Zadanie 9. (0-6)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (9, 12) jest wierzchołkiem
trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 1
2 𝑥 zawiera dwusieczną kąta 𝐴𝐵𝐶 tego trójkąta.
Okrąg 𝒪 o równaniu (𝑥-8)2 + (𝑦-4)2 = 16 jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki 𝑩 i 𝑪
tego trójkąta z okręgiem 𝓞.
Zapisz obliczenia.
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt
MMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 9. (0-6)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również
w sytuacjach nietypowych.
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
IX.1) (R) posługuje się równaniem prostej
w postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym
wyznacza równanie prostej o zadanych
własnościach […];
IX.3) (R) znajduje punkty wspólne prostej
i okręgu […].
Zasady oceniania
6 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 i obliczenie współrzędnych punktu styczności
prostej 𝐵𝐶 z okręgiem 𝒪: 𝑦= 0 i (8, 0).
5 pkt - uzasadnienie, że prosta o równaniu 𝑦= -12
5 𝑥+ 168
5 nie przechodzi przez
punkt 𝐵 i obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (0, 0).
4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (0, 0)
LUB
5 𝑥+ 168
5 nie przechodzi przez
punkt 𝐵.
3 pkt - wyznaczenie równań prostych, które są styczne do okręgu 𝒪 i przechodzą przez
punkt 𝐴, np. 𝑦= 4
3 𝑥 i 𝑦= -12
5 𝑥+ 168
5 .
2 pkt - zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej i zapisanie równania z jedną
niewiadomą, prowadzącego do wyznaczenia współczynników występujących
w równaniu prostej, która jest styczna do okręgu 𝒪 i przechodzi przez punkt 𝐴, np.
|𝑎⋅8-4+12-9𝑎|
√𝑎2+(-1)2
= 4.
1 pkt - zapisanie równania prostej, która jest styczna do okręgu i przechodzi przez punkt 𝐴
w postaci kierunkowej (lub ogólnej), ze współczynnikami zależnymi od jednego
parametru, np. 𝑦= 𝑎𝑥+ 12 -9𝑎.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy przez 𝑙 prostą, która przechodzi przez wierzchołki 𝐴 i 𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prosta
ta jest styczna do okręgu 𝒪. Równanie prostej 𝑙 można zapisać w postaci kierunkowej
𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 (prosta o równaniu 𝑥= 9 nie jest styczna do okręgu, gdyż równanie
(9 -8)2 + (𝑦-4)2 = 16 ma dwa rozwiązania). Ponieważ 𝐴∈𝑙, więc 12 = 9𝑎+ 𝑏, czyli
𝑏= 12 -9𝑎.
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)
Prosta 𝑙 ma równanie 𝑎𝑥-𝑦+ 12 -9𝑎= 0 i jest styczna do okręgu o środku 𝑆= (8, 4)
i promieniu 4. Zatem odległość punktu 𝑆 od prostej 𝑙 jest równa 4:
|𝑎⋅8 -4 + 12 -9𝑎|
√𝑎2 + (-1)2
= 4
Stąd, poprzez przekształcenia równoważne, otrzymujemy kolejno
|8 -𝑎| = 16√𝑎2 + 1
64 -16𝑎+ 𝑎2 = 16𝑎2 + 16
15𝑎2 + 16𝑎-48 = 0
𝑎= 4
3 ∨ 𝑎= -12
5
Rozważamy przypadek 𝑎= 4
3 .
Gdy 𝑎= 4
3 , to 𝑏= 0 i równanie prostej 𝑙 ma postać 𝑦= 4
3 𝑥.
Wierzchołek 𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest punktem przecięcia prostych 𝑘 i 𝑙.
Rozwiązaniem układu równań {
𝑦= 4
3 𝑥
𝑦= 1
2 𝑥
jest (𝑥, 𝑦) = (0, 0). Zatem 𝐵= (0, 0). Ponieważ
okrąg 𝒪 jest styczny do osi 𝑂𝑥 i 𝐵= (0, 0), więc prosta o równaniu 𝑦= 0 zawiera bok
𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 styczny do danego okręgu w punkcie (8, 0).
Rozważamy przypadek 𝑎= -12
5 .
Gdy 𝑎= -12
5 , to 𝑏= 168
5 i otrzymujemy prostą 𝑙 o równaniu 𝑦= -12
5 𝑥+ 168
5 .
Zauważmy jednak, że prosta o równaniu 𝑦= 5
12 𝑥 jest prostopadła do prostej
𝑦= -12
5 𝑥+ 168
5 i tworzy z osią 𝑂𝑥 kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że tg 𝛼= 5
12 . Prosta 𝑘
tworzy z osią 𝑂𝑥 kąt ostry o mierze 𝛽 takiej, że tan 𝛽= 1
2 . Zatem, korzystając
z własności funkcji tangens, otrzymujemy 𝛼< 𝛽. Wynika stąd, że |∡𝐴𝐵𝑆| > 90°, gdzie 𝐵
jest punktem przecięcia prostych 𝑘 i 𝑙. To jest jednak niemożliwe, gdyż (z założenia)
|∡𝐴𝐵𝑆| = 1
2 |∡𝐴𝐵𝐶|, a 1
2 |∡𝐴𝐵𝐶| < 1
2 ⋅180°.
Zasady oceniania rozwiązań zadań