{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDana jest nierówność\n|𝑥-5| < 2\nNa którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n\nMMAP-P0_100\nDana jest nierówność |x-5|<2. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A = \\(-\\frac{1}{4}\\)\n\nNa podstawie treści zadania wyrażenie do obliczenia to:\n\\[\\log_{25}1 - \\frac{1}{2}\\log_{25}5\\]\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie obu logarytmów\n\n**Krok 1: Obliczamy \\(\\log_{25}1\\)**\n\nZ definicji logarytmu: \\(\\log_{25}1 = c \\iff 25^c = 1\\). Wiemy, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1, więc:\n\\[\\log_{25}1 = 0\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy \\(\\log_{25}5\\)**\n\nSzukamy \\(c\\) takiego, że \\(25^c = 5\\). Kluczowa obserwacja:\n\\[25 = 5^2 \\quad \\Rightarrow \\quad 5 = 25^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nZatem:\n\\[\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy do wyrażenia**\n\n\\[\\log_{25}1 - \\frac{1}{2}\\log_{25}5 = 0 - \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Wynik: \\(-\\frac{1}{4}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzory na logarytmy (zamiana podstawy)\n\nKorzystamy z własności: \\(\\log_a x^r = r\\cdot\\log_a x\\)\n\n\\[\\frac{1}{2}\\log_{25}5 = \\log_{25}5^{\\frac{1}{2}} = \\log_{25}\\sqrt{5}\\]\n\nZatem wyrażenie możemy przepisać jako:\n\\[\\log_{25}1 - \\log_{25}\\sqrt{5} = \\log_{25}\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\]\n\n(skorzystaliśmy z \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a\\frac{x}{y}\\))\n\nTeraz obliczamy:\n\\[\\log_{25}\\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\log_{25}5^{-\\frac{1}{2}} = -\\frac{1}{2}\\cdot\\log_{25}5 = -\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(-\\frac{1}{4}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\(\\log_{25}1 = 0\\) i \\(\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\).\n\nWłasność potęgowania logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyciągnięcia wykładnika \\(\\frac{1}{2}\\) przed logarytm.\n\nRóżnica logarytmów:\n\\[\\log_a\\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do połączenia obu logarytmów w jeden.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | \\(-\\frac{1}{2}\\) | Zapominamy podzielić przez 2 - liczymy \\(-1 \\cdot \\log_{25}5 = -\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\frac{1}{2}\\cdot\\log_{25}5\\) |\n| **C** | \\(\\frac{1}{4}\\) | Poprawna wartość bezwzględna, ale zgubiony minus - ignorujemy znak ujemny przed ułamkiem \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| **D** | \\(\\frac{1}{2}\\) | Liczymy tylko \\(\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\) i pomijamy mnożnik \\(\\frac{1}{2}\\) oraz znak minus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_{25}5 \\neq 1\\)! Często uczniowie mylą \\(\\log_{25}25 = 1\\) z \\(\\log_{25}5\\). Pamiętaj: logarytm jest równy 1 tylko gdy argument równa się podstawie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_{25}1 = 0\\), **nie** \"1\"! Logarytm z jedynki wynosi zawsze 0, niezależnie od podstawy. Łatwo tu pomylić się i wstawić 1 zamiast 0.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy widzisz \\(\\log_{25}5\\), od razu myśl: \"25 = 5², więc 5 = 25^½, zatem logarytm = ½\". Ten trik - wyrażenie argumentu jako potęgi podstawy - działa tu błyskawicznie i nie wymaga żadnych wzorów.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy: \\\\(\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5}\\\\)\n\nZapisujemy \\\\(25 = 5^2\\\\), więc:\n\\\\[\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5} = \\\\log_{25} 5^{-1} = -\\\\log_{25} 5\\\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy:\n\\\\[\\\\log_{25} 5 = \\\\frac{\\\\log_5 5}{\\\\log_5 25} = \\\\frac{1}{2}\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5} = -\\\\frac{1}{2}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja logarytmu: \\\\(\\\\log_a b = c \\\\iff a^c = b\\\\); zmiana podstawy logarytmu.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(-\\\\frac{1}{4}\\\\) - błędne, wynikałoby z niepoprawnego \\\\(\\\\log_{625}\\\\frac{1}{5}\\\\)\n- C. \\\\(\\\\frac{1}{4}\\\\) - błędny znak, logarytm z liczby mniejszej od 1 przy podstawie większej od 1 jest ujemny\n- D. \\\\(\\\\frac{1}{2}\\\\) - to \\\\(\\\\log_{25} 5\\\\), brakuje minusa","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Dana jest nierówność<br>|𝑥-5| &lt; 2<br>Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb<br>rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź<br>spośród podanych.<br>A.<br>B.<br>C.<br>D.<br>-3<br>7<br>𝑥<br>0<br>-1<br>-2<br>1 2 3 4 5 6<br>-3<br>7<br>𝑥<br>0<br>-1<br>-2<br>1 2 3 4 5 6<br>-3<br>7<br>𝑥<br>0<br>-1<br>-2<br>1 2 3 4 5 6<br>-3<br>7<br>𝑥<br>0<br>-1<br>-2<br>1 2 3 4 5 6</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dana jest nierówność |x-5|&lt;2. