{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkt (-8, 6) jest punktem przecięcia\nprostych o równaniach\nA. 2𝑥+ 3𝑦= 2\ni\n-𝑥+ 𝑦= -14.\nB. 3𝑥+ 2𝑦= -12\ni\n2𝑥+ 𝑦= 10.\nC. 𝑥+ 𝑦= -2\ni\n𝑥-2𝑦= 4.\nD. 𝑥-𝑦= -14\ni\n-2𝑥+ 𝑦= 22.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), punkt (-8,6) jest punktem przecięcia prostych o równaniach A. 2x+3y=2 i -x+y=-14. B. 3x+2y=-12 i 2x+y=10. C. x+y=-2 i x-2y=4. D. x-y=-14 i -2x+y=22.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -2x + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania\n\nKażda funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\).\n\nMamy dwa warunki:\n\n**Warunek 1:** Miejsce zerowe to \\(x = 1\\), czyli \\(f(1) = 0\\):\n\\[a \\cdot 1 + b = 0 \\implies a + b = 0\\]\n\n**Warunek 2:** Wykres przechodzi przez \\((-1, 4)\\), czyli \\(f(-1) = 4\\):\n\\[a \\cdot (-1) + b = 4 \\implies -a + b = 4\\]\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} a + b = 0 \\\\ -a + b = 4 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy równania stronami:\n\\[2b = 4 \\implies b = 2\\]\n\nZ pierwszego równania:\n\\[a = -b = -2\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -2x + 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór prostej przez dwa punkty\n\nZnamy dwa punkty na wykresie:\n- Miejsce zerowe to punkt \\((1, 0)\\)\n- Drugi punkt: \\((-1, 4)\\)\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{4 - 0}{-1 - 1} = \\frac{4}{-2} = -2\\]\n\nWyraz wolny - podstawiamy punkt \\((1, 0)\\):\n\\[0 = -2 \\cdot 1 + b \\implies b = 2\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -2x + 2\\)**\n\nWeryfikacja:\n- \\(f(1) = -2 \\cdot 1 + 2 = 0\\) ✓\n- \\(f(-1) = -2 \\cdot (-1) + 2 = 2 + 2 = 4\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i rozwiązanie układu dwóch równań liniowych (podstawowa algebra).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Miejsce zerowe to 1\" oznacza \\(f(1) = 0\\), a **nie** \\(f(0) = 1\\). To częsty błąd - mylenie miejsca zerowego z wartością funkcji w zerze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu współczynnika kierunkowego ze wzoru \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) - uważaj na kolejność punktów. Licznik i mianownik muszą odpowiadać tym samym punktom (najpierw drugi, potem pierwszy - albo odwrotnie, ale konsekwentnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić wyniku! Podstaw oba punkty do wzoru końcowego - to zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(f(x) = -2x + 2\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nMiejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba 1, więc \\\\(f(1) = 0\\\\).\n\nZapisujemy funkcję w postaci: \\\\(f(x) = a(x - 1)\\\\), gdzie \\\\(a \\\neq 0\\\\).\n\nWykres przechodzi przez punkt \\\\((-1, 4)\\\\):\n\\\\[f(-1) = a(-1 - 1) = -2a = 4\\\\]\n\\\\[a = -2\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[f(x) = -2(x - 1) = -2x + 2\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(f(1) = -2 + 2 = 0\\\\) ✓, \\\\(f(-1) = 2 + 2 = 4\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Funkcja liniowa \\\\(y = ax + b\\\\); miejsce zerowe to \\\\(x\\\\) dla którego \\\\(f(x) = 0\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Układy równań, analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkt (-8, 6) jest punktem przecięcia
prostych o równaniach
A. 2𝑥+ 3𝑦= 2
i
-𝑥+ 𝑦= -14.
B. 3𝑥+ 2𝑦= -12
i
2𝑥+ 𝑦= 10.
C. 𝑥+ 𝑦= -2
i
𝑥-2𝑦= 4.
D. 𝑥-𝑦= -14
i
-2𝑥+ 𝑦= 22.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), punkt (-8,6) jest punktem przecięcia prostych o równaniach A. 2x+3y=2 i -x+y=-14. B. 3x+2y=-12 i 2x+y=10. C. x+y=-2 i x-2y=4. D. x-y=-14 i -2x+y=22.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -2x + 2\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania

\n

Każda funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\).

