{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-2)\nFunkcje 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 oraz 𝐹 są określone dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Wzory tych\nfunkcji podano poniżej.\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nPrzedział (-∞, 2] jest zbiorem wartości funkcji oraz\nA. 𝐴(𝑥) = -(𝑥-3)2 + 2\nB. 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 2\nC. 𝐶(𝑥) = -5(𝑥-2)2\nD. 𝐷(𝑥) = (𝑥-2)2\nE. 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 10\nF. 𝐹(𝑥) = -2𝑥2 + 4𝑥\n\nMMAP-P0_100\nFunkcje A, B, C, D, E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x. Wzory tych funkcji podano poniżej. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Przedział (-∞,2> jest zbiorem wartości funkcji ......... oraz .......... . A. A(x)=-(x-3)²+2 B. B(x)=x²+2 C. C(x)=-5(x-2)² D. D(x)=(x-2)² E. E(x)=2x²-8x+10 F. F(x)=-2x²+4x","answer":"AF","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAF","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_3 = -16\\)\n\n> **Interpretacja wzoru:** Na podstawie zapisu zadania wzór ciągu to \\(a_n = (-1)^n \\cdot 2^{n+1}\\).\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 3\\) wprost do wzoru\n\nSzukamy **trzeciego wyrazu**, czyli podstawiamy \\(n = 3\\):\n\n\\[a_3 = (-1)^3 \\cdot 2^{3+1}\\]\n\nLiczymy każdy czynnik osobno:\n\n\\[(-1)^3 = -1\\]\n\n\\[2^{3+1} = 2^4 = 16\\]\n\nŁączymy:\n\n\\[a_3 = (-1) \\cdot 16 = \\boxed{-16}\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie pierwszych wyrazów i sprawdzenie wzorca\n\nObliczamy kilka wyrazów, żeby zrozumieć ciąg i zweryfikować wynik:\n\n| \\(n\\) | \\((-1)^n\\) | \\(2^{n+1}\\) | \\(a_n\\) |\n| 1 | \\(-1\\) | \\(2^2 = 4\\) | \\(-4\\) |\n| 2 | \\(+1\\) | \\(2^3 = 8\\) | \\(+8\\) |\n| 3 | \\(-1\\) | \\(2^4 = 16\\) | \\(-16\\) |\n| 4 | \\(+1\\) | \\(2^5 = 32\\) | \\(+32\\) |\n\nWidzimy wyraźny wzorzec:\n- wyrazy nieparzyste są **ujemne** (czynnik \\((-1)^n = -1\\)),\n- wyrazy parzyste są **dodatnie**,\n- wartości bezwzględne: 4, 8, 16, 32, … - ciąg geometryczny z ilorazem \\(q = 2\\).\n\nTrzeci wyraz to \\(\\mathbf{-16}\\) - zgodnie z Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - reguła potęgowania:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy jej przy obliczaniu \\(2^{3+1} = 2^4 = 16\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - ciąg geometryczny (pomocniczo):\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nWartości bezwzględne \\(|a_n| = 4, 8, 16, \\ldots\\) tworzą ciąg geometryczny z \\(a_1 = 4\\) i \\(q = 2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-1)^3 = -1\\), **nie** \\(-3\\)! Potęgowanie \\((-1)^n\\) daje zawsze \\(+1\\) lub \\(-1\\) - tylko decyduje o znaku wyrazu, nie o jego wartości bezwzględnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik potęgi dwójki to \\(n+1\\), **nie** \\(n\\). Dla \\(n = 3\\) mamy \\(2^{4} = 16\\), a nie \\(2^3 = 8\\). Pomylenie \\(n\\) z \\(n+1\\) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, od jakiego \\(n\\) zaczyna się ciąg - tutaj \\(n \\geq 1\\), więc wyraz trzeci to \\(a_3\\) (nie \\(a_2\\) ani \\(a_4\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(-2\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCiąg określony wzorem: \\\\(a_n = (-1)^n \\\\cdot \\\\frac{n+1}{2}\\\\)\n\nObliczamy trzeci wyraz (\\\\(n = 3\\\\)):\n\\\\[a_3 = (-1)^3 \\\\cdot \\\\frac{3+1}{2} = (-1) \\\\cdot \\\\frac{4}{2} = (-1) \\\\cdot 2 = -2\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-2)<br>Funkcje 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 oraz 𝐹 są określone dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Wzory tych<br>funkcji podano poniżej.<br>Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami<br>A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.<br>Przedział (-∞, 2] jest zbiorem wartości funkcji oraz<br>A. 𝐴(𝑥) = -(𝑥-3)2 + 2<br>B. 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 2<br>C. 𝐶(𝑥) = -5(𝑥-2)2<br>D. 𝐷(𝑥) = (𝑥-2)2<br>E. 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 10<br>F. 