ostrosłupa prawidłowego o polu powierzchni bocznej 𝑃= √2 , w którym\n𝛼= 30°.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa,\nℎ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑆𝐸, 𝑆𝐹 - wysokości sąsiednich ścian bocznych,\n𝑆𝐺 - wysokość trójkąta 𝑆𝐸𝐺 poprowadzona z wierzchołka 𝑆.\nWyznaczamy wysokość ℎ ściany bocznej ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝑆 w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa:\n√2 = 4 ⋅1\n2 𝑎ℎ\nℎ= √2\n2𝑎\nPonieważ 𝛼= 30°, więc trójkąt równoramienny 𝐸𝑆𝐹 jest równoboczny. Zatem\nℎ= |𝐸𝐹| = √2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑎√2\n2 . Stąd\n√2\n2𝑎= 𝑎√2\n2\n𝑎= 1\n𝐻\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝐹\nℎ\nℎ\n60°\n𝑆\n𝐷\n𝑂\n𝑎\n𝑎\n𝐺\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\nwięc\nℎ2 = (√2\n2𝑎)\n2\n= 1\n2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐹𝑂𝑆 i obliczamy wysokość 𝐻 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝐹𝑆|2 -|𝑂𝐹|2\n𝐻2 = ℎ2 -(𝑎\n2)\n2\n𝐻2 = 1\n2 -(1\n2)\n2\n𝐻= 1\n2\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n𝑉= 1\n3 𝑎2𝐻= 1\n3 ∙1 ⋅1\n2 = 1\n6\nZ treści zadania wiadomo, że 𝑉= √𝑘⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼) ⋅, więc 𝑉= √𝑘⋅(√2)\n3 ⋅1\n2 ⋅1\n2 .\nPorównując otrzymane wartości objętości, obliczamy 𝑘:\n1\n6 = √𝑘⋅√2\n2\n𝑘= √2\n36\nWspółczynnik 𝑘 ma wartość\n√2\n36 .\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa,\nℎ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑆𝐸, 𝑆𝐹 - wysokości sąsiednich ścian bocznych,\n𝑆𝐺 - wysokość trójkąta 𝑆𝐸𝐺 poprowadzona z wierzchołka 𝑆.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy wysokość ℎ ściany bocznej ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝑆 w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa:\n𝑃= 4 ⋅1\n2 𝑎ℎ\nℎ= 𝑃\n2𝑎\nPonieważ |𝐸𝐹| = √2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑎√2\n2 , więc |𝐸𝐺| = 1\n2 |𝐸𝐹| = 𝑎√2\n4 . Zatem\n|𝐸𝐺|\n|𝐸𝑆| = sin 𝛼\n𝑎√2\n4\n𝑃\n2𝑎\n= sin 𝛼\n𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼\nStąd\nℎ2 = ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n𝑃\n4√2 ⋅sin 𝛼\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐹𝑂𝑆 i obliczamy wysokość 𝐻 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝐹𝑆|2 -|𝑂𝐹|2\n𝐻2 = ℎ2 -(𝑎\n2)\n2\n𝐻\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝐹\nℎ\nℎ\n2𝛼\n𝑆\n𝐷\n𝑂\n𝑎\n𝑎\n𝐺\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n𝐻2 =\n𝑃\n4√2 ⋅sin 𝛼\n-√2𝑃⋅sin 𝛼\n4\n𝐻2 = 𝑃(1 -2 sin2 𝛼)\n4√2 ⋅sin 𝛼\n𝐻= √𝑃⋅cos(2𝛼)\n4√2 ⋅sin 𝛼\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n𝑉= 1\n3 𝑎2𝐻= 1\n3 ∙√2𝑃⋅sin 𝛼⋅√𝑃cos(2𝛼)\n4√2 sin 𝛼\n= √√2\n36 ⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼)\nZatem 𝑘=\n√2\n36 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 10. (0-6)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu
powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych
poprowadzonych z wierzchołka 𝑆 ma miarę 2𝛼.
Objętość tego ostrosłupa jest równa √𝑘⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼) , gdzie 𝑘 jest stałym
współczynnikiem liczbowym.
Oblicz współczynnik 𝒌.
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-6)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również
w sytuacjach nietypowych.
Zdający:
X.4) oblicza objętości i pola powierzchni
[…] ostrosłupów, również z wykorzystaniem
trygonometrii i poznanych twierdzeń.
