{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-2)\nCi膮g (3饾懃2 + 5饾懃, 饾懃2, 20 -饾懃2) jest arytmetyczny.\nOblicz 饾挋. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nCi膮g (3x^2+5x,x^2,20-x^2) jest arytmetyczny. Oblicz x.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 饾懃= -4.\n1 pkt - zastosowanie w艂asno艣ci/definicji ci膮gu arytmetycznego i zapisanie r贸wnania\n3饾懃2+5饾懃+20-饾懃2\n2\n= 饾懃2 lub 饾懃2 -(3饾懃2 + 5饾懃) = (20 -饾懃2) -饾懃2.\n0 pkt - rozwi膮zanie, w kt贸rym zastosowano niepoprawn膮 metod臋, albo brak rozwi膮zania.\nUwagi:\n1. Je偶eli zdaj膮cy myli ci膮g arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punkt贸w za ca艂e\nrozwi膮zanie, o ile nie naby艂 prawa do innej liczby punkt贸w.\n2. Je偶eli zdaj膮cy zapisze r贸wnanie 饾懃2 -3饾懃2 + 5饾懃= (20 -饾懃2) -饾懃2 (tj. nie uwzgl臋dnia\nistotnego nawiasu) i rozwi膮偶e je konsekwentnie do ko艅ca, to otrzymuje 1 punkt za ca艂e\nrozwi膮zanie.\nPrzyk艂adowe pe艂ne rozwi膮zania\nSpos贸b I\nZ w艂asno艣ci ci膮gu arytmetycznego otrzymujemy\n3饾懃2 + 5饾懃+ 20 -饾懃2\n2\n= 饾懃2\n2饾懃2 + 5饾懃+ 20 = 2饾懃2\n饾懃= -4\nSpos贸b II\nZ definicji/w艂asno艣ci ci膮gu arytmetycznego otrzymujemy\n饾懃2 -(3饾懃2 + 5饾懃) = (20 -饾懃2) -饾懃2\nSt膮d\n-2饾懃2 -5饾懃= 20 -2饾懃2\n饾懃= -4","solution":"## Poprawna odpowied藕: B - \\(\\frac{5}{7}\\)\n\n## Spos贸b 1 - Jedynka trygonometryczna\n\nKorzystamy z to偶samo艣ci \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), 偶eby wyrazi膰 sinus przez cosinus.\n\n**Podstawiamy znany cosinus:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{6}}{7} \\implies \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 = \\frac{4 \\cdot 6}{49} = \\frac{24}{49}\\]\n\n**Wyznaczamy sin虏伪:**\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]\n\n**Wyci膮gamy pierwiastek:**\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\frac{5}{7}\\]\n\nPoniewa偶 \\(\\alpha\\) jest k膮tem ostrym (\\(\\alpha \\in (0掳, 90掳)\\)), sinus jest **dodatni**, wi臋c odrzucamy rozwi膮zanie ujemne.\n\n**Odpowied藕: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)**\n\n## Spos贸b 2 - Weryfikacja przez tr贸jk膮t prostok膮tny\n\nInterpretujemy geometrycznie: k膮t \\(\\alpha\\) le偶y w tr贸jk膮cie prostok膮tnym, gdzie:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyleg艂a}}{\\text{przeciwprostok膮tna}} = \\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\]\n\nNiech przyleg艂a \\(= 2\\sqrt{6}\\), przeciwprostok膮tna \\(= 7\\). Szukamy przeciwleg艂ej \\(a\\):\n\n**Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25 \\implies a = 5\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwleg艂a}}{\\text{przeciwprostok膮tna}} = \\frac{5}{7} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzia艂 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nU偶yli艣my jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin^2\\alpha\\) ze znanego \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dzia艂 