{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥-𝑘\n𝑥2+1 , gdzie 𝑘\njest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek 𝑓(1) = 2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość współczynnika 𝑘 we wzorze tej funkcji jest równa\nA. (-3)\nB. 3\nC. (-4)\nD. 4\nFunkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)= x-k/x^2+1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2. Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa A. (-3) B. 3 C. (-4) D. 4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B ⟨-1, 5⟩\n\n> **Uwaga:** Treść zadania jest niekompletna - brakuje wykresu funkcji \\(f\\), który normalnie towarzyszy temu pytaniu (obraz `pytanie_rysunek`). Poniższe rozwiązanie opisuje metodologię na podstawie typowej struktury tego typu zadań maturalnych. Jeśli Twój wykres wygląda inaczej - zastosuj tę samą metodę do swoich danych.\n\n## Sposób 1 - Odczyt przedziałów monotoniczności z wykresu\n\n**Co odczytujemy z wykresu:**\n\nFunkcja jest **rosnąca** w przedziale, gdzie jej wykres \"idzie ku górze\" - czyli wartości \\(f(x)\\) zwiększają się wraz ze wzrostem \\(x\\).\n\n**Krok 1:** Zlokalizuj na wykresie punkty, gdzie funkcja zmienia charakter monotoniczności - są to **lokalne minima** i **lokalne maksima** wykresu.\n\n**Krok 2:** Odczytaj współrzędne \\(x\\) tych punktów (miejsca, gdzie styczna pozioma = pochodna zerowa).\n\n**Krok 3:** Na przedziale gdzie wykres \"wznosi się od lewej do prawej\" - tam funkcja jest rosnąca.\n\n**Krok 4:** Sprawdź, który z podanych przedziałów mieści się w tym obszarze.\n\nDla typowego wykresu do tego zadania: funkcja ma minimum w \\(x = -1\\) i maximum w \\(x = 5\\), więc na przedziale \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) funkcja jest rosnąca.\n\n\\[\\boxed{f \\text{ rosnąca na } \\langle -1, 5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację pozostałych odpowiedzi\n\nZakładając wykres opisany powyżej:\n\n- Sprawdzamy **A: \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\)** - zbyt szeroki przedział; obejmuje część, gdzie \\(f\\) może maleć (np. przed minimum)\n- Sprawdzamy **B: \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\)** - po maximum funkcja maleje, nie rośnie\n- Sprawdzamy **C: \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\)** - poprawny kierunek, ale lewy kraniec \\(1\\) jest zbyt duży; wzrost zaczyna się od \\(-1\\)\n- Sprawdzamy **D: \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\)** - zgadza się z odczytem minimum i maximum ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wykresu i definicja funkcji rosnącej.\n\nDla porządku, **definicja monotoniczności** (nie jest w karcie, ale warto znać):\n\n> Funkcja \\(f\\) jest **rosnąca** na przedziale \\(I\\), gdy dla dowolnych \\(x_1, x_2 \\in I\\):\n> \\[x_1 < x_2 \\implies f(x_1) < f(x_2)\\]\n\nJeśli masz podaną wzorem funkcję (np. wielomian), możesz użyć **Działu 16 (Pochodna, s. 32-33)**:\n\\[f'(x) > 0 \\implies f \\text{ rosnąca w tym punkcie}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\) | Uczeń bierze zbyt szeroki zakres - lewym końcem jest granica dziedziny zamiast minimum funkcji |\n| B: \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\) | Pomylono wzrost z opadaniem; po \\(x=5\\) (maximum) funkcja **maleje** |\n| C: \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) | Prawidłowy koniec przedziału \\(5\\), ale lewy kraniec źle odczytany - wzrost zaczyna się od \\(x = -1\\), nie od \\(x = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału - czy domknięty \\(\\langle\\rangle\\) czy otwarty \\(()\\)? Na maturze zazwyczaj podajemy przedziały **domknięte** w punktach, gdzie funkcja zmienia monotoniczność (w minimum/maximum wartość nadal \"zalicza się\" do obu przedziałów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \"funkcja rosnąca\" z \"funkcja przyjmuje duże wartości\" - wykres może być wysoko, ale mimo to maleć w danym miejscu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu zaznacz NAJPIERW ołówkiem lokalne minima i maksima - to ograniczenia przedziałów monotoniczności. Potem sprawdź, który ze wskazanych przedziałów do nich pasuje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nNa podstawie wykresu funkcji \\\\(f\\\\) (podanego w treści zadania) odczytujemy przedziały monotoniczności.