{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja f jest rosnąca w przedziale A. <-5,4> B. <5,7> C. <1,5> D. <-1,5>","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - największą równą 4\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna (wierzchołek paraboli)\n\nFunkcja \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) ma współczynnik przy \\(x^2\\) ujemny (\\(a < 0\\)), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** - funkcja ma **maksimum** (największą wartość), a nie minimum.\n\nRozwijamy iloczyn do postaci ogólnej:\n\\[f(x) = -(x-1)(x-5) = -(x^2 - 5x - x + 5) = -(x^2 - 6x + 5)\\]\n\\[f(x) = -x^2 + 6x - 5\\]\n\nWyznaczamy współrzędne wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{6}{-2} = 3\\]\n\n\\[q = f(3) = -(3-1)(3-5) = -2 \\cdot (-2) = 4\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (3, 4)\\).**\n\nNajwiększa wartość funkcji wynosi \\(q = 4\\), osiągana dla \\(x = 3\\).\n\n**Odpowiedź: D - największa równa 4.**\n\n## Sposób 2 - odczyt z postaci iloczynowej (miejsca zerowe + symetria)\n\nZ postaci iloczynowej \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) od razu odczytujemy miejsca zerowe:\n\\[x_1 = 1, \\quad x_2 = 5\\]\n\nParabola jest **symetryczna** względem prostej \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1 + 5}{2} = 3\\]\n\nObliczamy wartość funkcji w wierzchołku:\n\\[f(3) = -(3-1)(3-5) = -(2)(-2) = 4\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola otwiera się ku dołowi, więc \\(f(3) = 4\\) to **wartość największa**.\n\n**Wynik: największa wartość to \\(4\\). Odpowiedź D.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia współrzędnej \\(p = 3\\) (oś symetrii) oraz wartości \\(q = 4\\) (maksimum funkcji).\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nW Sposobie 2 bezpośrednio odczytaliśmy miejsca zerowe \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 5\\), co pozwoliło wyliczyć oś symetrii bez rozwijania nawiasów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(p = 3\\) (oś symetrii) i podaje tę wartość jako wynik funkcji - myli argument \\(x = 3\\) z wartością \\(f(3) = 4\\) |\n| B | Uczeń zakłada, że parabola jest skierowana ku górze (\\(a > 0\\)) i szuka **minimum** zamiast maksimum, ewentualnie poprawnie liczy \\(f(3) = 4\\), ale błędnie wpisuje \"najmniejszą\" |\n| C | Podwójny błąd: zarówno zły typ ekstremum (\"najmniejsza\" zamiast \"największa\"), jak i błędna wartość \\(3\\) zamiast \\(4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak \\(a\\) decyduje o kierunku paraboli! Tutaj \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) - wiodący minus oznacza \\(a = -1 < 0\\), więc parabola ma **maksimum**. Wielu uczniów automatycznie szuka minimum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl osi symetrii z wartością w wierzchołku! Oś symetrii to \\(x = 3\\) (argument), ale wartość funkcji w tym punkcie to \\(f(3) = 4\\). Odpowiedź pyta o wartość funkcji, nie o \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\(-(x-1)(x-5)\\) nie musisz rozwijać nawiasów, żeby znaleźć oś symetrii - wystarczy wziąć średnią miejsc zerowych \\(\\frac{1+5}{2} = 3\\). To szybsza droga na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\\\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\\\)\n\nRozwijamy:\n\\\\[f(x) = -(x^2 - 6x + 5) = -x^2 + 6x - 5\\\\]\n\nWspółczynnik \\\\(a = -1 < 0\\\\), więc ramiona paraboli skierowane w dół - funkcja ma **wartość największą**.\n\nWierzchołek paraboli:\n\\\\[p = \\\\frac{x_1 + x_2}{2} = \\\\frac{1 + 5}{2} = 3\\\\]\n\\\\[f(3) = -(3-1)(3-5) = -(2)(-2) = 4\\\\]\n\nFunkcja przyjmuje wartość **największą równą 4**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Postać iloczynowa \\\\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\\\); wierzchołek paraboli \\\\(p = \\\\frac{x_1+x_2}{2}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. Najmniejsza równa 3 - \\\\(a < 0\\\\), więc nie ma wartości najmniejszej (granice w \\\\(-\\\\infty\\\\))\n- B. Najmniejsza równa 4 - j.w., brak wartości najmniejszej\n- C. Największa równa 3 - błędne obliczenie wartości w wierzchołku","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)<br>(zobacz rysunek).