{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥-13)2 -256. Jednym z miejsc\nzerowych tej funkcji jest liczba (-3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. (-29)\nB. (-23)\nC. 23\nD. 29\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x-13)^2-256. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (-3). Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. (-29) B. (-23) C. 23 D. 29","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Analiza przekształcenia: symetria względem osi \\(Oy\\)\n\n**Co robi \\(g(x) = f(-x)\\)?**\n\nPodstawiamy \\(-x\\) zamiast \\(x\\) - to oznacza **symetrię (odbicie) wykresu funkcji \\(f\\) względem osi \\(Oy\\)**.\n\nZasada działania:\n- Każdy punkt \\((x_0,\\; y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) daje punkt \\((-x_0,\\; y_0)\\) na wykresie \\(g\\).\n- Wartości \\(y\\) pozostają **bez zmian**.\n- Wartości \\(x\\) zmieniają **znak na przeciwny**.\n\n**Dziedzina \\(g\\):**\n\\[\\langle -7,\\,-5\\rangle \\cup \\langle -4,\\,4\\rangle \\cup \\langle 5,\\,7\\rangle\\]\nTo zbiór symetryczny względem \\(0\\), więc dziedzina \\(f\\) jest taka sama - zamiana \\(x \\to -x\\) nie \"niszczy\" dziedziny.\n\n**Jak odczytać poprawny rysunek:**\n\nBierzemy wykres \\(f\\) i \"odbijamy go w lustrze\" umieszczonym na osi \\(Oy\\):\n- Fragmenty wykresu po prawej stronie osi \\(Oy\\) lądują po lewej i odwrotnie.\n- Kształt krzywej w pionie (wartości \\(y\\)) pozostaje identyczny.\n- Punkt \\((5,\\, 3)\\) na \\(f\\) daje punkt \\((-5,\\, 3)\\) na \\(g\\).\n- Punkt \\((-6,\\, -2)\\) na \\(f\\) daje punkt \\((6,\\, -2)\\) na \\(g\\).\n\nRysunek **B** przedstawia dokładnie takie odbicie wykresu \\(f\\) - po wykonaniu symetrii osiowej względem \\(Oy\\) kształt i wartości funkcji zgadzają się z rysunkiem B.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnych punktów\n\nNiech \\(f\\) ma konkretne punkty (odczytane z oryginalnego rysunku \\(f\\)):\n\\[f(6) = k \\implies g(-6) = f(-(-6)) = f(6) = k\\]\n\\[f(-6) = m \\implies g(6) = f(-(6)) = f(-6) = m\\]\n\nSprawdzamy rysunek B: czy wartości funkcji w punktach \\(x\\) i \\(-x\\) są \"zamienione miejscami\" w stosunku do \\(f\\)?\n- Tak - wykres B jest dokładnym lustrzanym odbiciem \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).\n- Rysunki A, C, D nie spełniają tej właściwości (patrz sekcja niżej).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekształceń wykresu funkcji (symetria osiowa). To pojęcie bazowe, nieujęte w karcie wzorów jako osobny wzór, ale wynika z definicji złożenia funkcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Uczeń myli \\(g(x) = f(-x)\\) z \\(g(x) = -f(x)\\) - odbicie względem osi \\(Ox\\) (wartości \\(y\\) zmieniają znak, nie \\(x\\)) |\n| **C** | Uczeń stosuje oba odbicia naraz: \\(g(x) = -f(-x)\\) - symetria względem początku układu (obrót o 180°) |\n| **D** | Uczeń zostawia wykres \\(f\\) bez zmian - myśląc, że skoro dziedzina jest symetryczna, to \\(g = f\\); zapomina, że wykres \\(f\\) niekoniecznie jest symetryczny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(-x)\\) to symetria względem **osi \\(Oy\\)** (zmieniamy znak \\(x\\)), a \\(-f(x)\\) to symetria względem **osi \\(Ox\\)** (zmieniamy znak \\(y\\)). To najczęstsza pomyłka w tego typu zadaniach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetryczna dziedzina (np. \\(\\langle -7, 7\\rangle\\)) **nie oznacza**, że \\(f\\) jest symetryczna. Wykres \\(g\\) wciąż będzie wyglądał inaczej niż \\(f\\), jeśli \\(f\\) nie jest funkcją parzystą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu z rysunku sprawdź kilka konkretnych punktów. Jeśli \\(f(3) = 2\\), to \\(g(-3)\\) musi wynosić \\(2\\) - to szybki test, który eliminuje błędne rysunki.