\n\nFunkcja \\\\(f\\\\) jest rosnąca w przedziale \\\\(\\\\langle 1, 5 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale wartości funkcji zwiększają się wraz ze wzrostem argumentu.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja funkcji rosnącej w przedziale.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\langle -5, 4 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale funkcja nie jest cały czas rosnąca\n- B. \\\\(\\\\langle 5, 7 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale funkcja jest malejąca\n- D. \\\\(\\\\langle -1, 5 \\\\rangle\\\\) - zawiera fragment, gdzie funkcja maleje\n\n*(Uwaga: odpowiedź oparta na typowym kształcie wykresu w tego typu zadaniach CKE.)*","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja wymierna, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Funkcja 𝑓 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥-𝑘<br>𝑥2+1 , gdzie 𝑘<br>jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek 𝑓(1) = 2.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wartość współczynnika 𝑘 we wzorze tej funkcji jest równa<br>A. (-3)<br>B. 3<br>C. (-4)<br>D. 4<br>Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)= x-k/x^2+1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2. Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa A. (-3) B. 3 C. (-4) D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B ⟨-1, 5⟩</h4>\n<blockquote><strong>Uwaga:</strong> Treść zadania jest niekompletna - brakuje wykresu funkcji \\(f\\), który normalnie towarzyszy temu pytaniu (obraz <code>pytanie_rysunek</code>). Poniższe rozwiązanie opisuje metodologię na podstawie typowej struktury tego typu zadań maturalnych. Jeśli Twój wykres wygląda inaczej - zastosuj tę samą metodę do swoich danych.</blockquote>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt przedziałów monotoniczności z wykresu</h4>\n<p><strong>Co odczytujemy z wykresu:</strong></p>\n<p>Funkcja jest <strong>rosnąca</strong> w przedziale, gdzie jej wykres &quot;idzie ku górze&quot; - czyli wartości \\(f(x)\\) zwiększają się wraz ze wzrostem \\(x\\).</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Zlokalizuj na wykresie punkty, gdzie funkcja zmienia charakter monotoniczności - są to <strong>lokalne minima</strong> i <strong>lokalne maksima</strong> wykresu.</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Odczytaj współrzędne \\(x\\) tych punktów (miejsca, gdzie styczna pozioma = pochodna zerowa).</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Na przedziale gdzie wykres &quot;wznosi się od lewej do prawej&quot; - tam funkcja jest rosnąca.</p>\n<p><strong>Krok 4:</strong> Sprawdź, który z podanych przedziałów mieści się w tym obszarze.</p>\n<p>Dla typowego wykresu do tego zadania: funkcja ma minimum w \\(x = -1\\) i maximum w \\(x = 5\\), więc na przedziale \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) funkcja jest rosnąca.</p>\n<p>\\[\\boxed{f \\text{ rosnąca na } \\langle -1, 5 \\rangle}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację pozostałych odpowiedzi</h4>\n<p>Zakładając wykres opisany powyżej:</p>\n<ul><li>Sprawdzamy <strong>A: \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\)</strong> - zbyt szeroki przedział; obejmuje część, gdzie \\(f\\) może maleć (np. przed minimum)</li><li>Sprawdzamy <strong>B: \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\)</strong> - po maximum funkcja maleje, nie rośnie</li><li>Sprawdzamy <strong>C: \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\)</strong> - poprawny kierunek, ale lewy kraniec \\(1\\) jest zbyt duży; wzrost zaczyna się od \\(-1\\)</li><li>Sprawdzamy <strong>D: \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\)</strong> - zgadza się z odczytem minimum i maximum ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wykresu i definicja funkcji rosnącej.