{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez\npunkt (-1, 4).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWzór funkcji 𝑓 ma postać\nA. 𝑓(𝑥) = -1\n2 𝑥+ 1\nB. 𝑓(𝑥) = -1\n3 𝑥+ 1\n3\nC. 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 2\nD. 𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 1\n\nMMAP-P0_100\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (-1,4). Wzór funkcji f ma postać A. f(x)=-1/2x+1 B. f(x)=-1/3x+1/3 C. f(x)=-2x+2 D. f(x)=-3x+1","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: 29\n\n## Sposób 1 - Równanie z postaci kanonicznej\n\nMamy funkcję w **postaci kanonicznej**: \\(f(x) = (x - 13)^2 - 256\\)\n\nSzukamy miejsc zerowych: \\(f(x) = 0\\)\n\n\\[(x - 13)^2 - 256 = 0\\]\n\n\\[(x - 13)^2 = 256\\]\n\n\\[x - 13 = \\pm\\sqrt{256} = \\pm 16\\]\n\nDwa rozwiązania:\n\\[x - 13 = 16 \\implies x = 29\\]\n\\[x - 13 = -16 \\implies x = -3\\]\n\n**Drugi pierwiastek to \\(x_2 = 29\\).**\n\nWeryfikacja: \\(f(-3) = (-3 - 13)^2 - 256 = (-16)^2 - 256 = 256 - 256 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozwijamy postać kanoniczną do ogólnej:\n\n\\[f(x) = (x-13)^2 - 256 = x^2 - 26x + 169 - 256 = x^2 - 26x - 87\\]\n\nMamy: \\(a = 1\\), \\(b = -26\\), \\(c = -87\\).\n\nZe wzorów Viète'a suma pierwiastków:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{-26}{1} = 26\\]\n\nSkoro \\(x_1 = -3\\), to:\n\\[x_2 = 26 - (-3) = \\mathbf{29}\\]\n\nSprawdzenie iloczynem Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -87\\]\n\\[(-3) \\cdot 29 = -87 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\)\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nW Sposobie 1 korzystaliśmy z postaci kanonicznej do bezpośredniego wyznaczenia pierwiastków. W Sposobie 2 - ze wzorów Viète'a po rozwinięciu do postaci ogólnej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{256} = 16\\), nie \\(128\\) - pamiętaj, że \\(16^2 = 256\\). Łatwo tu o błąd w rachunku pamięciowym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy równaniu \\((x-13)^2 = 256\\) musisz wziąć **oba znaki** (\\(+16\\) i \\(-16\\)). Pominięcie jednego rozwiązania to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorach Viète'a suma to \\(-\\frac{b}{a}\\), nie \\(\\frac{b}{a}\\). Przy \\(b = -26\\) mamy sumę \\(= +26\\), nie \\(-26\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: 29**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\\\(f(x) = (x-13)^2 - 256\\\\).\n\nMiejsca zerowe: \\\\((x-13)^2 - 256 = 0\\\\)\n\\\\[(x-13)^2 = 256\\\\]\n\\\\[x - 13 = \\\\pm 16\\\\]\n\\\\[x = 13 + 16 = 29 \\\\quad \\\\text{lub} \\\\quad x = 13 - 16 = -3\\\\]\n\nJedno miejsce zerowe to \\\\(-3\\\\) (dane w zadaniu). Drugim miejscem zerowym jest **29**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Postać kanoniczna funkcji kwadratowej \\\\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\\\); rozwiązywanie równania kwadratowego.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez
punkt (-1, 4).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wzór funkcji 𝑓 ma postać
A. 𝑓(𝑥) = -1
2 𝑥+ 1
B. 𝑓(𝑥) = -1
3 𝑥+ 1
3
C. 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 2
D. 𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 1

\n

MMAP-P0_100
Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (-1,4). Wzór funkcji f ma postać A. f(x)=-1/2x+1 B. f(x)=-1/3x+1/3 C. f(x)=-2x+2 D. f(x)=-3x+1

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 29

\n

Sposób 1 - Równanie z postaci kanonicznej

\n

Mamy funkcję w postaci kanonicznej: \\(f(x) = (x - 13)^2 - 256\\)

\n

Szukamy miejsc zerowych: \\(f(x) = 0\\)

\n

\\[(x - 13)^2 - 256 = 0\\]

\n

\\[(x - 13)^2 = 256\\]

\n

\\[x - 13 = \\pm\\sqrt{256} = \\pm 16\\]

\n

Dwa rozwiązania:
\\[x - 13 = 16 \\implies x = 29\\]
\\[x - 13 = -16 \\implies x = -3\\]

\n

Drugi pierwiastek to \\(x_2 = 29\\).

\n

Weryfikacja: \\(f(-3) = (-3 - 13)^2 - 256 = (-16)^2 - 256 = 256 - 256 = 0\\) ✓

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a

\n

Rozwijamy postać kanoniczną do ogólnej:

\n

\\[f(x) = (x-13)^2 - 256 = x^2 - 26x + 169 - 256 = x^2 - 26x - 87\\]

\n

Mamy: \\(a = 1\\), \\(b = -26\\), \\(c = -87\\).

\n

Ze wzorów Viète'a suma pierwiastków:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{-26}{1} = 26\\]

\n

Skoro \\(x_1 = -3\\), to:
\\[x_2 = 26 - (-3) = \\mathbf{29}\\]

\n

Sprawdzenie iloczynem Viète'a:
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -87\\]
\\[(-3) \\cdot 29 = -87 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\)

\n

Wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]

\n

W Sposobie 1 korzystaliśmy z postaci kanonicznej do bezpośredniego wyznaczenia pierwiastków. W Sposobie 2 - ze wzorów Viète'a po rozwinięciu do postaci ogólnej.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{256} = 16\\), nie \\(128\\) - pamiętaj, że \\(16^2 = 256\\). Łatwo tu o błąd w rachunku pamięciowym.
\n
⚠️ Uwaga: Przy równaniu \\((x-13)^2 = 256\\) musisz wziąć oba znaki (\\(+16\\) i \\(-16\\)). Pominięcie jednego rozwiązania to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: We wzorach Viète'a suma to \\(-\\frac{b}{a}\\), nie \\(\\frac{b}{a}\\). Przy \\(b = -26\\) mamy sumę \\(= +26\\), nie \\(-26\\).
\n

Poprawna odpowiedź: 29

\n

Rozwiązanie:

\n

Funkcja \\\\(f(x) = (x-13)^2 - 256\\\\).

\n

Miejsca zerowe: \\\\((x-13)^2 - 256 = 0\\\\)
\\\\[(x-13)^2 = 256\\\\]
\\\\[x - 13 = \\\\pm 16\\\\]
\\\\[x = 13 + 16 = 29 \\\\quad \\\\text{lub} \\\\quad x = 13 - 16 = -3\\\\]

\n

Jedno miejsce zerowe to \\\\(-3\\\\) (dane w zadaniu). Drugim miejscem zerowym jest 29.

\n

Użyte wzory z karty CKE: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej \\\\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\\\); rozwiązywanie równania kwadratowego.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ miejsce zerowe $f(1) = -2 \\cdot 1 + 2 = 0$ jest prawidłowe, a także wartości funkcji w punkcie $-1$ to $f(-1) = -2 \\cdot (-1) + 2 = 4$, co zgadza się z danymi w zadaniu.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Wykres przechodzi przez punkty (1,0) i (-1,4) . Współczynnik kierunkowy:

\n

a=(0-4)/(1-(-1))=-2.

\n

Z warunku f(1)=0 : 0=-2+b , więc b=2 . Zatem f(x)=-2x+2 .

"}]}