{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-5)\nDane jest równanie\n(𝑥-6) ⋅[(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1] = 0\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których to równanie ma trzy różne\nrozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania\n[…].\nZdający:\nIII.3) (R) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.5) (R) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę\nrozwiązań w zależności od parametrów,\npodaje warunki, przy których rozwiązania\nmają żądaną własność, i wyznacza\nrozwiązania w zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n5 pkt - wyznaczenie części wspólnej rozwiązań warunków (W1)-(W5) i podanie poprawnego\nwyniku: 𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).\n4 pkt - zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz rozwiązanie\nwarunków (W1)-(W5):\n(W1) 𝑚≠2\n(W2) 𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(-2, +∞)\n(W3) 𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)\n(W4) 𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞)\n(W5) 𝑚≠11.\n3 pkt - rozwiązanie warunków (W2)-(W4):\n(W2) 𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(-2, +∞)\n(W3) 𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)\n(W4) 𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞).\n2 pkt - zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz zapisanie warunków\nkoniecznych i dostatecznych na to, aby równanie (2) było równaniem kwadratowym,\nktóre ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dodatnie różne od liczby 6: 𝑚-2 ≠0\ni Δ > 0 i 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0 i 𝑥1 + 𝑥2 > 0 i (𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0\nLUB\nzapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz zapisanie warunków\n𝑥1 ⋅𝑥2 > 0 i 𝑥1 + 𝑥2 > 0 w zależności od parametru 𝑚: 𝑚+1\n𝑚-2 > 0\ni --4(𝑚+3)\n𝑚-2\n> 0\nLUB\nzapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz wyznaczenie tych\nwszystkich wartości parametru 𝑚, dla których wyróżnik ∆ trójmianu\n(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0 jest dodatni.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n1 pkt - zapisanie, że równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego\nznaku tylko wtedy, gdy równanie (2) ma dwa różne rozwiązania dodatnie różne od\nliczby 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że jednym z rozwiązań równania\n(𝑥-6) ⋅[(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1] = 0\n(1)\njest liczba 6. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku\nwtedy i tylko wtedy, gdy równanie\n(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0\n(2)\nma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie 𝑥1 , 𝑥2 takie, że 𝑥1 ≠6 i 𝑥2 ≠6.\nDla 𝑚= 2 równanie (2) przyjmuje postać -20𝑥+ 3 = 0 i ma tylko jedno rozwiązanie.\nPozostaje wyznaczyć te wartości parametru 𝑚, dla których warunki zadania są spełnione,\na równanie (2) jest kwadratowe, tj. wyznaczyć te wartości parametru, dla których spełnione\nsą jednocześnie następujące warunki:\n(W1) 𝑚-2 ≠0\n(W2) Δ > 0\n(W3) 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0\n(W4) 𝑥1 + 𝑥2 > 0\n(W5) (𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0\nRozwiązaniem warunku (W1) jest 𝑚≠2.\nRozwiązujemy nierówność Δ > 0:\n[-4(𝑚+ 3)]2 -4 ⋅(𝑚-2) ⋅(𝑚+ 1) > 0\n16𝑚2 + 96𝑚+ 144 -4𝑚2 + 4𝑚+ 8 = 0\n12𝑚2 + 100𝑚+ 152 > 0\n𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(-2, +∞)\nKorzystając ze wzorów Viète’a, rozwiązujemy warunek (W3):\n𝑥1 ⋅𝑥2 > 0\n𝑚+ 1\n𝑚-2 > 0\n(𝑚+ 1)(𝑚-2) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)\nKorzystając ze wzorów Viète’a, rozwiązujemy warunek (W4):\n𝑥1 + 𝑥2 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n--4(𝑚+ 3)\n𝑚-2\n> 0\n(𝑚+ 3)(𝑚-2) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞)\nRozwiązujemy warunek (W5):\n(𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0\n13𝑚-143 ≠0\n𝑚≠11\nWyznaczamy część wspólną rozwiązań warunków (W1)-(W5) i otrzymujemy\n𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).\nRównanie (1) ma trzy różne rozwiązania tego samego znaku dla\n𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 4. (0-5)
Dane jest równanie
(𝑥-6) ⋅[(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1] = 0
z niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚∈ℝ.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których to równanie ma trzy różne
rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.
Zapisz obliczenia.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
4.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania
[…].
Zdający:
III.3) (R) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.5) (R) analizuje równania i nierówności
liniowe z parametrami oraz równania
i nierówności kwadratowe z parametrami,
w szczególności wyznacza liczbę
rozwiązań w zależności od parametrów,
podaje warunki, przy których rozwiązania
mają żądaną własność, i wyznacza
rozwiązania w zależności od parametrów.
Zasady oceniania
5 pkt - wyznaczenie części wspólnej rozwiązań warunków (W1)-(W5) i podanie poprawnego
wyniku: 𝑚∈(-∞, -19
3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).
4 pkt - zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz rozwiązanie
warunków (W1)-(W5):
(W1) 𝑚≠2
(W2) 𝑚∈(-∞, -19
3 ) ∪(-2, +∞)
(W3) 𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)
(W4) 𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞)
(W5) 𝑚≠11.
3 pkt - rozwiązanie warunków (W2)-(W4):
(W2) 𝑚∈(-∞, -19
3 ) ∪(-2, +∞)
(W3) 𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)
(W4) 𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞).
2 pkt - zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz zapisanie warunków
koniecznych i dostatecznych na to, aby równanie (2) było równaniem kwadratowym,
które ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dodatnie różne od liczby 6: 𝑚-2 ≠0
i Δ > 0 i 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0 i 𝑥1 + 𝑥2 > 0 i (𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0
LUB
zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz zapisanie warunków
𝑥1 ⋅𝑥2 > 0 i 𝑥1 + 𝑥2 > 0 w zależności od parametru 𝑚: 𝑚+1
𝑚-2 > 0
i --4(𝑚+3)
𝑚-2

