Zadanie 6.2. (0-6)
Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.
Oblicz współrzędne punktu 𝑲, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość
toru (tj. odległość końca 𝑲 toru od początku 𝑷) była możliwie największa. Oblicz
długość najdłuższego toru.
Zapisz obliczenia.
Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu 𝑅
leżącego na wykresie funkcji 𝑔 od punktu 𝑃 wyraża się wzorem
|𝑃𝑅| = √1
4 𝑥4 -1
2 𝑥3 -13
8 𝑥2 + 39
8 𝑥+ 593
64
gdzie 𝑥 jest pierwszą współrzędną punktu 𝑅.
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.2.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt
MMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 6.2. (0-6)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również
w sytuacjach nietypowych.
Zdający:
XIII.3) (R) oblicza pochodną funkcji
potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];
XIII.4) (R) stosuje pochodną do badania
monotoniczności funkcji;
XIII.5) (R) rozwiązuje zadania
optymalizacyjne z zastosowaniem
pochodnej.
Zasady oceniania
6 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i poprawne
uzasadnienie, że funkcja 𝑑 przyjmuje wartość największą dla argumentu 𝑥= 3
2 ,
obliczenie współrzędnych punktu 𝐾 oraz długości |𝑃𝐾| toru: 𝐾= ( 3
2 , 7
2),
|𝑃𝐾| = 5√2
2 .
5 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i uzasadnienie, że
funkcja 𝑘 przyjmuje wartość największą dla argumentu 𝑥= 3
2
LUB
poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑑 przyjmuje wartość największą dla argumentu
𝑥= 3
2 oraz obliczenie 𝑔(3
2), oraz obliczenie 𝑑(3
2): 𝑔(3
2 , 𝑑(3
\n2 .
4 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i obliczenie miejsc
zerowych pochodnej funkcji 𝑘: 𝑥= 3
2
LUB
uzasadnienie, że funkcja 𝑘 przyjmuje wartość największą dla argumentu 𝑥= 3
2 .
3 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i wyznaczenie
pochodnej funkcji 𝑘: 𝑘′(𝑥) = 𝑥3 -3
2 𝑥2 -13
4 𝑥2 + 39
8 dla 𝑥∈[1-√94
6
, 1+√94
6
]
LUB
obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑘: 𝑥= 3
2 .
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
2 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i określenie dziedziny
funkcji 𝑑: 𝑥∈[1-√94
6
, 1+√94
6
]
LUB
wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑘: 𝑘′(𝑥) = 𝑥3 -3
2 𝑥2 -13
4 𝑥2 + 39
8 dla
𝑥∈[1-√94
6
, 1+√94
6
].
1 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔
LUB
określenie dziedziny funkcji 𝑑: 𝑥∈[1-√94
6
, 1+√94
6
].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Pokażemy najpierw, że optymalna lokalizacja końca toru regatowego musi znajdować się na
linii brzegowej określonej przez funkcję 𝑔.
Niech 𝐴= (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) i 𝐵= (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) będą punktami przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔
(zobacz rysunek).
Współrzędne każdego punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leżącego na fragmencie paraboli (będącej
wykresem funkcji 𝑓) pomiędzy punktami 𝐴 i 𝐵 spełniają nierówności
|𝑥𝐶-𝑥𝑃| ≤|𝑥𝐵-𝑥𝑃| ∧ |𝑦𝐶-𝑦𝑃| ≤|𝑦𝐵-𝑦𝑃|
więc
|𝑥𝐶-𝑥𝑃|2 + |𝑦𝐶-𝑦𝑃|2 ≤|𝑥𝐵-𝑥𝑃|2 + |𝑦𝐵-𝑦𝑃|2
|𝑃𝐶|2 ≤|𝑃𝐵|2
|𝑃𝐶| ≤|𝑃𝐵|
𝑦= 𝑔(𝑥)
𝑦
𝑦= 𝑓(𝑥)
0 1 𝑥
1
𝑃
𝐵
𝐴
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ponieważ 𝐵∈𝑔, więc optymalna lokalizacja końca toru musi znajdować się na linii
brzegowej określonej przez funkcję 𝑔.
Obliczamy pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔:
𝑥2 = -0,5(𝑥-0,5)2 + 4
3
2 𝑥2 -1
2 𝑥-31
8 = 0
12𝑥2 -4𝑥-31 = 0
𝑥= 1 -√94
6
≈-1,45 ∨ 𝑥= 1 + √94
6
≈1,78
Zatem 𝑥𝐴= 1-√94
6
oraz 𝑥𝐵= 1+√94
6
W celu wyznaczenia punktu, w którym należy umiejscowić koniec toru, rozpatrujemy
funkcję 𝑑 określoną wzorem
𝑑(𝑥) = √1
4 𝑥4 -1
2 𝑥3 -13
8 𝑥2 + 39
8 𝑥+ 593
64
dla każdego 𝑥∈[1-√94
6
, 1+√94
6
] i szukamy argumentu, dla którego funkcja ta osiąga
wartość największą.
Funkcja 𝑑 określa odległość punktu 𝑃 od punktu 𝑅 (leżącego na linii brzegowej
określonej przez funkcję 𝑔) w zależności od pierwszej współrzędnej 𝑥 punktu 𝑅.
Tworzymy funkcję pomocniczą 𝑘 określoną wzorem
𝑘(𝑥) = 1
4 𝑥4 -1
2 𝑥3 -13
8 𝑥2 + 39
8 𝑥+ 593
64 dla 𝑥∈[1-√94
6
, 1+√94
6
].
Obliczamy pochodną funkcji 𝑘:
𝑘′(𝑥) = 𝑥3 -3
2 𝑥2 -13
4 𝑥2 + 39
8
i miejsca zerowe pochodnej:
𝑥3 -3
2 𝑥2 -13
4 𝑥2 + 39
8 = 0
8𝑥3 -12𝑥2 -26𝑥+ 39 = 0
4𝑥2(2𝑥-3) -13(2𝑥-3) = 0
(4𝑥2 -13)(2𝑥-3) = 0
𝑥= -√13
2 ∨ 𝑥= √13
2 ∨ 𝑥= 3
2
Spośród liczb (-
√13
2 ),
√13
2 , 3
2 tylko liczba 3
2 należy do przedziału [1-√94
6
, 1+√94
6
].
Zatem 𝑘′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 3
2.
Ponieważ:
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
𝑘′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈[1-√94
6
, 3
𝑘′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(3
2 , 1+√94
6
],
więc
funkcja 𝑘 jest rosnąca w zbiorze [1-√94
6
, 3
2] oraz malejąca w zbiorze [3
2 , 1+√94
6
].
Zatem funkcja 𝑘 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑥= 3
2 .
Ponieważ funkcja ℎ(𝑡) = √𝑡 jest rosnąca w zbiorze [0, +∞), więc funkcja 𝑑 osiąga
wartość największą dla tego samego argumentu, dla którego funkcja 𝑘 osiąga wartość
największą.
Stąd wynika, że funkcja 𝑑 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑥= 3
2 .
Obliczamy współrzędne punktu 𝐾 oraz |𝑃𝐾|:
𝑔(3
2 -0,5)
2
𝐾= (3
2 , 7
2)
|𝑃𝐾| = 𝑑(3
2 + 1)
2
2 -1)
2
= 5√2
2
Koniec toru regatowego należy zlokalizować w punkcie, który odpowiada punktowi
𝐾= ( 3
2 , 7
2). Największa możliwa długość toru regatowego jest równa 5√2
2 (j).
Zasady oceniania rozwiązań zadań