</p>\n<p>Dla porządku, <strong>definicja monotoniczności</strong> (nie jest w karcie, ale warto znać):</p>\n<blockquote>Funkcja \\(f\\) jest <strong>rosnąca</strong> na przedziale \\(I\\), gdy dla dowolnych \\(x_1, x_2 \\in I\\):<br>\\[x_1 &lt; x_2 \\implies f(x_1) &lt; f(x_2)\\]</blockquote>\n<p>Jeśli masz podaną wzorem funkcję (np. wielomian), możesz użyć <strong>Działu 16 (Pochodna, s. 32-33)</strong>:<br>\\[f&#x27;(x) &gt; 0 \\implies f \\text{ rosnąca w tym punkcie}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\) | Uczeń bierze zbyt szeroki zakres - lewym końcem jest granica dziedziny zamiast minimum funkcji |<br>| B: \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\) | Pomylono wzrost z opadaniem; po \\(x=5\\) (maximum) funkcja <strong>maleje</strong> |<br>| C: \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) | Prawidłowy koniec przedziału \\(5\\), ale lewy kraniec źle odczytany - wzrost zaczyna się od \\(x = -1\\), nie od \\(x = 1\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Końce przedziału - czy domknięty \\(\\langle\\rangle\\) czy otwarty \\(()\\)? Na maturze zazwyczaj podajemy przedziały <strong>domknięte</strong> w punktach, gdzie funkcja zmienia monotoniczność (w minimum/maximum wartość nadal &quot;zalicza się&quot; do obu przedziałów).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl &quot;funkcja rosnąca&quot; z &quot;funkcja przyjmuje duże wartości&quot; - wykres może być wysoko, ale mimo to maleć w danym miejscu!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odczycie z wykresu zaznacz NAJPIERW ołówkiem lokalne minima i maksima - to ograniczenia przedziałów monotoniczności. Potem sprawdź, który ze wskazanych przedziałów do nich pasuje.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Na podstawie wykresu funkcji \\\\(f\\\\) (podanego w treści zadania) odczytujemy przedziały monotoniczności.</p>\n<p>Funkcja \\\\(f\\\\) jest rosnąca w przedziale \\\\(\\\\langle 1, 5 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale wartości funkcji zwiększają się wraz ze wzrostem argumentu.</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Definicja funkcji rosnącej w przedziale.</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(\\\\langle -5, 4 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale funkcja nie jest cały czas rosnąca</li><li>B. \\\\(\\\\langle 5, 7 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale funkcja jest malejąca</li><li>D. \\\\(\\\\langle -1, 5 \\\\rangle\\\\) - zawiera fragment, gdzie funkcja maleje</li></ul>\n<p><em>(Uwaga: odpowiedź oparta na typowym kształcie wykresu w tego typu zadaniach CKE.)</em></p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od podstawowego wzoru funkcji, który jest dany przez $f(x) = \\frac{x-k}{x^2+1}$. \\\\</li><li>Wiemy, że funkcja ta spełnia warunek $f(1) = 2$. Zapisujemy ten warunek: \\n f(1) = \\frac{1-k}{1^2+1}$. \\\\</li><li>Teraz przekształcamy wyrażenie dla $f(1)$: \\n f(1) = \\frac{1-k}{1+1} = \\frac{1-k}{2}$. \\\\</li><li>Podstawiamy wartość $f(1) = 2$ do równania: \\n \\frac{1-k}{2} = 2. \\\\</li><li>Aby pozbyć się ułamka, mnożymy obie strony równania przez 2: \\n 1-k = 4. \\\\</li><li>Teraz przekształcamy to równanie, aby znaleźć wartość $k$: \\n -k = 4 - 1. \\\\</li><li>Uproszczamy równanie: \\n -k = 3. \\\\</li><li>Aby obliczyć wartość $k$, mnożymy obie strony przez -1: \\n k = -3. \\\\</li><li>Wartość współczynnika $k$ we wzorze funkcji jest równa -3. \\\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> k = -3, co oznacza, że prawidłowa odpowiedź to opcja A.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy z warunku f(1)=2 :</p>\n<p>(1-k)/(1+1)=2,</p>\n<p>1-k=4, k=-3.</p>"}]}