X.5) (R) wyznacza przekroje […]
ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich
pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
Zasady oceniania
dla sposobu 1.
6 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na objętość 𝑉 ostrosłupa i poprawne obliczenie
współczynnika 𝑘: 𝑘=
√2
36 .
5 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, wysokości 𝐻 ostrosłupa:
𝐻= √𝑃⋅cos(2𝛼)
4√2⋅sin𝛼 .
4 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu długości krawędzi podstawy
oraz kwadratu wysokości ściany bocznej ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼,
ℎ2 =
𝑃
4√2⋅sin𝛼 .
3 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu długości krawędzi podstawy
ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼
LUB
obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu wysokości ściany bocznej
ostrosłupa: ℎ2 =
𝑃
4√2⋅sin𝛼 .
2 pkt - zastosowanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆
(albo twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną
niewiadomą 𝑎, np.
𝑎√2
4
𝑃
2𝑎
= sin 𝛼, ( 𝑃
2𝑎)
2

\n\n

2𝑎)
2
-2 ⋅𝑃
2𝑎⋅𝑃
2𝑎⋅cos(2𝛼) = (𝑎√2
2 )
2
LUB
zapisanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, zależności między ℎ oraz 𝑎,
wynikających ze związków miarowych w trójkącie 𝐸𝑆𝐹 (lub 𝐸𝐺𝑆), np. ℎ= 𝑎√2
2
LUB
zastosowanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆
(albo twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną
niewiadomą ℎ, np.
𝑃√2
8ℎ
ℎ= sin 𝛼, ℎ2 + ℎ2 -2 ⋅ℎ⋅ℎ⋅cos(2𝛼) = (𝑃√2
4ℎ)
2
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
1 pkt - przypisanie wielkościom 𝑃 i 𝛼 konkretnych wartości liczbowych
(pod warunkami: 𝑃> 0 i 𝛼∈(0, 45°)) i wyznaczenie wysokości ℎ ściany bocznej
w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: ℎ= 𝑃
2𝑎
LUB
przypisanie wielkościom 𝑃 i 𝛼 konkretnych wartości liczbowych
(pod warunkami: 𝑃> 0 i 𝛼∈(0, 45°)) i wyznaczenie długości 𝑎 krawędzi bocznej
w zależności od wysokości ℎ ściany bocznej ostrosłupa: 𝑎= 𝑃
2ℎ .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla sposobu 2.
6 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na objętość 𝑉 ostrosłupa i poprawne obliczenie
współczynnika 𝑘: 𝑘=
√2
36 .
5 pkt - obliczenie wysokości 𝐻 ostrosłupa: 𝐻= √
𝑃
4√2⋅sin𝛼-
√2𝑃⋅sin𝛼
4
4 pkt - obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy oraz kwadratu wysokości ściany
bocznej ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼, ℎ2 =
𝑃
4√2⋅sin𝛼 .
3 pkt - obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼
LUB
obliczenie kwadratu wysokości ściany bocznej ostrosłupa: ℎ2 =
𝑃
4√2⋅sin𝛼 .
2 pkt - zastosowanie definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆 (albo twierdzenia cosinusów do
trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.
𝑎√2
4
𝑃
2𝑎
= sin 𝛼, ( 𝑃
2𝑎)
2

\n\n

2𝑎)
2
-2 ⋅𝑃
2𝑎⋅𝑃
2𝑎⋅cos(2𝛼) = (𝑎√2
2 )
2
LUB
zastosowanie definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆 (albo twierdzenia cosinusów do
trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną niewiadomą ℎ, np.