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A = \\(-\\frac{1}{4}\\)</h4>\n<p>Na podstawie treści zadania wyrażenie do obliczenia to:<br>\\[\\log_{25}1 - \\frac{1}{2}\\log_{25}5\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie obu logarytmów</h4>\n<p><strong>Krok 1: Obliczamy \\(\\log_{25}1\\)</strong></p>\n<p>Z definicji logarytmu: \\(\\log_{25}1 = c \\iff 25^c = 1\\). Wiemy, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1, więc:<br>\\[\\log_{25}1 = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy \\(\\log_{25}5\\)</strong></p>\n<p>Szukamy \\(c\\) takiego, że \\(25^c = 5\\). Kluczowa obserwacja:<br>\\[25 = 5^2 \\quad \\Rightarrow \\quad 5 = 25^{\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawiamy do wyrażenia</strong></p>\n<p>\\[\\log_{25}1 - \\frac{1}{2}\\log_{25}5 = 0 - \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(-\\frac{1}{4}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wzory na logarytmy (zamiana podstawy)</h4>\n<p>Korzystamy z własności: \\(\\log_a x^r = r\\cdot\\log_a x\\)</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}\\log_{25}5 = \\log_{25}5^{\\frac{1}{2}} = \\log_{25}\\sqrt{5}\\]</p>\n<p>Zatem wyrażenie możemy przepisać jako:<br>\\[\\log_{25}1 - \\log_{25}\\sqrt{5} = \\log_{25}\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\]</p>\n<p>(skorzystaliśmy z \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a\\frac{x}{y}\\))</p>\n<p>Teraz obliczamy:<br>\\[\\log_{25}\\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\log_{25}5^{-\\frac{1}{2}} = -\\frac{1}{2}\\cdot\\log_{25}5 = -\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny: \\(-\\frac{1}{4}\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):</strong></p>\n<p>Definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyliśmy przy obliczaniu \\(\\log_{25}1 = 0\\) i \\(\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<p>Własność potęgowania logarytmu:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do wyciągnięcia wykładnika \\(\\frac{1}{2}\\) przed logarytm.</p>\n<p>Różnica logarytmów:<br>\\[\\log_a\\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do połączenia obu logarytmów w jeden.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> | \\(-\\frac{1}{2}\\) | Zapominamy podzielić przez 2 - liczymy \\(-1 \\cdot \\log_{25}5 = -\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\frac{1}{2}\\cdot\\log_{25}5\\) |<br>| <strong>C</strong> | \\(\\frac{1}{4}\\) | Poprawna wartość bezwzględna, ale zgubiony minus - ignorujemy znak ujemny przed ułamkiem \\(\\frac{1}{2}\\) |<br>| <strong>D</strong> | \\(\\frac{1}{2}\\) | Liczymy tylko \\(\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\) i pomijamy mnożnik \\(\\frac{1}{2}\\) oraz znak minus |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log_{25}5 \\neq 1\\)! Często uczniowie mylą \\(\\log_{25}25 = 1\\) z \\(\\log_{25}5\\). Pamiętaj: logarytm jest równy 1 tylko gdy argument równa się podstawie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log_{25}1 = 0\\), <strong>nie</strong> &quot;1&quot;! Logarytm z jedynki wynosi zawsze 0, niezależnie od podstawy. Łatwo tu pomylić się i wstawić 1 zamiast 0.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy widzisz \\(\\log_{25}5\\), od razu myśl: &quot;25 = 5², więc 5 = 25^½, zatem logarytm = ½&quot;. Ten trik - wyrażenie argumentu jako potęgi podstawy - działa tu błyskawicznie i nie wymaga żadnych wzorów.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Obliczamy: \\\\(\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5}\\\\)</p>\n<p>Zapisujemy \\\\(25 = 5^2\\\\), więc:<br>\\\\[\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5} = \\\\log_{25} 5^{-1} = -\\\\log_{25} 5\\\\]</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy:<br>\\\\[\\\\log_{25} 5 = \\\\frac{\\\\log_5 5}{\\\\log_5 25} = \\\\frac{1}{2}\\\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\\\[\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5} = -\\\\frac{1}{2}\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Definicja logarytmu: \\\\(\\\\log_a b = c \\\\iff a^c = b\\\\); zmiana podstawy logarytmu.</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(-\\\\frac{1}{4}\\\\) - błędne, wynikałoby z niepoprawnego \\\\(\\\\log_{625}\\\\frac{1}{5}\\\\)</li><li>C. \\\\(\\\\frac{1}{4}\\\\) - błędny znak, logarytm z liczby mniejszej od 1 przy podstawie większej od 1 jest ujemny</li><li>D. \\\\(\\\\frac{1}{2}\\\\) - to \\\\(\\\\log_{25} 5\\\\), brakuje minusa</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zbiór ten zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $5$ na osi liczbowej jest mniejsza niż $2$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwiązujemy nierówność</p>\n<p>|x-5|&lt;2.</p>\n<p>Korzystamy z własności</p>\n<p>|u|&lt;a ⇔ -a&lt;u&lt;a.</p>\n<p>Otrzymujemy</p>\n<p>-2&lt;x-5&lt;2.</p>\n<p>Do wszystkich stron nierówności dodajemy 5 :</p>\n<p>3&lt;x&lt;7.</p>\n<p>Zbiorem rozwiązań jest więc przedział</p>\n<p>(3,7).</p>\n<p>Taki przedział przedstawiono na rysunku D.</p>"}]}