{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Pierwszy\nwyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1\n2).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWyraz 𝑎2023 jest liczbą ujemną.\nP\nF\nRóżnica 𝑎3 -𝑎2 jest równa 96.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1/2). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wyraz a_{2023} jest liczbą ujemną. P F Różnica a_3-a_2 jest równa 96. P F","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nObwód wycinka koła wynosi \\(\\frac{\\pi}{2} + 6\\).\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów\n\n**Obwód wycinka koła** składa się z dwóch elementów:\n- dwóch promieni (dwa boki wycinka)\n- łuku (fragmentu okręgu)\n\n**Dane:** \\(r = 3\\), \\(\\alpha = 30°\\)\n\n**Krok 1 - długość łuku:**\n\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r = \\frac{30°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3\\]\n\n\\[L = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{6\\pi}{12} = \\frac{\\pi}{2}\\]\n\n**Krok 2 - dwa promienie:**\n\n\\[2r = 2 \\cdot 3 = 6\\]\n\n**Krok 3 - obwód wycinka:**\n\n\\[O = L + 2r = \\frac{\\pi}{2} + 6\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez proporcję\n\nPełny obwód koła wynosi \\(2\\pi r = 6\\pi\\). Wycinek \\(30°\\) to \\(\\frac{30}{360} = \\frac{1}{12}\\) pełnego koła.\n\nZatem sam łuk:\n\\[L = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{\\pi}{2}\\]\n\nDo tego doliczamy dwa promienie (granice wycinka), które **nie skalują się** z kątem - zawsze wynoszą \\(2r = 6\\).\n\n\\[O = \\frac{\\pi}{2} + 6\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - długość łuku wycinka kołowego:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do obliczenia długości łuku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| A | \\(\\frac{3}{4}\\pi\\) | Pomnożono \\(\\frac{30}{360} \\cdot 2\\pi r\\) i zapomniano o dodaniu dwóch promieni; do tego błąd w obliczeniu łuku (\\(\\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi\\)) |\n| B | \\(\\frac{1}{4}\\pi\\) | Pominięto oba promienie (\\(2r = 6\\)); obliczono tylko łuk, ale z błędem (np. wzięto \\(r=1\\)) |\n| C | \\(\\frac{3}{4}\\pi + 6\\) | Dodano promienie poprawnie, ale błędnie obliczono łuk: \\(\\frac{30}{360} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 \\neq \\frac{3\\pi}{4}\\) (typowe \\(\\times\\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód wycinka ≠ sam łuk! Uczniowie często zapominają doliczyć **dwa promienie** (\\(2r = 6\\)). Wycinając kawałek pizzy - jego obwód to nie tylko skórka, ale też dwa boki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30° = \\frac{1}{12}\\) pełnego obrotu (\\(360°\\)), nie \\(\\frac{1}{6}\\) ani \\(\\frac{1}{3}\\) - łatwo się pomylić przy upraszczaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **obwodu** wycinka z jego **polem**. Pole wycinka \\(= \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot \\pi r^2 = \\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi = \\frac{3\\pi}{4}\\) - to jest co innego!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nKoło o promieniu \\\\(r = 3\\\\), kąt środkowy \\\\(\\\\alpha = 30°\\\\).\n\n**Obwód wycinka** = długość łuku + 2 promienie.\n\nDługość łuku:\n\\\\[L = \\\\frac{\\\\alpha}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi r = \\\\frac{30°}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi \\\\cdot 3 = \\\\frac{1}{12} \\\\cdot 6\\\\pi = \\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\]\n\nObwód wycinka:\n\\\\[O = L + 2r = \\\\frac{\\\\pi}{2} + 2 \\\\cdot 3 = \\\\frac{\\\\pi}{2} + 6\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Długość łuku \\\\(L = \\\\frac{\\\\alpha}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi r\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{3\\\\pi}{4}\\\\) - błędna długość łuku, brak promieni\n- B. \\\\(\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\) - to tylko długość łuku, brakuje \\\\(2r\\\\)\n- C. \\\\(\\\\frac{3\\\\pi}{4} + 6\\\\) - błędnie obliczona długość łuku","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Dany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Pierwszy<br>wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1<br>2).<br>Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest<br>prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.<br>Wyraz 𝑎2023 jest liczbą ujemną.<br>P<br>F<br>Różnica 𝑎3 -𝑎2 jest równa 96.<br>P<br>F</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1/2). