{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2+3\n𝑥-1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nWyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie 𝑷= (-𝟑, -𝟑).\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\n2.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.2) (R) stosuje definicję pochodnej\nfunkcji, podaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.3) (R) oblicza pochodną funkcji\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie\n𝑃= (-3, -3) i podanie prawidłowego wyniku: 𝑦= 3\n4 𝑥-3\n4 .\n2 pkt - podanie poprawnej interpretacji liczby 𝑓′(-3) jako współczynnika kierunkowego\nstycznej i obliczenie 𝑓′(-3): 𝑓′(-3) = 3\n4 .\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 𝑥2-2𝑥-3\n(𝑥-1)2 dla każdego 𝑥∈ℝ\\{1}.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥⋅(𝑥-1) -(𝑥2 + 3) ⋅1\n(𝑥-1)2\n= 𝑥2 -2𝑥-3\n(𝑥-1)2\ndla każdego 𝑥∈ℝ\\{1}.\nObliczamy współczynnik kierunkowy szukanej stycznej:\n𝑓′(-3) =\n(-3)2 -2 ⋅(-3) -3\n(-3 -1)2\n= 9 + 6 -3\n16\n= 3\n4\nZatem równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃= (-3, -3) ma postać:\n𝑦= 3\n4 𝑥+ 𝑏\nObliczamy współczynnik 𝑏. Ponieważ punkt 𝑃 leży na prostej stycznej, więc\n-3 = 3\n4 ⋅(-3) + 𝑏. Stąd 𝑏= -3\n4 .\nRównanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃= (-3, -3) ma postać 𝑦= 3\n4 𝑥-3\n4 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2+3
𝑥-1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie 𝑷= (-𝟑, -𝟑).
Zapisz obliczenia.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.
2.
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XIII.2) (R) stosuje definicję pochodnej
funkcji, podaje interpretację geometryczną
pochodnej;
XIII.3) (R) oblicza pochodną funkcji
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie
𝑃= (-3, -3) i podanie prawidłowego wyniku: 𝑦= 3
4 𝑥-3
4 .
2 pkt - podanie poprawnej interpretacji liczby 𝑓′(-3) jako współczynnika kierunkowego
stycznej i obliczenie 𝑓′(-3): 𝑓′(-3) = 3
4 .
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 𝑥2-2𝑥-3
(𝑥-1)2 dla każdego 𝑥∈ℝ\\{1}.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥⋅(𝑥-1) -(𝑥2 + 3) ⋅1
(𝑥-1)2
= 𝑥2 -2𝑥-3
(𝑥-1)2
dla każdego 𝑥∈ℝ\\{1}.
Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej stycznej:
𝑓′(-3) =
(-3)2 -2 ⋅(-3) -3
(-3 -1)2
= 9 + 6 -3
16
= 3
4
Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃= (-3, -3) ma postać:
𝑦= 3
4 𝑥+ 𝑏
Obliczamy współczynnik 𝑏. Ponieważ punkt 𝑃 leży na prostej stycznej, więc
-3 = 3
4 ⋅(-3) + 𝑏. Stąd 𝑏= -3
4 .
Równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃= (-3, -3) ma postać 𝑦= 3
4 𝑥-3
4 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}