𝐹(𝑥) = -2𝑥2 + 4𝑥</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Funkcje A, B, C, D, E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x. Wzory tych funkcji podano poniżej. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Przedział (-∞,2&gt; jest zbiorem wartości funkcji ......... oraz .......... . A. A(x)=-(x-3)²+2 B. B(x)=x²+2 C. C(x)=-5(x-2)² D. D(x)=(x-2)² E. E(x)=2x²-8x+10 F. F(x)=-2x²+4x</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.<br>1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna.<br>0 pkt - odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>AF</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(a_3 = -16\\)</h4>\n<blockquote><strong>Interpretacja wzoru:</strong> Na podstawie zapisu zadania wzór ciągu to \\(a_n = (-1)^n \\cdot 2^{n+1}\\).</blockquote>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 3\\) wprost do wzoru</h4>\n<p>Szukamy <strong>trzeciego wyrazu</strong>, czyli podstawiamy \\(n = 3\\):</p>\n<p>\\[a_3 = (-1)^3 \\cdot 2^{3+1}\\]</p>\n<p>Liczymy każdy czynnik osobno:</p>\n<p>\\[(-1)^3 = -1\\]</p>\n<p>\\[2^{3+1} = 2^4 = 16\\]</p>\n<p>Łączymy:</p>\n<p>\\[a_3 = (-1) \\cdot 16 = \\boxed{-16}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wypisanie pierwszych wyrazów i sprawdzenie wzorca</h4>\n<p>Obliczamy kilka wyrazów, żeby zrozumieć ciąg i zweryfikować wynik:</p>\n<p>| \\(n\\) | \\((-1)^n\\) | \\(2^{n+1}\\) | \\(a_n\\) |<br>| 1 | \\(-1\\) | \\(2^2 = 4\\) | \\(-4\\) |<br>| 2 | \\(+1\\) | \\(2^3 = 8\\) | \\(+8\\) |<br>| 3 | \\(-1\\) | \\(2^4 = 16\\) | \\(-16\\) |<br>| 4 | \\(+1\\) | \\(2^5 = 32\\) | \\(+32\\) |</p>\n<p>Widzimy wyraźny wzorzec:</p>\n<ul><li>wyrazy nieparzyste są <strong>ujemne</strong> (czynnik \\((-1)^n = -1\\)),</li><li>wyrazy parzyste są <strong>dodatnie</strong>,</li><li>wartości bezwzględne: 4, 8, 16, 32, … - ciąg geometryczny z ilorazem \\(q = 2\\).</li></ul>\n<p>Trzeci wyraz to \\(\\mathbf{-16}\\) - zgodnie z Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - reguła potęgowania:<br>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]<br>Użyliśmy jej przy obliczaniu \\(2^{3+1} = 2^4 = 16\\).</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - ciąg geometryczny (pomocniczo):<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Wartości bezwzględne \\(|a_n| = 4, 8, 16, \\ldots\\) tworzą ciąg geometryczny z \\(a_1 = 4\\) i \\(q = 2\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((-1)^3 = -1\\), <strong>nie</strong> \\(-3\\)! Potęgowanie \\((-1)^n\\) daje zawsze \\(+1\\) lub \\(-1\\) - tylko decyduje o znaku wyrazu, nie o jego wartości bezwzględnej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wykładnik potęgi dwójki to \\(n+1\\), <strong>nie</strong> \\(n\\). Dla \\(n = 3\\) mamy \\(2^{4} = 16\\), a nie \\(2^3 = 8\\). Pomylenie \\(n\\) z \\(n+1\\) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdź, od jakiego \\(n\\) zaczyna się ciąg - tutaj \\(n \\geq 1\\), więc wyraz trzeci to \\(a_3\\) (nie \\(a_2\\) ani \\(a_4\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\\\(-2\\\\)</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Ciąg określony wzorem: \\\\(a_n = (-1)^n \\\\cdot \\\\frac{n+1}{2}\\\\)</p>\n<p>Obliczamy trzeci wyraz (\\\\(n = 3\\\\)):<br>\\\\[a_3 = (-1)^3 \\\\cdot \\\\frac{3+1}{2} = (-1) \\\\cdot \\\\frac{4}{2} = (-1) \\\\cdot 2 = -2\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Szukamy funkcji, których zbiorem wartości jest</p>\n<p>(-∞,2].</p>\n<p>Dla funkcji A mamy od razu postać wierzchołkową:</p>\n<p>A(x)=-(x-3)^2+2.</p>\n<p>Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek ma współrzędne</p>\n<p>(p,q)=(3,2).</p>\n<p>Największą wartością funkcji jest więc 2 .</p>\n<p>Dla funkcji F:</p>\n<p>F(x)=-2x^2+4x.</p>\n<p>Wyznaczamy współrzędne wierzchołka:</p>\n<p>p=-(b)/(2a)=-(4)/(2·(-2))=1.</p>\n<p>Następnie</p>\n<p>q=F(1)=-2·1^2+4·1=2.</p>\n<p>Parabola jest skierowana ramionami w dół, ponieważ a=-2&lt;0 , a jej największa wartość wynosi 2 .</p>\n<p>Poprawne odpowiedzi to A i F.</p>"}]}