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wyraz a_{2023} jest liczbą ujemną. P F Różnica a_3-a_2 jest równa 96. P F</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>FP</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Obwód wycinka koła wynosi \\(\\frac{\\pi}{2} + 6\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów</h4>\n<p><strong>Obwód wycinka koła</strong> składa się z dwóch elementów:</p>\n<ul><li>dwóch promieni (dwa boki wycinka)</li><li>łuku (fragmentu okręgu)</li></ul>\n<p><strong>Dane:</strong> \\(r = 3\\), \\(\\alpha = 30°\\)</p>\n<p><strong>Krok 1 - długość łuku:</strong></p>\n<p>\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r = \\frac{30°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3\\]</p>\n<p>\\[L = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{6\\pi}{12} = \\frac{\\pi}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - dwa promienie:</strong></p>\n<p>\\[2r = 2 \\cdot 3 = 6\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - obwód wycinka:</strong></p>\n<p>\\[O = L + 2r = \\frac{\\pi}{2} + 6\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez proporcję</h4>\n<p>Pełny obwód koła wynosi \\(2\\pi r = 6\\pi\\). Wycinek \\(30°\\) to \\(\\frac{30}{360} = \\frac{1}{12}\\) pełnego koła.</p>\n<p>Zatem sam łuk:<br>\\[L = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{\\pi}{2}\\]</p>\n<p>Do tego doliczamy dwa promienie (granice wycinka), które <strong>nie skalują się</strong> z kątem - zawsze wynoszą \\(2r = 6\\).</p>\n<p>\\[O = \\frac{\\pi}{2} + 6\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - długość łuku wycinka kołowego:<br>\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do obliczenia długości łuku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Błąd |<br>| A | \\(\\frac{3}{4}\\pi\\) | Pomnożono \\(\\frac{30}{360} \\cdot 2\\pi r\\) i zapomniano o dodaniu dwóch promieni; do tego błąd w obliczeniu łuku (\\(\\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi\\)) |<br>| B | \\(\\frac{1}{4}\\pi\\) | Pominięto oba promienie (\\(2r = 6\\)); obliczono tylko łuk, ale z błędem (np. wzięto \\(r=1\\)) |<br>| C | \\(\\frac{3}{4}\\pi + 6\\) | Dodano promienie poprawnie, ale błędnie obliczono łuk: \\(\\frac{30}{360} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 \\neq \\frac{3\\pi}{4}\\) (typowe \\(\\times\\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obwód wycinka ≠ sam łuk! Uczniowie często zapominają doliczyć <strong>dwa promienie</strong> (\\(2r = 6\\)). Wycinając kawałek pizzy - jego obwód to nie tylko skórka, ale też dwa boki!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(30° = \\frac{1}{12}\\) pełnego obrotu (\\(360°\\)), nie \\(\\frac{1}{6}\\) ani \\(\\frac{1}{3}\\) - łatwo się pomylić przy upraszczaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić <strong>obwodu</strong> wycinka z jego <strong>polem</strong>. Pole wycinka \\(= \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot \\pi r^2 = \\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi = \\frac{3\\pi}{4}\\) - to jest co innego!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Koło o promieniu \\\\(r = 3\\\\), kąt środkowy \\\\(\\\\alpha = 30°\\\\).</p>\n<p><strong>Obwód wycinka</strong> = długość łuku + 2 promienie.</p>\n<p>Długość łuku:<br>\\\\[L = \\\\frac{\\\\alpha}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi r = \\\\frac{30°}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi \\\\cdot 3 = \\\\frac{1}{12} \\\\cdot 6\\\\pi = \\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\]</p>\n<p>Obwód wycinka:<br>\\\\[O = L + 2r = \\\\frac{\\\\pi}{2} + 2 \\\\cdot 3 = \\\\frac{\\\\pi}{2} + 6\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Długość łuku \\\\(L = \\\\frac{\\\\alpha}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi r\\\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(\\\\frac{3\\\\pi}{4}\\\\) - błędna długość łuku, brak promieni</li><li>B. \\\\(\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\) - to tylko długość łuku, brakuje \\\\(2r\\\\)</li><li>C. \\\\(\\\\frac{3\\\\pi}{4} + 6\\\\) - błędnie obliczona długość łuku</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Mamy a_n=128 (-(1)/(2) )^n-1 . Ponieważ 2023-1=2022 jest parzyste, a_2023&gt;0 , więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponadto</p>\n<p>a_2=-64, a_3=32,</p>\n<p>więc</p>\n<p>a_3-a_2=32-(-64)=96.</p>\n<p>Drugie zdanie jest prawdziwe.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>FP</p>"}]}