{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (-1)𝑛⋅𝑛+1\n2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzeci wyraz tego ciągu jest równy\nA. 2\nB. (-2)\nC. 3\nD. (-1)\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n ⋅ n+1/2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy A. 2 B. (-2) C. 3 D. (-1)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\frac{5}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i obliczenie sumy\n\n**Krok 1: Wyznaczymy iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nW ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz = poprzedni · iloraz \\(q\\). Znamy pierwsze dwa wyrazy:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy brakujące wyrazy.**\n\n\\[x = a_3 = a_2 \\cdot q = 1 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -\\frac{1}{2}\\]\n\n\\[y = a_4 = a_3 \\cdot q = \\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{4}\\]\n\nCiąg to: \\(\\left(-2,\\ 1,\\ -\\frac{1}{2},\\ \\frac{1}{4}\\right)\\)\n\n**Krok 3: Sumujemy wszystkie wyrazy.**\n\n\\[S_4 = -2 + 1 + \\left(-\\frac{1}{2}\\right) + \\frac{1}{4}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(4\\):\n\n\\[S_4 = \\frac{-8}{4} + \\frac{4}{4} + \\frac{-2}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{-8 + 4 - 2 + 1}{4} = \\frac{-5}{4}\\]\n\n**Suma ciągu wynosi \\(\\boldsymbol{-\\frac{5}{4}}\\).**\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego\n\nZe wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dział 8, karta CKE):\n\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\n\nPodstawiamy: \\(a_1 = -2\\), \\(q = -\\frac{1}{2}\\), \\(n = 4\\):\n\n\\[S_4 = -2 \\cdot \\frac{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^4}{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = -2 \\cdot \\frac{1 - \\frac{1}{16}}{1 + \\frac{1}{2}}\\]\n\n\\[= -2 \\cdot \\frac{\\frac{15}{16}}{\\frac{3}{2}} = -2 \\cdot \\frac{15}{16} \\cdot \\frac{2}{3} = -2 \\cdot \\frac{30}{48} = -2 \\cdot \\frac{5}{8} = -\\frac{10}{8} = -\\frac{5}{4}\\]\n\nWynik zgodny: **\\(S_4 = -\\frac{5}{4}\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(x = a_3\\) i \\(y = a_4\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad (q \\neq 1)\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu to \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1}{-2}\\), a **nie** \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). Pomylenie kolejności daje \\(q = -2\\), co prowadzi do błędnego ciągu \\((-2, 1, -2, 4)\\) - ale ten nie jest geometryczny, bo \\(\\frac{-2}{1} \\neq \\frac{1}{-2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz jest ujemny (\\(q = -\\frac{1}{2}\\)), więc wyrazy na przemian zmieniają znak. Łatwo tu zgubić minus przy \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sumowaniu ułamków z różnymi mianownikami - zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika lub korzystaj ze wzoru sumy. Błędy rachunkowe na tym etapie są najczęstszą przyczyną złej odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(-\\\\frac{5}{4}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCiąg geometryczny: \\\\((-2, \\\\ 1, \\\\ x, \\\\ y)\\\\)\n\nIloraz ciągu:\n\\\\[q = \\\\frac{1}{-2} = -\\\\frac{1}{2}\\\\]\n\nKolejne wyrazy:\n\\\\[x = 1 \\\\cdot \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) = -\\\\frac{1}{2}\\\\]\n\\\\[y = -\\\\frac{1}{2} \\\\cdot \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) = \\\\frac{1}{4}\\\\]\n\nSuma wszystkich wyrazów:\n\\\\[S = -2 + 1 + \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) + \\\\frac{1}{4} = -2 + 1 - \\\\frac{1}{2} + \\\\frac{1}{4}\\\\]\n\\\\[= -\\\\frac{8}{4} + \\\\frac{4}{4} - \\\\frac{2}{4} + \\\\frac{1}{4} = \\\\frac{-8+4-2+1}{4} = -\\\\frac{5}{4}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg geometryczny: \\\\(a_n = a_1 \\\\cdot q^{n-1}\\\\); iloraz \\\\(q = \\\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (-1)𝑛⋅𝑛+1
2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A. 2
B. (-2)
C. 3
D. (-1)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n ⋅ n+1/2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy A. 2 B. (-2) C. 3 D. (-1)

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(-\\frac{5}{4}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i obliczenie sumy

\n

Krok 1: Wyznaczymy iloraz ciągu geometrycznego.

\n

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz = poprzedni · iloraz \\(q\\). Znamy pierwsze dwa wyrazy:
\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy brakujące wyrazy.

\n

\\[x = a_3 = a_2 \\cdot q = 1 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -\\frac{1}{2}\\]

\n

\\[y = a_4 = a_3 \\cdot q = \\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{4}\\]

\n

Ciąg to: \\(\\left(-2,\\ 1,\\ -\\frac{1}{2},\\ \\frac{1}{4}\\right)\\)

\n

Krok 3: Sumujemy wszystkie wyrazy.

