{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nEgzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery\nodpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli\nudzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 11 zadaniach. Pewien student przystąpił\nnieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź.\nPrzyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo\nprawdopodobny.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) (R) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa zaliczenia egzaminu przez\nstudenta i poprawny wynik: 123841\n415\n3 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów\nw 𝑛 próbach i skorzystanie z addytywności prawdopodobieństwa dla zdarzeń\nparami rozłącznych.\n2 pkt - wyznaczenie zdarzenia odpowiadającego zaliczeniu egzaminu za pomocą zdarzeń\n𝑆15\n𝑘 , gdzie 𝑘∈{11, 12, 13, 14, 15}: 𝑆15\n11 ∪𝑆15\n12 ∪𝑆15\n13 ∪𝑆15\n14 ∪𝑆15\n15.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest losowe wybranie przez studenta odpowiedzi w zadaniu. Sukcesem\nw tej próbie jest wybranie odpowiedzi, która jest poprawna.\nPrawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,25, natomiast prawdopodobieństwo porażki\njest równe 𝑞= 0,75.\nNiech 𝑆15\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wybraniu przez studenta poprawnych\nodpowiedzi w dokładnie 𝑘 zadaniach spośród 15.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo zaliczenia przez studenta\negzaminu jest równe 𝑃(𝑆15\n11 ∪𝑆15\n12 ∪𝑆15\n13 ∪𝑆15\n14 ∪𝑆15\n15). Zdarzenia 𝑆15\n11, 𝑆15\n12,.𝑆15\n13, 𝑆15\n14, 𝑆15\n15 są\nparami rozłączne, więc\n𝑃(𝑆15\n11 ∪𝑆15\n12 ∪𝑆15\n13 ∪𝑆15\n14 ∪𝑆15\n15) = 𝑃(𝑆15\n11) + 𝑃(𝑆15\n12) + 𝑃(𝑆15\n13) + 𝑃(𝑆15\n14) + 𝑃(𝑆15\n15) =\n= (15\n11) ⋅(0,25)11 ⋅(0,75)4 + (15\n12) ⋅(0,25)12 ⋅(0,75)3 + (15\n13) ⋅(0,25)13 ⋅(0,75)2 +\n+ (15\n14) ⋅(0,25)14 ⋅(0,75)1 + (15\n15) ⋅(0,25)15 =\n= (1\n4)\n15\n⋅(1365 ⋅81 + 455 ⋅27 + 105 ⋅9 + 15 ⋅3 + 1) = (1\n4)\n15\n⋅123841 ≈0,00012\nPrawdopodobieństwo zaliczenia przez studenta egzaminu jest równe 123841\n10243 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery
odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli
udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 11 zadaniach. Pewien student przystąpił
nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź.
Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo
prawdopodobny.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
11.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.2) (R) stosuje schemat Bernoullego.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa zaliczenia egzaminu przez
studenta i poprawny wynik: 123841
415
3 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów
w 𝑛 próbach i skorzystanie z addytywności prawdopodobieństwa dla zdarzeń
parami rozłącznych.
2 pkt - wyznaczenie zdarzenia odpowiadającego zaliczeniu egzaminu za pomocą zdarzeń
𝑆15
𝑘 , gdzie 𝑘∈{11, 12, 13, 14, 15}: 𝑆15
11 ∪𝑆15
12 ∪𝑆15
13 ∪𝑆15
14 ∪𝑆15
15.
1 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Próbą Bernoullego jest losowe wybranie przez studenta odpowiedzi w zadaniu. Sukcesem
w tej próbie jest wybranie odpowiedzi, która jest poprawna.
Prawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,25, natomiast prawdopodobieństwo porażki
jest równe 𝑞= 0,75.
Niech 𝑆15
𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wybraniu przez studenta poprawnych
odpowiedzi w dokładnie 𝑘 zadaniach spośród 15.
Korzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo zaliczenia przez studenta
egzaminu jest równe 𝑃(𝑆15
11 ∪𝑆15
12 ∪𝑆15
13 ∪𝑆15
14 ∪𝑆15
15). Zdarzenia 𝑆15
11, 𝑆15
12,.𝑆15
13, 𝑆15
14, 𝑆15
15 są
parami rozłączne, więc
𝑃(𝑆15
11 ∪𝑆15
12 ∪𝑆15
13 ∪𝑆15
14 ∪𝑆15

\n
  1. = 𝑃(𝑆15
  2. + 𝑃(𝑆15
  3. + 𝑃(𝑆15
  4. + 𝑃(𝑆15
  5. + 𝑃(𝑆15
  6. =
\n

= (15

\n
  1. ⋅(0,25)11 ⋅(0,75)4 + (15
  2. ⋅(0,25)12 ⋅(0,75)3 + (15
  3. ⋅(0,25)13 ⋅(0,75)2 +
\n\n
  1. ⋅(0,25)14 ⋅(0,75)1 + (15
  2. ⋅(0,25)15 =
\n

= (1
4)
15
⋅(1365 ⋅81 + 455 ⋅27 + 105 ⋅9 + 15 ⋅3 + 1) = (1
4)
15
⋅123841 ≈0,00012
Prawdopodobieństwo zaliczenia przez studenta egzaminu jest równe 123841
10243 .

","solutions":[]}