{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"6.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-2)\nNiech 𝑅 będzie punktem leżącym na wykresie funkcji 𝑔.\nWykaż, że odległość punktu 𝑹 od punktu 𝑷 wyraża się wzorem\n|𝑷𝑹| = √𝟏\n𝟒𝒙𝟒-𝟏\n𝟐𝒙𝟑-𝟏𝟑\n𝟖𝒙𝟐+ 𝟑𝟗\n𝟖𝒙+ 𝟓𝟗𝟑\n𝟔𝟒\ngdzie 𝒙 jest pierwszą współrzędną punktu 𝑹.\n0 1 𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝑦\n1\n𝑃\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - doprowadzenie wyrażenia określającego długość odcinka 𝑃𝑅 do postaci\n√1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64 .\n1 pkt - przyjęcie 𝑅= (𝑥, -0,5(𝑥-0,5)2 + 4) (lub 𝑅= (𝑥, 𝑔(𝑥)) ) i zastosowanie wzoru\nna odległość dwóch punktów do wyznaczenia długości odcinka 𝑃𝑅:\n|𝑃𝑅| = √(𝑥+ 1)2 + (-0,5(𝑥-0,5)2 + 4 -1)2\n(lub |𝑃𝑅| = √(𝑥+ 1)2 + (𝑔(𝑥) -1)2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝑅∈𝑔, więc 𝑅= (𝑥, -0,5(𝑥-0,5)2 + 4). Zatem\n|𝑃𝑅| = √(𝑥-(-1))\n2 + (-0,5(𝑥-0,5)2 + 4 -1)2\nStosując wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, otrzymujemy\n|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + (-0,5(𝑥-0,5)2)2 + 2 ⋅(-0,5)(𝑥-0,5)2 ⋅3 + 9\n|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + 1\n4 (𝑥2 -𝑥+ 1\n4) (𝑥2 -𝑥+ 1\n4) -3 (𝑥2 -𝑥+ 1\n4) + 9\n|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + 1\n4 (𝑥4 -2𝑥3 + 3\n2 𝑥2 -1\n2 𝑥+ 1\n16) -3𝑥2 + 3𝑥-3\n4 + 9\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑃𝑅| = √1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64\nTo należało pokazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"<p>Zadanie 6.1. (0-2)<br>Niech 𝑅 będzie punktem leżącym na wykresie funkcji 𝑔.<br>Wykaż, że odległość punktu 𝑹 od punktu 𝑷 wyraża się wzorem<br>|𝑷𝑹| = √𝟏<br>𝟒𝒙𝟒-𝟏<br>𝟐𝒙𝟑-𝟏𝟑<br>𝟖𝒙𝟐+ 𝟑𝟗<br>𝟖𝒙+ 𝟓𝟗𝟑<br>𝟔𝟒<br>gdzie 𝒙 jest pierwszą współrzędną punktu 𝑹.<br>0 1 𝑥<br>𝑦= 𝑔(𝑥)<br>𝑦= 𝑓(𝑥)<br>𝑦<br>1<br>𝑃</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>6.1.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6.1. (0-2)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych;</p>\n<ol><li>Tworzenie pomocniczych obiektów</li></ol>\n<p>matematycznych na podstawie istniejących,<br>w celu przeprowadzenia argumentacji lub<br>rozwiązania problemu.<br>Zdający:<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.<br>IX.3) oblicza odległość dwóch punktów<br>w układzie współrzędnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - doprowadzenie wyrażenia określającego długość odcinka 𝑃𝑅 do postaci<br>√1<br>4 𝑥4 -1<br>2 𝑥3 -13<br>8 𝑥2 + 39<br>8 𝑥+ 593<br>64 .<br>1 pkt - przyjęcie 𝑅= (𝑥, -0,5(𝑥-0,5)2 + 4) (lub 𝑅= (𝑥, 𝑔(𝑥)) ) i zastosowanie wzoru<br>na odległość dwóch punktów do wyznaczenia długości odcinka 𝑃𝑅:<br>|𝑃𝑅| = √(𝑥+ 1)2 + (-0,5(𝑥-0,5)2 + 4 -1)2<br>(lub |𝑃𝑅| = √(𝑥+ 1)2 + (𝑔(𝑥) -1)2).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Ponieważ 𝑅∈𝑔, więc 𝑅= (𝑥, -0,5(𝑥-0,5)2 + 4). Zatem<br>|𝑃𝑅| = √(𝑥-(-1))<br>2 + (-0,5(𝑥-0,5)2 + 4 -1)2<br>Stosując wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, otrzymujemy<br>|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + (-0,5(𝑥-0,5)2)2 + 2 ⋅(-0,5)(𝑥-0,5)2 ⋅3 + 9<br>|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + 1<br>4 (𝑥2 -𝑥+ 1</p>\n<ol><li>(𝑥2 -𝑥+ 1</li><li>-3 (𝑥2 -𝑥+ 1</li><li>+ 9</li></ol>\n<p>|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + 1<br>4 (𝑥4 -2𝑥3 + 3<br>2 𝑥2 -1<br>2 𝑥+ 1</p>\n<ol><li>-3𝑥2 + 3𝑥-3</li></ol>\n<p>4 + 9<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>|𝑃𝑅| = √1<br>4 𝑥4 -1<br>2 𝑥3 -13<br>8 𝑥2 + 39<br>8 𝑥+ 593<br>64<br>To należało pokazać.</p>","solutions":[]}