{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nDany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o obwodzie 𝑙 i podstawach 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 takich,\nże |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna 𝐴𝐶 trapezu\nma długość 𝑑 (zobacz rysunek).\nWykaż, że promień 𝑹 okręgu opisanego na trapezie 𝑨𝑩𝑪𝑫 jest równy\n𝒅⋅𝒍\n𝟐√𝟏𝟔𝒅𝟐-𝒍𝟐 .\n𝑅\n𝑑\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, odróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nZdający:\nVIII.1) (R) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;\nVIII.2) (R) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne zastosowanie twierdzeń i zależności prowadzących do obliczenia\npromienia 𝑅 okręgu opisanego na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pokazanie, że\n𝑅=\n𝑑⋅𝑙\n2√16𝑑2-𝑙2 .\n3 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie równości 2𝑅=\n𝑑\nsin𝛼 .\n2 pkt - obliczenie wysokości ℎ trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷: ℎ=\n√16𝑑2-𝑙2\n4\n1 pkt - zastosowanie własności czworokąta opisanego na okręgu i obliczenie 𝑐: 𝑐= 1\n4 𝑙\nLUB\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i zapisanie równości\n(𝑎+𝑏\n2 )\n2\n+ ℎ2 = 𝑑2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu,\n𝑏 - długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu,\nℎ - wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑐 - długość ramienia trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐴𝐵𝐶 trapezu.\n𝐸 - punkt wspólny prostej\nprzechodzącej przez 𝐶 i zawierającej\nwysokość trapezu oraz odcinka 𝐴𝐵\n(zobacz rysunek).\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, więc |𝐸𝐵| = 𝑎-𝑏\n2 oraz |𝐴𝐸| = 𝑎+𝑏\n2 .\nPonieważ 𝑎+ 𝑏+ 2𝑐= 𝑙 (z warunków zadania) oraz 𝑎+ 𝑏= 2𝑐 (z własności czworokąta\nopisanego na okręgu otrzymujemy), więc 4𝑐= 𝑙, czyli 𝑐= 1\n4 𝑙. Stąd też |𝐴𝐸| = 𝑎+𝑏\n2\n= 𝑐.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i wyznaczamy wysokość ℎ trapezu:\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝑑\n𝑏\n𝐸\n𝛼\n𝑐\n𝑐\nℎ\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n|𝐴𝐸|2 + |𝐸𝐶|2 = |𝐴𝐶|2\n𝑐2 + ℎ2 = 𝑑2.\nℎ2 = 𝑑2 -𝑐2 = 𝑑2 -(\n𝑙\n4)\n2\nℎ= √16𝑑2 -𝑙2\n4\nOkrąg opisany na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy twierdzenie sinusów do wyznaczenia promienia 𝑅 okręgu opisanego na\ntrójkącie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝑅= |𝐴𝐶|\nsin 𝛼\nSinus kąta 𝛼 obliczamy z trójkąta prostokątnego 𝐵𝐸𝐶:\nsin 𝛼= ℎ\n𝑐=\n√16𝑑2-𝑙2\n4\n𝑙\n4\n= √16𝑑2 -𝑙2\n𝑙\nZatem promień 𝑅 jest równy\n𝑅=\n|𝐴𝐶|\n2 sin 𝛼=\n𝑑∙𝑙\n2√16𝑑2 -𝑙2\nTo kończy dowód.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 8. (0-4)
Dany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o obwodzie 𝑙 i podstawach 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 takich,
że |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna 𝐴𝐶 trapezu
ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).
Wykaż, że promień 𝑹 okręgu opisanego na trapezie 𝑨𝑩𝑪𝑫 jest równy
𝒅⋅𝒍
𝟐√𝟏𝟔𝒅𝟐-𝒍𝟐 .
𝑅
𝑑
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴

\n

MMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność
rozumowania, odróżnianie dowodu od
przykładu.
Zdający:
VIII.1) (R) stosuje własności czworokątów
wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;
VIII.2) (R) przeprowadza dowody
geometryczne.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne zastosowanie twierdzeń i zależności prowadzących do obliczenia
promienia 𝑅 okręgu opisanego na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pokazanie, że
𝑅=
𝑑⋅𝑙
2√16𝑑2-𝑙2 .
3 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie równości 2𝑅=
𝑑
sin𝛼 .
2 pkt - obliczenie wysokości ℎ trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷: ℎ=
√16𝑑2-𝑙2
4
1 pkt - zastosowanie własności czworokąta opisanego na okręgu i obliczenie 𝑐: 𝑐= 1
4 𝑙
LUB
zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i zapisanie równości
(𝑎+𝑏
2 )
2

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑎 - długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu,
𝑏 - długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu,
ℎ - wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,
𝑐 - długość ramienia trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,
𝛼 - miara kąta 𝐴𝐵𝐶 trapezu.
𝐸 - punkt wspólny prostej
przechodzącej przez 𝐶 i zawierającej
wysokość trapezu oraz odcinka 𝐴𝐵
(zobacz rysunek).
Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, więc |𝐸𝐵| = 𝑎-𝑏
2 oraz |𝐴𝐸| = 𝑎+𝑏
2 .
Ponieważ 𝑎+ 𝑏+ 2𝑐= 𝑙 (z warunków zadania) oraz 𝑎+ 𝑏= 2𝑐 (z własności czworokąta
opisanego na okręgu otrzymujemy), więc 4𝑐= 𝑙, czyli 𝑐= 1
4 𝑙. Stąd też |𝐴𝐸| = 𝑎+𝑏
2
= 𝑐.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i wyznaczamy wysokość ℎ trapezu:
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
𝑑
𝑏
𝐸
𝛼
𝑐
𝑐
ℎ
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
|𝐴𝐸|2 + |𝐸𝐶|2 = |𝐴𝐶|2
𝑐2 + ℎ2 = 𝑑2.
ℎ2 = 𝑑2 -𝑐2 = 𝑑2 -(
𝑙
4)
2
ℎ= √16𝑑2 -𝑙2
4
Okrąg opisany na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
Stosujemy twierdzenie sinusów do wyznaczenia promienia 𝑅 okręgu opisanego na
trójkącie 𝐴𝐵𝐶:
2𝑅= |𝐴𝐶|
sin 𝛼
Sinus kąta 𝛼 obliczamy z trójkąta prostokątnego 𝐵𝐸𝐶:
sin 𝛼= ℎ
𝑐=
√16𝑑2-𝑙2
4
𝑙
4
= √16𝑑2 -𝑙2
𝑙
Zatem promień 𝑅 jest równy
𝑅=
|𝐴𝐶|
2 sin 𝛼=
𝑑∙𝑙
2√16𝑑2 -𝑙2
To kończy dowód.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}