{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝒙\nw zbiorze [𝟎, 𝝅].\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.5 (R) korzysta z wzorów na sinus,\ncosinus i tangens sumy i różnicy kątów,\na także na funkcje trygonometryczne kątów\npodwojonych;\nVII.6) (R) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne rozwiązanie równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 w zbiorze [0, 𝜋]:\n𝑥= 0 ∨ 𝑥= 1\n6 𝜋 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋 ∨ 𝑥= 𝜋.\n3 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci alternatywy\nrównań sin 𝑥= 1\n2 , sin 𝑥= -1\n2 oraz sin 𝑥= 0 i zapisanie, że równanie\nsin 𝑥= -1\n2 nie ma rozwiązań w zbiorze [0, 𝜋], i rozwiązanie równania sin 𝑥= 1\n2\n(lub sin 𝑥= 0) w zbiorze [0, 𝜋]: 𝑥= 1\n6 𝜋 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋 (lub 𝑥= 0 ∨ 𝑥= 𝜋).\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci alternatywy\ndwóch równań: 1 -4sin2𝑥= 0 lub sin 𝑥= 0.\n1 pkt - przekształcenie równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci, w której występuje jedna\nfunkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥, np.\n2 sin 𝑥(1 -sin2 𝑥) + (1 -2 sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 równoważnie do postaci, w której występuje\ntylko jedna funkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥. Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy\nkątów, wzorów na cosinus i sinus podwojonego kąta oraz z jedynki trygonometrycznej:\nsin(3𝑥) = 2 sin 𝑥\nsin(2𝑥+ 𝑥) = 2 sin 𝑥\nsin(2𝑥) ⋅cos 𝑥+ cos(2𝑥) ⋅sin 𝑥= 2 sin 𝑥\n2 sin 𝑥cos2 𝑥+ (cos2 𝑥-sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥\n2 sin 𝑥(1 -sin2 𝑥) + (1 -2 sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥\n-4 sin3 𝑥+ sin 𝑥= 0\nStąd otrzymujemy dalej\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n(-4 sin2 𝑥+ 1) sin 𝑥= 0\n-4 sin2 𝑥+ 1 = 0 ∨ sin 𝑥= 0\nsin 𝑥= 1\n2 ∨ sin 𝑥= -1\n2 ∨ sin 𝑥= 0\nRównanie sin 𝑥= 1\n2 ma w zbiorze [0, 𝜋] dwa rozwiązania: 𝑥= 1\n6 𝜋 oraz 𝑥= 5\n6 𝜋.\nRównanie sin 𝑥= -1\n2 nie ma w zbiorze [0, 𝜋] rozwiązań.\nRównanie sin 𝑥= 0 ma w zbiorze [0, 𝜋] dwa rozwiązania: 𝑥= 0 oraz 𝑥= 𝜋.\nRównanie sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 ma w zbiorze [0, 𝜋] cztery rozwiązania: 0, 1\n6 𝜋, 5\n6 𝜋, 𝜋.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Rozwiąż równanie
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝒙
w zbiorze [𝟎, 𝝅].
Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
7.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VII.5 (R) korzysta z wzorów na sinus,
cosinus i tangens sumy i różnicy kątów,
a także na funkcje trygonometryczne kątów
podwojonych;
VII.6) (R) rozwiązuje równania
trygonometryczne o stopniu trudności nie
większym niż w przykładzie
4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne rozwiązanie równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 w zbiorze [0, 𝜋]:
𝑥= 0 ∨ 𝑥= 1
6 𝜋 ∨ 𝑥= 5
6 𝜋 ∨ 𝑥= 𝜋.
3 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci alternatywy
równań sin 𝑥= 1
2 , sin 𝑥= -1
2 oraz sin 𝑥= 0 i zapisanie, że równanie
sin 𝑥= -1
2 nie ma rozwiązań w zbiorze [0, 𝜋], i rozwiązanie równania sin 𝑥= 1
2
(lub sin 𝑥= 0) w zbiorze [0, 𝜋]: 𝑥= 1
6 𝜋 ∨ 𝑥= 5
6 𝜋 (lub 𝑥= 0 ∨ 𝑥= 𝜋).
2 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci alternatywy
dwóch równań: 1 -4sin2𝑥= 0 lub sin 𝑥= 0.
1 pkt - przekształcenie równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci, w której występuje jedna
funkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥, np.
2 sin 𝑥(1 -sin2 𝑥) + (1 -2 sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równanie sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 równoważnie do postaci, w której występuje
tylko jedna funkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥. Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy
kątów, wzorów na cosinus i sinus podwojonego kąta oraz z jedynki trygonometrycznej:
sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥
sin(2𝑥+ 𝑥) = 2 sin 𝑥
sin(2𝑥) ⋅cos 𝑥+ cos(2𝑥) ⋅sin 𝑥= 2 sin 𝑥
2 sin 𝑥cos2 𝑥+ (cos2 𝑥-sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥
2 sin 𝑥(1 -sin2 𝑥) + (1 -2 sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥
-4 sin3 𝑥+ sin 𝑥= 0
Stąd otrzymujemy dalej
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
(-4 sin2 𝑥+ 1) sin 𝑥= 0
-4 sin2 𝑥+ 1 = 0 ∨ sin 𝑥= 0
sin 𝑥= 1
2 ∨ sin 𝑥= -1
2 ∨ sin 𝑥= 0
Równanie sin 𝑥= 1
2 ma w zbiorze [0, 𝜋] dwa rozwiązania: 𝑥= 1
6 𝜋 oraz 𝑥= 5
6 𝜋.
Równanie sin 𝑥= -1
2 nie ma w zbiorze [0, 𝜋] rozwiązań.
Równanie sin 𝑥= 0 ma w zbiorze [0, 𝜋] dwa rozwiązania: 𝑥= 0 oraz 𝑥= 𝜋.
Równanie sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 ma w zbiorze [0, 𝜋] cztery rozwiązania: 0, 1
6 𝜋, 5
6 𝜋, 𝜋.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}