\n

Mamy dwa warunki:

\n

Warunek 1: Miejsce zerowe to \\(x = 1\\), czyli \\(f(1) = 0\\):
\\[a \\cdot 1 + b = 0 \\implies a + b = 0\\]

\n

Warunek 2: Wykres przechodzi przez \\((-1, 4)\\), czyli \\(f(-1) = 4\\):
\\[a \\cdot (-1) + b = 4 \\implies -a + b = 4\\]

\n

Mamy układ:
\\[\\begin{cases} a + b = 0 \\\\ -a + b = 4 \\end{cases}\\]

\n

Dodajemy równania stronami:
\\[2b = 4 \\implies b = 2\\]

\n

Z pierwszego równania:
\\[a = -b = -2\\]

\n

Wzór funkcji: \\(f(x) = -2x + 2\\)

\n

Sposób 2 - Wzór prostej przez dwa punkty

\n

Znamy dwa punkty na wykresie:

\n\n

Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{4 - 0}{-1 - 1} = \\frac{4}{-2} = -2\\]

\n

Wyraz wolny - podstawiamy punkt \\((1, 0)\\):
\\[0 = -2 \\cdot 1 + b \\implies b = 2\\]

\n

Wzór funkcji: \\(f(x) = -2x + 2\\)

\n

Weryfikacja:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i rozwiązanie układu dwóch równań liniowych (podstawowa algebra).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: "Miejsce zerowe to 1" oznacza \\(f(1) = 0\\), a nie \\(f(0) = 1\\). To częsty błąd - mylenie miejsca zerowego z wartością funkcji w zerze.
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu współczynnika kierunkowego ze wzoru \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) - uważaj na kolejność punktów. Licznik i mianownik muszą odpowiadać tym samym punktom (najpierw drugi, potem pierwszy - albo odwrotnie, ale konsekwentnie).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij sprawdzić wyniku! Podstaw oba punkty do wzoru końcowego - to zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy rachunkowe.
\n

Poprawna odpowiedź: \\\\(f(x) = -2x + 2\\\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba 1, więc \\\\(f(1) = 0\\\\).

\n

Zapisujemy funkcję w postaci: \\\\(f(x) = a(x - 1)\\\\), gdzie \\\\(a \\
eq 0\\\\).

\n

Wykres przechodzi przez punkt \\\\((-1, 4)\\\\):
\\\\[f(-1) = a(-1 - 1) = -2a = 4\\\\]
\\\\[a = -2\\\\]

\n

Zatem:
\\\\[f(x) = -2(x - 1) = -2x + 2\\\\]

\n

Sprawdzenie: \\\\(f(1) = -2 + 2 = 0\\\\) ✓, \\\\(f(-1) = 2 + 2 = 4\\\\) ✓

\n

Użyte wzory z karty CKE: Funkcja liniowa \\\\(y = ax + b\\\\); miejsce zerowe to \\\\(x\\\\) dla którego \\\\(f(x) = 0\\\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, po podstawieniu punktu $(-8, 6)$ do równań $x - y = -14$ oraz $-2x + y = 22$, obie równości są spełnione, co oznacza, że ten punkt jest punktem przecięcia tych prostych.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Podstawiamy x=-8 , y=6 . W układzie D:

\n

-8-6=-14,

\n

-2·(-8)+6=16+6=22.

\n

Punkt spełnia oba równania, więc poprawna jest odpowiedź D.

"}]}