{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nUdowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych\nprzez 𝟒 jest liczbą podzielną przez 𝟑𝟔.\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, odróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nZdający:\nI.2) (R) przeprowadza proste dowody\ndotyczące podzielności liczb całkowitych\ni reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód\nwłasności: jeśli liczba przy dzieleniu\nprzez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga\nprzy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.\nZasady oceniania\ndla sposobu 1.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 do postaci 3𝑎(𝑎2 + 2), gdzie\n𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4, i wykazanie, że liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) jest\npodzielna przez 4\nLUB\nprzekształcenie wyrażenia (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 do postaci 3𝑎(𝑎2 + 2), gdzie\n𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4, i wykazanie, że liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) jest\npodzielna przez 9.\n1 pkt - zapisanie sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4\nw postaci (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3, gdzie 𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną\nprzez 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla sposobu 2.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3 do postaci\n36 ⋅𝑃(𝑘) + 12 ⋅𝑄(𝑘), gdzie 𝑃 i 𝑄 są wielomianami o współczynnikach\ncałkowitych, np. 12(16𝑘3 + 24𝑘2 + 14𝑘+ 3),\n36(5𝑘3 + 8𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 12𝑘(𝑘2 + 2).\n1 pkt - zapisanie sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4\nw postaci (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3, gdzie 𝑘∈ℤ.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nSumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać\nw postaci (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3, gdzie 𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4.\nPonieważ\n(𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 = 𝑎3 -3𝑎2 + 3𝑎-1 + 𝑎3 + 𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎+ 1 = 3𝑎(𝑎2 + 2),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nwięc liczba (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 jest podzielna przez 4 jako iloczyn liczby parzystej\n3𝑎 i liczby parzystej 𝑎2 + 2.\nJeżeli 𝑎= 3𝑘, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to 3𝑎(𝑎2 + 2) = 9𝑘(9𝑘2 + 2) jest liczbą podzielną\nprzez 9.\nJeżeli 𝑎= 3𝑘+ 1, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to 3𝑎(𝑎2 + 2) = 3(3𝑘+ 1)[(3𝑘+ 1)2 + 2] =\n= 3(3𝑘+ 1)(9𝑘2 + 6𝑘+ 3) = 9(3𝑘+ 1)(3𝑘2 + 2𝑘+ 1) jest liczbą podzielną przez 9.\nJeżeli 𝑎= 3𝑘+ 2, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) =\n= 3(3𝑘+ 2)[(3𝑘+ 2)2 + 2] = 3(3𝑘+ 2)(9𝑘2 + 12𝑘+ 6) = 9(3𝑘+ 2)(3𝑘2 + 4𝑘+ 2)\njest liczbą podzielną przez 9.\nZatem suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest\npodzielna przez 9.\nPonieważ suma trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą\npodzielną przez 4 i przez 9 oraz liczby 4 i 9 są względnie pierwsze, więc ta suma jest\nliczbą podzielną przez 36.\nSposób 2.\nSumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać\nw postaci (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3, gdzie 𝑘∈ℤ.\nPonieważ (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3 =\n= 64𝑘3 + 48𝑘2 + 12𝑘+ 1 + 64𝑘3 + 96𝑘2 + 48𝑘+ 8 + 64𝑘3 + 144𝑘2 + 108𝑘+ 27 =\n= 192𝑘3 + 288𝑘2 + 168𝑘+ 36 = 12(16𝑘3 + 24𝑘2 + 14𝑘+ 3) =\n= 36(5𝑘3 + 8𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 12𝑘(𝑘2 + 2), więc wystarczy pokazać, że liczba 𝑘(𝑘2 + 2)\njest podzielna przez 3 dla każdego 𝑘∈ℤ.\nJeżeli 𝑘= 3𝑚, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = 3𝑚(9𝑚2 + 2) jest podzielna przez 3\njako iloczyn liczby 3 i liczby całkowitej 𝑚(9𝑚2 + 2).\nJeżeli 𝑘= 3𝑚+ 1, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = (3𝑚+ 1)[(3𝑚+ 1)2 + 2] =\n= (3𝑚+ 1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 3) = 3(3𝑚+ 1)(3𝑚2 + 2𝑚+ 1) jest podzielna przez 3 jako\niloczyn liczby 3 i liczby całkowitej (3𝑚+ 1)(3𝑚2 + 2𝑚+ 1).\nJeżeli 𝑘= 3𝑚+ 2, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = (3𝑚+ 2)[(3𝑚+ 2)2 + 2] =\n(3𝑚+ 2)(9𝑚2 + 12𝑚+ 6) = 3(3𝑚+ 2)(3𝑚2 + 4𝑚+ 2) jest podzielna przez 3 jako\niloczyn liczby 3 i liczby całkowitej (3𝑚+ 2)(3𝑚2 + 4𝑚+ 2).\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych
przez 𝟒 jest liczbą podzielną przez 𝟑𝟔.