\n
0
\n

LUB
zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz wyznaczenie tych
wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których wyróżnik ∆ trójmianu
(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0 jest dodatni.
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
1 pkt - zapisanie, że równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego
znaku tylko wtedy, gdy równanie (2) ma dwa różne rozwiązania dodatnie różne od
liczby 6.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zauważmy, że jednym z rozwiązań równania
(𝑥-6) ⋅[(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1] = 0
(1)
jest liczba 6. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku
wtedy i tylko wtedy, gdy równanie
(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0
(2)
ma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie 𝑥1 , 𝑥2 takie, że 𝑥1 ≠6 i 𝑥2 ≠6.
Dla 𝑚= 2 równanie (2) przyjmuje postać -20𝑥+ 3 = 0 i ma tylko jedno rozwiązanie.
Pozostaje wyznaczyć te wartości parametru 𝑚, dla których warunki zadania są spełnione,
a równanie (2) jest kwadratowe, tj. wyznaczyć te wartości parametru, dla których spełnione
są jednocześnie następujące warunki:
(W1) 𝑚-2 ≠0
(W2) Δ > 0
(W3) 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0
(W4) 𝑥1 + 𝑥2 > 0
(W5) (𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0
Rozwiązaniem warunku (W1) jest 𝑚≠2.
Rozwiązujemy nierówność Δ > 0:
[-4(𝑚+ 3)]2 -4 ⋅(𝑚-2) ⋅(𝑚+ 1) > 0
16𝑚2 + 96𝑚+ 144 -4𝑚2 + 4𝑚+ 8 = 0
12𝑚2 + 100𝑚+ 152 > 0
𝑚∈(-∞, -19
3 ) ∪(-2, +∞)
Korzystając ze wzorów Viète’a, rozwiązujemy warunek (W3):
𝑥1 ⋅𝑥2 > 0
𝑚+ 1
𝑚-2 > 0
(𝑚+ 1)(𝑚-2) > 0 ∧ 𝑚≠2
𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)
Korzystając ze wzorów Viète’a, rozwiązujemy warunek (W4):
𝑥1 + 𝑥2 > 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
--4(𝑚+ 3)
𝑚-2

\n
0
\n

(𝑚+ 3)(𝑚-2) > 0 ∧ 𝑚≠2
𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞)
Rozwiązujemy warunek (W5):
(𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0
13𝑚-143 ≠0
𝑚≠11
Wyznaczamy część wspólną rozwiązań warunków (W1)-(W5) i otrzymujemy
𝑚∈(-∞, -19
3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).
Równanie (1) ma trzy różne rozwiązania tego samego znaku dla
𝑚∈(-∞, -19
3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)

","solutions":[]}