<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja f jest rosnąca w przedziale A. &lt;-5,4&gt; B. &lt;5,7&gt; C. &lt;1,5&gt; D. &lt;-1,5&gt;</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - największą równą 4</h4>\n<h4>Sposób 1 - postać kanoniczna (wierzchołek paraboli)</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) ma współczynnik przy \\(x^2\\) ujemny (\\(a &lt; 0\\)), więc parabola jest <strong>skierowana ramionami w dół</strong> - funkcja ma <strong>maksimum</strong> (największą wartość), a nie minimum.</p>\n<p>Rozwijamy iloczyn do postaci ogólnej:<br>\\[f(x) = -(x-1)(x-5) = -(x^2 - 5x - x + 5) = -(x^2 - 6x + 5)\\]<br>\\[f(x) = -x^2 + 6x - 5\\]</p>\n<p>Wyznaczamy współrzędne wierzchołka:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{6}{-2} = 3\\]</p>\n<p>\\[q = f(3) = -(3-1)(3-5) = -2 \\cdot (-2) = 4\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek: \\(W = (3, 4)\\).</strong></p>\n<p>Największa wartość funkcji wynosi \\(q = 4\\), osiągana dla \\(x = 3\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D - największa równa 4.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - odczyt z postaci iloczynowej (miejsca zerowe + symetria)</h4>\n<p>Z postaci iloczynowej \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) od razu odczytujemy miejsca zerowe:<br>\\[x_1 = 1, \\quad x_2 = 5\\]</p>\n<p>Parabola jest <strong>symetryczna</strong> względem prostej \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1 + 5}{2} = 3\\]</p>\n<p>Obliczamy wartość funkcji w wierzchołku:<br>\\[f(3) = -(3-1)(3-5) = -(2)(-2) = 4\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(a = -1 &lt; 0\\), parabola otwiera się ku dołowi, więc \\(f(3) = 4\\) to <strong>wartość największa</strong>.</p>\n<p><strong>Wynik: największa wartość to \\(4\\). Odpowiedź D.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wierzchołek paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia współrzędnej \\(p = 3\\) (oś symetrii) oraz wartości \\(q = 4\\) (maksimum funkcji).</p>\n<p><strong>Dział 7 (s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>W Sposobie 2 bezpośrednio odczytaliśmy miejsca zerowe \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 5\\), co pozwoliło wyliczyć oś symetrii bez rozwijania nawiasów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń oblicza \\(p = 3\\) (oś symetrii) i podaje tę wartość jako wynik funkcji - myli argument \\(x = 3\\) z wartością \\(f(3) = 4\\) |<br>| B | Uczeń zakłada, że parabola jest skierowana ku górze (\\(a &gt; 0\\)) i szuka <strong>minimum</strong> zamiast maksimum, ewentualnie poprawnie liczy \\(f(3) = 4\\), ale błędnie wpisuje &quot;najmniejszą&quot; |<br>| C | Podwójny błąd: zarówno zły typ ekstremum (&quot;najmniejsza&quot; zamiast &quot;największa&quot;), jak i błędna wartość \\(3\\) zamiast \\(4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak \\(a\\) decyduje o kierunku paraboli! Tutaj \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) - wiodący minus oznacza \\(a = -1 &lt; 0\\), więc parabola ma <strong>maksimum</strong>. Wielu uczniów automatycznie szuka minimum.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl osi symetrii z wartością w wierzchołku! Oś symetrii to \\(x = 3\\) (argument), ale wartość funkcji w tym punkcie to \\(f(3) = 4\\). Odpowiedź pyta o wartość funkcji, nie o \\(x\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci iloczynowej \\(-(x-1)(x-5)\\) nie musisz rozwijać nawiasów, żeby znaleźć oś symetrii - wystarczy wziąć średnią miejsc zerowych \\(\\frac{1+5}{2} = 3\\). To szybsza droga na egzaminie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>\\\\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\\\)</p>\n<p>Rozwijamy:<br>\\\\[f(x) = -(x^2 - 6x + 5) = -x^2 + 6x - 5\\\\]</p>\n<p>Współczynnik \\\\(a = -1 &lt; 0\\\\), więc ramiona paraboli skierowane w dół - funkcja ma <strong>wartość największą</strong>.</p>\n<p>Wierzchołek paraboli:<br>\\\\[p = \\\\frac{x_1 + x_2}{2} = \\\\frac{1 + 5}{2} = 3\\\\]<br>\\\\[f(3) = -(3-1)(3-5) = -(2)(-2) = 4\\\\]</p>\n<p>Funkcja przyjmuje wartość <strong>największą równą 4</strong>.</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Postać iloczynowa \\\\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\\\); wierzchołek paraboli \\\\(p = \\\\frac{x_1+x_2}{2}\\\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. Najmniejsza równa 3 - \\\\(a &lt; 0\\\\), więc nie ma wartości najmniejszej (granice w \\\\(-\\\\infty\\\\))</li><li>B. Najmniejsza równa 4 - j.w., brak wartości najmniejszej</li><li>C. Największa równa 3 - błędne obliczenie wartości w wierzchołku</li></ul>"}]}