{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-4)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 7, a suma 𝑆 wszystkich\nwyrazów tego ciągu jest równa 8.\nWyznacz wszystkie wartości 𝒏, dla których spełniona jest nierówność\n|𝑺-𝑺𝒏\n𝑺𝒏\n| < 𝟎, 𝟎𝟎𝟏\ngdzie 𝑺𝒏 oznacza sumę 𝒏 początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nVI.2) (R) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ilorazu ciągu i poprawna metoda rozwiązania\nnierówności |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb naturalnych dodatnich oraz poprawny\nwynik: 𝑛> 9.\n3 pkt - zapisanie, że 1 -𝑞𝑛> 0 (albo 0 < 1 -𝑞𝑛< 1) i przekształcenie nierówności\n|𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 do postaci nierówności wymiernej z niewiadomą 𝑡 (𝑡= 𝑞𝑛), np.\n𝑡\n1-𝑡< 0,001, 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛< 0,001\nLUB\nprzekształcenie nierówności |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 do koniunkcji dwóch nierówności\nwymiernych z niewiadomą 𝑡 (𝑡= 𝑞𝑛), np. 𝑡\n1-𝑡> -0,001 i\n𝑡\n1-𝑡< 0,001 (albo: 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛< 0,001 i 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛> -0,001), i zapisanie, że nierówność\n𝑡\n1-𝑡> -0,001 jest spełniona dla każdej liczby 𝑡∈(0, 1) (analogicznie: zapisanie,\nże nierówność 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛> -0,001 jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej\ndodatniej 𝑛).\n2 pkt - obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu (𝑎𝑛): 𝑞= 1\n2 .\n1 pkt - skorzystanie ze wzorów na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego\noraz sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i zapisanie równania\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑆⋅(1 -𝑞3)\nLUB\nzapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑞, wynikających z treści zadania,\nnp. 𝑎1 ⋅(1 + 𝑞+ 𝑞2) = 7 i 8 = 𝑎1\n1-𝑞 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ suma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) istnieje i jest różna od zera, więc 𝑎1 ≠0\ni iloraz 𝑞 tego ciągu spełnia warunek |𝑞| < 1.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\nKorzystamy ze wzorów na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na\nsumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i obliczamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑎1 ∙1 -𝑞3\n1 -𝑞=\n𝑎1\n1 -𝑞⋅(1 -𝑞3) = 𝑆⋅(1 -𝑞3)\n7 = 8(1 -𝑞3)\n𝑞= 1\n2\nZatem 𝑆= 𝑎1 ⋅\n1\n1-1\n2\n= 2𝑎1 i 𝑆𝑛= 𝑎1 ⋅\n1-(1\n2)\n𝑛\n1-1\n2\n= 2𝑎1 ⋅[1 -(\n1\n2)\n𝑛\n]. Stąd, wobec 𝑎1 ≠0,\notrzymujemy 𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛\n2𝑎1-2𝑎1⋅[1-(1\n2)\n𝑛\n]\n2𝑎1⋅[1-(1\n2)\n𝑛\n]\n2𝑎1⋅(1\n2)\n𝑛\n2𝑎1⋅[1-(1\n2)\n𝑛\n] =\n(1\n2)\n𝑛\n1-(1\n2)\n𝑛 .\nRozwiązujemy nierówność |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb całkowitych dodatnich:\n|𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛\n| < 0,001\n(\n1\n2)\n𝑛\n1 -(\n1\n2)\n𝑛| < 0,001\nPonieważ 𝑞= 1\n2 ∈(0, 1), więc 1 -(1\n2)\n𝑛\n> 0. Zatem nierówność |\n(1\n2)\n𝑛\n1-(1\n2)\n𝑛| < 0,001\nmożemy przekształcić do postaci\n(1\n2)\n𝑛\n1-(1\n2)\n𝑛< 0,001. Stąd otrzymujemy dalej\n(1\n2)\n𝑛\n< 0,001 [1 -(1\n2)\n𝑛\n] /⋅2𝑛\n1 < 0,001(2𝑛-1)\n2𝑛> 1001\nPonieważ 29 = 512 i 210 = 1024, więc 𝑛> 9.\nRozwiązaniem nierówności |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb całkowitych dodatnich są\nwszystkie liczby naturalne większe od 9.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 3. (0-4)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 7, a suma 𝑆 wszystkich
wyrazów tego ciągu jest równa 8.