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nU偶yli艣my w Sposobie 2 do znalezienia brakuj膮cego boku tr贸jk膮ta prostok膮tnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n\n| Odp. | B艂膮d |\n| A - \\(\\frac{24}{49}\\) | To warto艣膰 \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\). Ucze艅 policzy艂 \\(\\cos^2\\alpha\\) i poda艂 to jako wynik, zamiast odj膮膰 od 1 i spierwiastkowa膰. |\n| C - \\(\\frac{25}{49}\\) | To warto艣膰 \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\). Zapomniano wyci膮gn膮膰 pierwiastek kwadratowy z \\(\\frac{25}{49}\\). |\n| D - \\(\\frac{\\sqrt{6}}{7}\\) | B艂臋dne - to warto艣膰 \\(\\frac{1}{2}\\cos\\alpha\\). Nie ma zwi膮zku z poprawnym rachunkiem; mo偶e wynika膰 z pr贸by 鈥瀠proszczenia\" cosinus przez 2. |\n\n## Typowe pu艂apki i uwagi\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Nie myli膰 \\(\\sin^2\\alpha\\) z \\(\\sin\\alpha\\)! Odpowied藕 C to w艂a艣nie \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{25}{49}\\) - trzeba koniecznie **wyci膮gn膮膰 pierwiastek**.\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2\\) pami臋taj, 偶e pot臋gujemy **ca艂y licznik**: \\((2\\sqrt{6})^2 = 4 \\cdot 6 = 24\\), a nie \\(2 \\cdot 6 = 12\\).\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Warunek 鈥瀔膮t ostry\" jest kluczowy - gwarantuje, 偶e \\(\\sin\\alpha > 0\\), wi臋c bierzemy tylko dodatni pierwiastek. Bez tego warunku by艂yby dwa rozwi膮zania: \\(\\pm\\frac{5}{7}\\).\n\n**Poprawna odpowied藕: B**\n\n**Rozwi膮zanie:**\n\nDane: \\\\(\\\\cos \\\\alpha = \\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\), k膮t \\\\(\\\\alpha\\\\) jest ostry.\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\\\[\\\\sin^2 \\\\alpha + \\\\cos^2 \\\\alpha = 1\\\\]\n\\\\[\\\\sin^2 \\\\alpha = 1 - \\\\cos^2 \\\\alpha = 1 - \\\\left(\\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\right)^2 = 1 - \\\\frac{24}{49} = \\\\frac{25}{49}\\\\]\n\nPoniewa偶 \\\\(\\\\alpha\\\\) jest ostry (\\\\(\\\\sin \\\\alpha > 0\\\\)):\n\\\\[\\\\sin \\\\alpha = \\\\frac{5}{7}\\\\]\n\n**U偶yte wzory z karty CKE:** Jedynka trygonometryczna: \\\\(\\\\sin^2\\\\alpha + \\\\cos^2\\\\alpha = 1\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{\\\\sqrt{24}}{7} = \\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\) - to warto艣膰 cosinusa, nie sinusa\n- C. \\\\(\\\\frac{\\\\sqrt{25}}{7} = \\\\frac{5}{7}\\\\) - ta sama warto艣膰 co B, ale je艣li podana w innej formie, to jest poprawna; jednak typowa odpowied藕 maturalna to \\\\(\\\\frac{5}{7}\\\\)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ci膮g arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka 路 Inne 路 sierpie艅 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 18. (0-2)
Ci膮g (3饾懃2 + 5饾懃, 饾懃2, 20 -饾懃2) jest arytmetyczny.
Oblicz 饾挋. Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-P0_100
Ci膮g (3x^2+5x,x^2,20-x^2) jest arytmetyczny. Oblicz x.