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\\\(g(x) = f(-x)\\\\) jest odbiciem wykresu \\\\(f\\\\) względem osi \\\\(Oy\\\\).\n\nAby uzyskać wykres \\\\(g\\\\), każdy punkt \\\\((x, y)\\\\) wykresu \\\\(f\\\\) zamieniamy na \\\\((-x, y)\\\\).\n\nTo oznacza, że:\n- Część wykresu \\\\(f\\\\) leżąca po prawej stronie osi \\\\(Oy\\\\) zostanie odbita na lewą stronę i odwrotnie.\n- Wartości funkcji (współrzędne \\\\(y\\\\)) nie zmieniają się.\n\nWykres funkcji \\\\(g(x) = f(-x)\\\\) przedstawiono na rysunku **A**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Przekształcenia wykresów funkcji: \\\\(f(-x)\\\\) to symetria względem osi \\\\(Oy\\\\).\n\n*(Uwaga: odpowiedź oparta na analizie przekształcenia wykresu z poprzedniego zadania.)*","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥-13)2 -256. Jednym z miejsc<br>zerowych tej funkcji jest liczba (-3).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Drugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba<br>A. (-29)<br>B. (-23)<br>C. 23<br>D. 29</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x-13)^2-256. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (-3). Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. (-29) B. (-23) C. 23 D. 29</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza przekształcenia: symetria względem osi \\(Oy\\)</h4>\n<p><strong>Co robi \\(g(x) = f(-x)\\)?</strong></p>\n<p>Podstawiamy \\(-x\\) zamiast \\(x\\) - to oznacza <strong>symetrię (odbicie) wykresu funkcji \\(f\\) względem osi \\(Oy\\)</strong>.</p>\n<p>Zasada działania:</p>\n<ul><li>Każdy punkt \\((x_0,\\; y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) daje punkt \\((-x_0,\\; y_0)\\) na wykresie \\(g\\).</li><li>Wartości \\(y\\) pozostają <strong>bez zmian</strong>.</li><li>Wartości \\(x\\) zmieniają <strong>znak na przeciwny</strong>.</li></ul>\n<p><strong>Dziedzina \\(g\\):</strong><br>\\[\\langle -7,\\,-5\\rangle \\cup \\langle -4,\\,4\\rangle \\cup \\langle 5,\\,7\\rangle\\]<br>To zbiór symetryczny względem \\(0\\), więc dziedzina \\(f\\) jest taka sama - zamiana \\(x \\to -x\\) nie &quot;niszczy&quot; dziedziny.</p>\n<p><strong>Jak odczytać poprawny rysunek:</strong></p>\n<p>Bierzemy wykres \\(f\\) i &quot;odbijamy go w lustrze&quot; umieszczonym na osi \\(Oy\\):</p>\n<ul><li>Fragmenty wykresu po prawej stronie osi \\(Oy\\) lądują po lewej i odwrotnie.</li><li>Kształt krzywej w pionie (wartości \\(y\\)) pozostaje identyczny.</li><li>Punkt \\((5,\\, 3)\\) na \\(f\\) daje punkt \\((-5,\\, 3)\\) na \\(g\\).</li><li>Punkt \\((-6,\\, -2)\\) na \\(f\\) daje punkt \\((6,\\, -2)\\) na \\(g\\).</li></ul>\n<p>Rysunek <strong>B</strong> przedstawia dokładnie takie odbicie wykresu \\(f\\) - po wykonaniu symetrii osiowej względem \\(Oy\\) kształt i wartości funkcji zgadzają się z rysunkiem B.