\n

\\[S_4 = -2 + 1 + \\left(-\\frac{1}{2}\\right) + \\frac{1}{4}\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(4\\):

\n

\\[S_4 = \\frac{-8}{4} + \\frac{4}{4} + \\frac{-2}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{-8 + 4 - 2 + 1}{4} = \\frac{-5}{4}\\]

\n

Suma ciągu wynosi \\(\\boldsymbol{-\\frac{5}{4}}\\).

\n

Sposób 2 - Wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego

\n

Ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dział 8, karta CKE):

\n

\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]

\n

Podstawiamy: \\(a_1 = -2\\), \\(q = -\\frac{1}{2}\\), \\(n = 4\\):

\n

\\[S_4 = -2 \\cdot \\frac{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^4}{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = -2 \\cdot \\frac{1 - \\frac{1}{16}}{1 + \\frac{1}{2}}\\]

\n

\\[= -2 \\cdot \\frac{\\frac{15}{16}}{\\frac{3}{2}} = -2 \\cdot \\frac{15}{16} \\cdot \\frac{2}{3} = -2 \\cdot \\frac{30}{48} = -2 \\cdot \\frac{5}{8} = -\\frac{10}{8} = -\\frac{5}{4}\\]

\n

Wynik zgodny: \\(S_4 = -\\frac{5}{4}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(x = a_3\\) i \\(y = a_4\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:
\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad (q \\neq 1)\\]
Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu to \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1}{-2}\\), a nie \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). Pomylenie kolejności daje \\(q = -2\\), co prowadzi do błędnego ciągu \\((-2, 1, -2, 4)\\) - ale ten nie jest geometryczny, bo \\(\\frac{-2}{1} \\neq \\frac{1}{-2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Iloraz jest ujemny (\\(q = -\\frac{1}{2}\\)), więc wyrazy na przemian zmieniają znak. Łatwo tu zgubić minus przy \\(a_3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy sumowaniu ułamków z różnymi mianownikami - zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika lub korzystaj ze wzoru sumy. Błędy rachunkowe na tym etapie są najczęstszą przyczyną złej odpowiedzi.
\n

Poprawna odpowiedź: \\\\(-\\\\frac{5}{4}\\\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Ciąg geometryczny: \\\\((-2, \\\\ 1, \\\\ x, \\\\ y)\\\\)

\n

Iloraz ciągu:
\\\\[q = \\\\frac{1}{-2} = -\\\\frac{1}{2}\\\\]

\n

Kolejne wyrazy:
\\\\[x = 1 \\\\cdot \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) = -\\\\frac{1}{2}\\\\]
\\\\[y = -\\\\frac{1}{2} \\\\cdot \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) = \\\\frac{1}{4}\\\\]

\n

Suma wszystkich wyrazów:
\\\\[S = -2 + 1 + \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) + \\\\frac{1}{4} = -2 + 1 - \\\\frac{1}{2} + \\\\frac{1}{4}\\\\]
\\\\[= -\\\\frac{8}{4} + \\\\frac{4}{4} - \\\\frac{2}{4} + \\\\frac{1}{4} = \\\\frac{-8+4-2+1}{4} = -\\\\frac{5}{4}\\\\]

\n

Użyte wzory z karty CKE: Ciąg geometryczny: \\\\(a_n = a_1 \\\\cdot q^{n-1}\\\\); iloraz \\\\(q = \\\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zapisujemy wzór ciągu. Wzór ciągu jest zadany jako: $$ a_n = (-1)^n \\cdot \\frac{n+1}{2} $$ dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.\\\\
\n
  1. Podstawiamy wartość $n = 3$, aby obliczyć trzeci wyraz ciągu. Zapisujemy to tak: $$ a_3 = (-1)^3 \\cdot \\frac{3+1}{2} $$\\\\
\n
  1. Obliczamy wartość potęgi $(-1)^3$. Wartość ta wynosi: $$ (-1)^3 = -1 $$\\\\
\n
  1. Zapisujemy równanie z obliczoną wartością potęgi: $$ a_3 = -1 \\cdot \\frac{3+1}{2} $$\\\\
\n
  1. Obliczamy wyrażenie w liczniku: $3 + 1 = 4$. Zapisujemy: $$ a_3 = -1 \\cdot \\frac{4}{2} $$\\\\
\n
  1. Obliczamy wartość ułamka $\\frac{4}{2} = 2$. Teraz możemy zapisać: $$ a_3 = -1 \\cdot 2 $$\\\\
\n
  1. W końcu, mnożymy $-1$ przez $2$: $$ a_3 = -2 $$\\\\
\n

Odpowiedź: trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-2)$, więc poprawna odpowiedź to B.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

a_3=(-1)^3·(3+1)/(2)=-1·2=-2.

"}]}