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-2)
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 饾懃= -4.
1 pkt - zastosowanie w艂asno艣ci/definicji ci膮gu arytmetycznego i zapisanie r贸wnania
3饾懃2+5饾懃+20-饾懃2
2
= 饾懃2 lub 饾懃2 -(3饾懃2 + 5饾懃) = (20 -饾懃2) -饾懃2.
0 pkt - rozwi膮zanie, w kt贸rym zastosowano niepoprawn膮 metod臋, albo brak rozwi膮zania.
Uwagi:

\n
  1. Je偶eli zdaj膮cy myli ci膮g arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punkt贸w za ca艂e
\n

rozwi膮zanie, o ile nie naby艂 prawa do innej liczby punkt贸w.

\n
  1. Je偶eli zdaj膮cy zapisze r贸wnanie 饾懃2 -3饾懃2 + 5饾懃= (20 -饾懃2) -饾懃2 (tj. nie uwzgl臋dnia
\n

istotnego nawiasu) i rozwi膮偶e je konsekwentnie do ko艅ca, to otrzymuje 1 punkt za ca艂e
rozwi膮zanie.
Przyk艂adowe pe艂ne rozwi膮zania
Spos贸b I
Z w艂asno艣ci ci膮gu arytmetycznego otrzymujemy
3饾懃2 + 5饾懃+ 20 -饾懃2
2
= 饾懃2
2饾懃2 + 5饾懃+ 20 = 2饾懃2
饾懃= -4
Spos贸b II
Z definicji/w艂asno艣ci ci膮gu arytmetycznego otrzymujemy
饾懃2 -(3饾懃2 + 5饾懃) = (20 -饾懃2) -饾懃2
St膮d
-2饾懃2 -5饾懃= 20 -2饾懃2
饾懃= -4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowied藕: B - \\(\\frac{5}{7}\\)

\n

Spos贸b 1 - Jedynka trygonometryczna

\n

Korzystamy z to偶samo艣ci \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), 偶eby wyrazi膰 sinus przez cosinus.

\n

Podstawiamy znany cosinus:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{6}}{7} \\implies \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 = \\frac{4 \\cdot 6}{49} = \\frac{24}{49}\\]

\n

Wyznaczamy sin虏伪:
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]

\n

Wyci膮gamy pierwiastek:
\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\frac{5}{7}\\]

\n

Poniewa偶 \\(\\alpha\\) jest k膮tem ostrym (\\(\\alpha \\in (0掳, 90掳)\\)), sinus jest dodatni, wi臋c odrzucamy rozwi膮zanie ujemne.

\n

Odpowied藕: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)

\n

Spos贸b 2 - Weryfikacja przez tr贸jk膮t prostok膮tny

\n

Interpretujemy geometrycznie: k膮t \\(\\alpha\\) le偶y w tr贸jk膮cie prostok膮tnym, gdzie:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyleg艂a}}{\\text{przeciwprostok膮tna}} = \\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\]

\n

Niech przyleg艂a \\(= 2\\sqrt{6}\\), przeciwprostok膮tna \\(= 7\\). Szukamy przeciwleg艂ej \\(a\\):

\n

Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25 \\implies a = 5\\]

\n

Zatem:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwleg艂a}}{\\text{przeciwprostok膮tna}} = \\frac{5}{7} \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dzia艂 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
U偶yli艣my jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin^2\\alpha\\) ze znanego \\(\\cos\\alpha\\).

\n

Dzia艂 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
U偶yli艣my w Sposobie 2 do znalezienia brakuj膮cego boku tr贸jk膮ta prostok膮tnego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne

\n

| Odp. | B艂膮d |
| A - \\(\\frac{24}{49}\\) | To warto艣膰 \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\). Ucze艅 policzy艂 \\(\\cos^2\\alpha\\) i poda艂 to jako wynik, zamiast odj膮膰 od 1 i spierwiastkowa膰. |
| C - \\(\\frac{25}{49}\\) | To warto艣膰 \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\). Zapomniano wyci膮gn膮膰 pierwiastek kwadratowy z \\(\\frac{25}{49}\\). |
| D - \\(\\frac{\\sqrt{6}}{7}\\) | B艂臋dne - to warto艣膰 \\(\\frac{1}{2}\\cos\\alpha\\). Nie ma zwi膮zku z poprawnym rachunkiem; mo偶e wynika膰 z pr贸by 鈥瀠proszczenia" cosinus przez 2. |