Wyznacz wszystkie wartości 𝒏, dla których spełniona jest nierówność
|𝑺-𝑺𝒏
𝑺𝒏
| < 𝟎, 𝟎𝟎𝟏
gdzie 𝑺𝒏 oznacza sumę 𝒏 początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego.
VI.2) (R) rozpoznaje zbieżne szeregi
geometryczne i oblicza ich sumę.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ilorazu ciągu i poprawna metoda rozwiązania
nierówności |𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb naturalnych dodatnich oraz poprawny
wynik: 𝑛> 9.
3 pkt - zapisanie, że 1 -𝑞𝑛> 0 (albo 0 < 1 -𝑞𝑛< 1) i przekształcenie nierówności
|𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛| < 0,001 do postaci nierówności wymiernej z niewiadomą 𝑡 (𝑡= 𝑞𝑛), np.
𝑡
1-𝑡< 0,001, 𝑞𝑛
1-𝑞𝑛< 0,001
LUB
przekształcenie nierówności |𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛| < 0,001 do koniunkcji dwóch nierówności
wymiernych z niewiadomą 𝑡 (𝑡= 𝑞𝑛), np. 𝑡
1-𝑡> -0,001 i
𝑡
1-𝑡< 0,001 (albo: 𝑞𝑛
1-𝑞𝑛< 0,001 i 𝑞𝑛
1-𝑞𝑛> -0,001), i zapisanie, że nierówność
𝑡
1-𝑡> -0,001 jest spełniona dla każdej liczby 𝑡∈(0, 1) (analogicznie: zapisanie,
że nierówność 𝑞𝑛
1-𝑞𝑛> -0,001 jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej
dodatniej 𝑛).
2 pkt - obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu (𝑎𝑛): 𝑞= 1
2 .
1 pkt - skorzystanie ze wzorów na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
oraz sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i zapisanie równania
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑆⋅(1 -𝑞3)
LUB
zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑞, wynikających z treści zadania,
np. 𝑎1 ⋅(1 + 𝑞+ 𝑞2) = 7 i 8 = 𝑎1
1-𝑞 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Ponieważ suma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) istnieje i jest różna od zera, więc 𝑎1 ≠0
i iloraz 𝑞 tego ciągu spełnia warunek |𝑞| < 1.
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
Korzystamy ze wzorów na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na
sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i obliczamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑎1 ∙1 -𝑞3
1 -𝑞=
𝑎1
1 -𝑞⋅(1 -𝑞3) = 𝑆⋅(1 -𝑞3)
7 = 8(1 -𝑞3)
𝑞= 1
2
Zatem 𝑆= 𝑎1 ⋅
1
1-1
2
= 2𝑎1 i 𝑆𝑛= 𝑎1 ⋅
1-(1
2)
𝑛
1-1
2
= 2𝑎1 ⋅[1 -(
1
2)
𝑛
]. Stąd, wobec 𝑎1 ≠0,
otrzymujemy 𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛
2𝑎1-2𝑎1⋅[1-(1
2)
𝑛
]
2𝑎1⋅[1-(1
2)
𝑛
]
2𝑎1⋅(1
2)
𝑛
2𝑎1⋅[1-(1
2)
𝑛
] =
(1
2)
𝑛
1-(1
2)
𝑛 .
Rozwiązujemy nierówność |𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb całkowitych dodatnich:
|𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛
| < 0,001
(
1
2)
𝑛
1 -(
1
2)
𝑛| < 0,001
Ponieważ 𝑞= 1
2 ∈(0, 1), więc 1 -(1
2)
𝑛

\n
0. Zatem nierówność |
\n

(1
2)
𝑛
1-(1
2)
𝑛| < 0,001
możemy przekształcić do postaci
(1
2)
𝑛
1-(1
2)
𝑛< 0,001. Stąd otrzymujemy dalej
(1
2)
𝑛
< 0,001 [1 -(1
2)
𝑛
] /⋅2𝑛
1 < 0,001(2𝑛-1)
2𝑛> 1001
Ponieważ 29 = 512 i 210 = 1024, więc 𝑛> 9.
Rozwiązaniem nierówności |𝑆-𝑆𝑛
𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb całkowitych dodatnich są
wszystkie liczby naturalne większe od 9.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}