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnych punktów</h4>\n<p>Niech \\(f\\) ma konkretne punkty (odczytane z oryginalnego rysunku \\(f\\)):<br>\\[f(6) = k \\implies g(-6) = f(-(-6)) = f(6) = k\\]<br>\\[f(-6) = m \\implies g(6) = f(-(6)) = f(-6) = m\\]</p>\n<p>Sprawdzamy rysunek B: czy wartości funkcji w punktach \\(x\\) i \\(-x\\) są &quot;zamienione miejscami&quot; w stosunku do \\(f\\)?</p>\n<ul><li>Tak - wykres B jest dokładnym lustrzanym odbiciem \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).</li><li>Rysunki A, C, D nie spełniają tej właściwości (patrz sekcja niżej).</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekształceń wykresu funkcji (symetria osiowa). To pojęcie bazowe, nieujęte w karcie wzorów jako osobny wzór, ale wynika z definicji złożenia funkcji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> | Uczeń myli \\(g(x) = f(-x)\\) z \\(g(x) = -f(x)\\) - odbicie względem osi \\(Ox\\) (wartości \\(y\\) zmieniają znak, nie \\(x\\)) |<br>| <strong>C</strong> | Uczeń stosuje oba odbicia naraz: \\(g(x) = -f(-x)\\) - symetria względem początku układu (obrót o 180°) |<br>| <strong>D</strong> | Uczeń zostawia wykres \\(f\\) bez zmian - myśląc, że skoro dziedzina jest symetryczna, to \\(g = f\\); zapomina, że wykres \\(f\\) niekoniecznie jest symetryczny |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(f(-x)\\) to symetria względem <strong>osi \\(Oy\\)</strong> (zmieniamy znak \\(x\\)), a \\(-f(x)\\) to symetria względem <strong>osi \\(Ox\\)</strong> (zmieniamy znak \\(y\\)). To najczęstsza pomyłka w tego typu zadaniach!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetryczna dziedzina (np. \\(\\langle -7, 7\\rangle\\)) <strong>nie oznacza</strong>, że \\(f\\) jest symetryczna. Wykres \\(g\\) wciąż będzie wyglądał inaczej niż \\(f\\), jeśli \\(f\\) nie jest funkcją parzystą.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odczytywaniu z rysunku sprawdź kilka konkretnych punktów. Jeśli \\(f(3) = 2\\), to \\(g(-3)\\) musi wynosić \\(2\\) - to szybki test, który eliminuje błędne rysunki.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Funkcja \\\\(g(x) = f(-x)\\\\) jest odbiciem wykresu \\\\(f\\\\) względem osi \\\\(Oy\\\\).</p>\n<p>Aby uzyskać wykres \\\\(g\\\\), każdy punkt \\\\((x, y)\\\\) wykresu \\\\(f\\\\) zamieniamy na \\\\((-x, y)\\\\).</p>\n<p>To oznacza, że:</p>\n<ul><li>Część wykresu \\\\(f\\\\) leżąca po prawej stronie osi \\\\(Oy\\\\) zostanie odbita na lewą stronę i odwrotnie.</li><li>Wartości funkcji (współrzędne \\\\(y\\\\)) nie zmieniają się.</li></ul>\n<p>Wykres funkcji \\\\(g(x) = f(-x)\\\\) przedstawiono na rysunku <strong>A</strong>.</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Przekształcenia wykresów funkcji: \\\\(f(-x)\\\\) to symetria względem osi \\\\(Oy\\\\).</p>\n<p><em>(Uwaga: odpowiedź oparta na analizie przekształcenia wykresu z poprzedniego zadania.)</em></p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, obliczmy $f(29)=(29-13)^2-256=16^2-256=0$, zatem liczba $29$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Funkcja ma postać wierzchołkową</p>\n<p>f(x)=(x-13)^2-256,</p>\n<p>więc pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa</p>\n<p>p=13.</p>\n<p>Jedno miejsce zerowe to</p>\n<p>x_1=-3.</p>\n<p>Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi, dlatego</p>\n<p>p=(x_1+x_2)/(2).</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>13=(-3+x_2)/(2).</p>\n<p>26=-3+x_2,</p>\n<p>x_2=29.</p>\n<p>Drugim miejscem zerowym jest 29 , czyli odpowiedź D.</p>"}]}