\n

Typowe pu艂apki i uwagi

\n
鈿狅笍 Uwaga: Nie myli膰 \\(\\sin^2\\alpha\\) z \\(\\sin\\alpha\\)! Odpowied藕 C to w艂a艣nie \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{25}{49}\\) - trzeba koniecznie wyci膮gn膮膰 pierwiastek.
\n
鈿狅笍 Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2\\) pami臋taj, 偶e pot臋gujemy ca艂y licznik: \\((2\\sqrt{6})^2 = 4 \\cdot 6 = 24\\), a nie \\(2 \\cdot 6 = 12\\).
\n
鈿狅笍 Uwaga: Warunek 鈥瀔膮t ostry" jest kluczowy - gwarantuje, 偶e \\(\\sin\\alpha > 0\\), wi臋c bierzemy tylko dodatni pierwiastek. Bez tego warunku by艂yby dwa rozwi膮zania: \\(\\pm\\frac{5}{7}\\).
\n

Poprawna odpowied藕: B

\n

Rozwi膮zanie:

\n

Dane: \\\\(\\\\cos \\\\alpha = \\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\), k膮t \\\\(\\\\alpha\\\\) jest ostry.

\n

Z jedynki trygonometrycznej:
\\\\[\\\\sin^2 \\\\alpha + \\\\cos^2 \\\\alpha = 1\\\\]
\\\\[\\\\sin^2 \\\\alpha = 1 - \\\\cos^2 \\\\alpha = 1 - \\\\left(\\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\right)^2 = 1 - \\\\frac{24}{49} = \\\\frac{25}{49}\\\\]

\n

Poniewa偶 \\\\(\\\\alpha\\\\) jest ostry (\\\\(\\\\sin \\\\alpha > 0\\\\)):
\\\\[\\\\sin \\\\alpha = \\\\frac{5}{7}\\\\]

\n

U偶yte wzory z karty CKE: Jedynka trygonometryczna: \\\\(\\\\sin^2\\\\alpha + \\\\cos^2\\\\alpha = 1\\\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne:

\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Przyjmujemy, 偶e mamy ci膮g arytmetyczny \\((3x^2 + 5x, x^2, 20 - x^2)\\). Dla ci膮gu arytmetycznego zachodzi warunek, 偶e 艣rednia arytmetyczna dw贸ch skrajnych wyraz贸w r贸wna si臋 艣rodkowemu. Mo偶emy to zapisa膰 jako:
\n

$$\\frac{(3x^2 + 5x) + (20 - x^2)}{2} = x^2$$

\n
  1. Zapisujemy r贸wnanie zwi膮zane z ci膮giem arytmetycznym:
\n

$$\\frac{3x^2 + 5x + 20 - x^2}{2} = x^2$$

\n
  1. Mno偶ymy obie strony r贸wnania przez 2, aby pozby膰 si臋 u艂amka:
\n

$$3x^2 + 5x + 20 - x^2 = 2x^2$$

\n
  1. Upraszczamy lew膮 stron臋 r贸wnania:
\n

$$3x^2 - x^2 + 5x + 20 = 2x^2$$
co daje:
$$2x^2 + 5x + 20 = 2x^2$$

\n
  1. Odejmujemy \\(2x^2\\) od obu stron r贸wnania:
\n

$$2x^2 + 5x + 20 - 2x^2 = 0$$
co upraszcza si臋 do:
$$5x + 20 = 0$$

\n
  1. Rozwi膮zujemy r贸wnanie dla \\(x\\):
\n

$$5x = -20$$

\n
  1. Dzielimy przez 5:
\n

$$x = -4$$

\n

Odpowied藕: $x = -4$

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

W ci膮gu arytmetycznym wyraz 艣rodkowy jest 艣redni膮 arytmetyczn膮 skrajnych:

\n

2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2).

\n

Po uproszczeniu:

\n

2x^2=2x^2+5x+20,

\n

5x+20=0, x=-4.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -4$

"}]}