\n

MMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność
rozumowania, odróżnianie dowodu od
przykładu.
Zdający:
I.2) (R) przeprowadza proste dowody
dotyczące podzielności liczb całkowitych
i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód
własności: jeśli liczba przy dzieleniu
przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga
przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
Zasady oceniania
dla sposobu 1.
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - przekształcenie wyrażenia (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 do postaci 3𝑎(𝑎2 + 2), gdzie
𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4, i wykazanie, że liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) jest
podzielna przez 4
LUB
przekształcenie wyrażenia (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 do postaci 3𝑎(𝑎2 + 2), gdzie
𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4, i wykazanie, że liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) jest
podzielna przez 9.
1 pkt - zapisanie sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4
w postaci (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3, gdzie 𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną
przez 4.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
dla sposobu 2.
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.
2 pkt - przekształcenie wyrażenia (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3 do postaci
36 ⋅𝑃(𝑘) + 12 ⋅𝑄(𝑘), gdzie 𝑃 i 𝑄 są wielomianami o współczynnikach
całkowitych, np. 12(16𝑘3 + 24𝑘2 + 14𝑘+ 3),
36(5𝑘3 + 8𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 12𝑘(𝑘2 + 2).
1 pkt - zapisanie sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4
w postaci (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3, gdzie 𝑘∈ℤ.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Sumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać
w postaci (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3, gdzie 𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4.
Ponieważ
(𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 = 𝑎3 -3𝑎2 + 3𝑎-1 + 𝑎3 + 𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎+ 1 = 3𝑎(𝑎2 + 2),
Zasady oceniania rozwiązań zadań
więc liczba (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 jest podzielna przez 4 jako iloczyn liczby parzystej
3𝑎 i liczby parzystej 𝑎2 + 2.
Jeżeli 𝑎= 3𝑘, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to 3𝑎(𝑎2 + 2) = 9𝑘(9𝑘2 + 2) jest liczbą podzielną
przez 9.
Jeżeli 𝑎= 3𝑘+ 1, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to 3𝑎(𝑎2 + 2) = 3(3𝑘+ 1)[(3𝑘+ 1)2 + 2] =
= 3(3𝑘+ 1)(9𝑘2 + 6𝑘+ 3) = 9(3𝑘+ 1)(3𝑘2 + 2𝑘+ 1) jest liczbą podzielną przez 9.
Jeżeli 𝑎= 3𝑘+ 2, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) =
= 3(3𝑘+ 2)[(3𝑘+ 2)2 + 2] = 3(3𝑘+ 2)(9𝑘2 + 12𝑘+ 6) = 9(3𝑘+ 2)(3𝑘2 + 4𝑘+ 2)
jest liczbą podzielną przez 9.
Zatem suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest
podzielna przez 9.
Ponieważ suma trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą
podzielną przez 4 i przez 9 oraz liczby 4 i 9 są względnie pierwsze, więc ta suma jest
liczbą podzielną przez 36.
Sposób 2.
Sumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać
w postaci (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3, gdzie 𝑘∈ℤ.
Ponieważ (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3 =
= 64𝑘3 + 48𝑘2 + 12𝑘+ 1 + 64𝑘3 + 96𝑘2 + 48𝑘+ 8 + 64𝑘3 + 144𝑘2 + 108𝑘+ 27 =
= 192𝑘3 + 288𝑘2 + 168𝑘+ 36 = 12(16𝑘3 + 24𝑘2 + 14𝑘+ 3) =
= 36(5𝑘3 + 8𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 12𝑘(𝑘2 + 2), więc wystarczy pokazać, że liczba 𝑘(𝑘2 + 2)
jest podzielna przez 3 dla każdego 𝑘∈ℤ.
Jeżeli 𝑘= 3𝑚, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = 3𝑚(9𝑚2 + 2) jest podzielna przez 3
jako iloczyn liczby 3 i liczby całkowitej 𝑚(9𝑚2 + 2).
Jeżeli 𝑘= 3𝑚+ 1, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = (3𝑚+ 1)[(3𝑚+ 1)2 + 2] =
= (3𝑚+ 1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 3) = 3(3𝑚+ 1)(3𝑚2 + 2𝑚+ 1) jest podzielna przez 3 jako
iloczyn liczby 3 i liczby całkowitej (3𝑚+ 1)(3𝑚2 + 2𝑚+ 1).
Jeżeli 𝑘= 3𝑚+ 2, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = (3𝑚+ 2)[(3𝑚+ 2)2 + 2] =
(3𝑚+ 2)(9𝑚2 + 12𝑚+ 6) = 3(3𝑚+ 2)(3𝑚2 + 4𝑚+ 2) jest podzielna przez 3 jako
iloczyn liczby 3 i liczby całkowitej (3𝑚+ 2)(3𝑚2 + 4𝑚+ 2).
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)

","solutions":[]}