𝑃√2
8ℎ
ℎ= sin 𝛼, ℎ2 + ℎ2 -2 ⋅ℎ⋅ℎ⋅cos(2𝛼) = (𝑃√2
4ℎ)
2
1 pkt - wyznaczenie wysokości ℎ ściany bocznej w zależności od długości 𝑎 krawędzi
podstawy ostrosłupa: ℎ= 𝑃
2𝑎
LUB
wyznaczenie długości 𝑎 krawędzi bocznej w zależności od wysokości ℎ ściany
bocznej ostrosłupa: 𝑎= 𝑃
2ℎ .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Ponieważ 𝑘 jest współczynnikiem liczbowym, który nie zależy od 𝑃 ani od 𝛼, więc
obliczymy objętość ostrosłupa prawidłowego o polu powierzchni bocznej 𝑃= √2 , w którym
𝛼= 30°.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa,
ℎ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝑆,
𝐻 - wysokość ostrosłupa,
𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,
𝑆𝐸, 𝑆𝐹 - wysokości sąsiednich ścian bocznych,
𝑆𝐺 - wysokość trójkąta 𝑆𝐸𝐺 poprowadzona z wierzchołka 𝑆.
Wyznaczamy wysokość ℎ ściany bocznej ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 poprowadzonej
z wierzchołka 𝑆 w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa:
√2 = 4 ⋅1
2 𝑎ℎ
ℎ= √2
2𝑎
Ponieważ 𝛼= 30°, więc trójkąt równoramienny 𝐸𝑆𝐹 jest równoboczny. Zatem
ℎ= |𝐸𝐹| = √2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑎√2
2 . Stąd
√2
2𝑎= 𝑎√2
2
𝑎= 1
𝐻
𝐶
𝐵
𝐴
𝐸
𝐹
ℎ
ℎ
60°
𝑆
𝐷
𝑂
𝑎
𝑎
𝐺
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
więc
ℎ2 = (√2
2𝑎)
2
= 1
2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐹𝑂𝑆 i obliczamy wysokość 𝐻 ostrosłupa
𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝐹𝑆|2 -|𝑂𝐹|2
𝐻2 = ℎ2 -(𝑎
2)
2
𝐻2 = 1
2 -(1
2)
2
𝐻= 1
2
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:
𝑉= 1
3 𝑎2𝐻= 1
3 ∙1 ⋅1
2 = 1
6
Z treści zadania wiadomo, że 𝑉= √𝑘⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼) ⋅, więc 𝑉= √𝑘⋅(√2)
3 ⋅1
2 ⋅1
2 .
Porównując otrzymane wartości objętości, obliczamy 𝑘:
1
6 = √𝑘⋅√2
2
𝑘= √2
36
Współczynnik 𝑘 ma wartość
√2
36 .
Sposób 2.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa,
ℎ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝑆,
𝐻 - wysokość ostrosłupa,
𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,
𝑆𝐸, 𝑆𝐹 - wysokości sąsiednich ścian bocznych,
𝑆𝐺 - wysokość trójkąta 𝑆𝐸𝐺 poprowadzona z wierzchołka 𝑆.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wyznaczamy wysokość ℎ ściany bocznej ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 poprowadzonej
z wierzchołka 𝑆 w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa:
𝑃= 4 ⋅1
2 𝑎ℎ
ℎ= 𝑃
2𝑎
Ponieważ |𝐸𝐹| = √2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑎√2
2 , więc |𝐸𝐺| = 1
2 |𝐸𝐹| = 𝑎√2
4 . Zatem
|𝐸𝐺|
|𝐸𝑆| = sin 𝛼
𝑎√2
4
𝑃
2𝑎
= sin 𝛼
𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼
Stąd
ℎ2 = ( 𝑃
2𝑎)
2
𝑃
4√2 ⋅sin 𝛼
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐹𝑂𝑆 i obliczamy wysokość 𝐻 ostrosłupa
𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:
|𝑂𝑆|2 = |𝐹𝑆|2 -|𝑂𝐹|2
𝐻2 = ℎ2 -(𝑎
2)
2
𝐻
𝐶
𝐵
𝐴
𝐸
𝐹
ℎ
ℎ
2𝛼
𝑆
𝐷
𝑂
𝑎
𝑎
𝐺
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
𝐻2 =
𝑃
4√2 ⋅sin 𝛼
-√2𝑃⋅sin 𝛼
4
𝐻2 = 𝑃(1 -2 sin2 𝛼)
4√2 ⋅sin 𝛼
𝐻= √𝑃⋅cos(2𝛼)
4√2 ⋅sin 𝛼
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:
𝑉= 1
3 𝑎2𝐻= 1
3 ∙√2𝑃⋅sin 𝛼⋅√𝑃cos(2𝛼)
4√2 sin 𝛼
= √√2
36 ⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼)
Zatem 𝑘=
√2
36 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}