{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i cos 𝛼= 2√6\n7 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSinus kąta 𝛼 jest równy\nA. 24\n49\nB. 5\n7\nC. 25\n49\nD.\n√6\n7\nKąt α jest ostry i cosα = 2√6/7. Sinus kąta α jest równy A. 24/49 B. 5/7 C. 25/49 D. √6/7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(80°\\)\n\n## Sposób 1 - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Co wiemy z geometrii koła:**\n\nKąt środkowy jest **dwa razy większy** od kąta wpisanego, jeśli oba są oparte na tym samym łuku. Zatem:\n\n\\[\\beta = 2\\alpha\\]\n\n**Warunek z treści zadania:**\n\nKąt \\(\\beta\\) jest o \\(40°\\) większy od kąta \\(\\alpha\\), czyli:\n\n\\[\\beta = \\alpha + 40°\\]\n\n**Układamy układ równań i rozwiązujemy:**\n\n\\[\\begin{cases} \\beta = 2\\alpha \\\\ \\beta = \\alpha + 40° \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy pierwsze równanie do drugiego:\n\n\\[2\\alpha = \\alpha + 40°\\]\n\n\\[\\alpha = 40°\\]\n\n\\[\\beta = 2\\alpha = 2 \\cdot 40° = \\mathbf{80°}\\]\n\n## Sposób 2 - oznaczenie przez \\(\\beta\\) i weryfikacja\n\nNiech \\(\\beta\\) będzie szukanym kątem środkowym. Skoro \\(\\beta = 2\\alpha\\), to:\n\n\\[\\alpha = \\frac{\\beta}{2}\\]\n\nZ warunku zadania:\n\n\\[\\beta = \\frac{\\beta}{2} + 40°\\]\n\n\\[\\beta - \\frac{\\beta}{2} = 40°\\]\n\n\\[\\frac{\\beta}{2} = 40°\\]\n\n\\[\\beta = 80°\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\alpha = \\frac{80°}{2} = 40°\\), różnica \\(\\beta - \\alpha = 80° - 40° = 40°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\beta = 2\\alpha\\]\n\nTo jest **kluczowe twierdzenie** użyte w obu sposobach rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(40°\\) | Uczeń wyznaczył \\(\\alpha\\) (kąt wpisany), a nie \\(\\beta\\) (kąt środkowy) |\n| C - \\(100°\\) | Uczeń przyjął \\(\\beta = \\alpha + 40°\\) i \\(\\alpha = \\beta - 20°\\), czyli pomylił relację - wziął \\(\\beta = \\frac{3}{2}\\alpha\\) zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\) |\n| D - \\(120°\\) | Uczeń odwrócił relację: przyjął \\(\\alpha = 2\\beta\\) zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\), co daje \\(\\beta = 3 \\cdot 40° = 120°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy to kąt przy **środku koła** - nie mylić z kątem przy obwodzie (wpisanym). Środek koła leży **wewnątrz**, a nie na okręgu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Relacja \\(\\beta = 2\\alpha\\) działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na **tym samym łuku** - jeśli kąt wpisany jest oparty na łuku dopełniającym, wzór nie działa bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odpowiedzieć \\(40°\\) - to jest wartość, którą się oblicza jako pierwszą. Zawsze sprawdź, o **który kąt** pyta zadanie (\\(\\alpha\\) czy \\(\\beta\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nKąt środkowy \\\\(\\\\beta\\\\) i kąt wpisany \\\\(\\\\alpha\\\\) oparte na tym samym łuku.\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\\\[\\\\beta = 2\\\\alpha\\\\]\n\nZ warunku zadania:\n\\\\[\\\\beta = \\\\alpha + 40°\\\\]\n\nPodstawiamy:\n\\\\[2\\\\alpha = \\\\alpha + 40°\\\\]\n\\\\[\\\\alpha = 40°\\\\]\n\\\\[\\\\beta = 2 \\\\cdot 40° = 80°\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(40°\\\\) - to miara kąta wpisanego \\\\(\\\\alpha\\\\), nie środkowego \\\\(\\\\beta\\\\)\n- C. \\\\(100°\\\\) - nie wynika z podanej zależności\n- D. \\\\(120°\\\\) - błędne obliczenia, np. \\\\(\\\\beta - \\\\alpha = 40°\\\\) z \\\\(\\\\beta = 3\\\\alpha\\\\)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Kąt 𝛼 jest ostry i cos 𝛼= 2√6<br>7 .<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Sinus kąta 𝛼 jest równy<br>A. 24<br>49<br>B. 5<br>7<br>C. 25<br>49<br>D.<br>√6<br>7<br>Kąt α jest ostry i cosα = 2√6/7. Sinus kąta α jest równy A. 24/49 B. 5/7 C. 25/49 D. √6/7</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(80°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym</h4>\n<p><strong>Co wiemy z geometrii koła:</strong></p>\n<p>Kąt środkowy jest <strong>dwa razy większy</strong> od kąta wpisanego, jeśli oba są oparte na tym samym łuku. Zatem:</p>\n<p>\\[\\beta = 2\\alpha\\]</p>\n<p><strong>Warunek z treści zadania:</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\beta\\) jest o \\(40°\\) większy od kąta \\(\\alpha\\), czyli:</p>\n<p>\\[\\beta = \\alpha + 40°\\]</p>\n<p><strong>Układamy układ równań i rozwiązujemy:</strong></p>\n<p>\\[\\begin{cases} \\beta = 2\\alpha \\\\ \\beta = \\alpha + 40° \\end{cases}\\]</p>\n<p>Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego:</p>\n<p>\\[2\\alpha = \\alpha + 40°\\]</p>\n<p>\\[\\alpha = 40°\\]</p>\n<p>\\[\\beta = 2\\alpha = 2 \\cdot 40° = \\mathbf{80°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - oznaczenie przez \\(\\beta\\) i weryfikacja</h4>\n<p>Niech \\(\\beta\\) będzie szukanym kątem środkowym. Skoro \\(\\beta = 2\\alpha\\), to:</p>\n<p>\\[\\alpha = \\frac{\\beta}{2}\\]</p>\n<p>Z warunku zadania:</p>\n<p>\\[\\beta = \\frac{\\beta}{2} + 40°\\]</p>\n<p>\\[\\beta - \\frac{\\beta}{2} = 40°\\]</p>\n<p>\\[\\frac{\\beta}{2} = 40°\\]</p>\n<p>\\[\\beta = 80°\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(\\alpha = \\frac{80°}{2} = 40°\\), różnica \\(\\beta - \\alpha = 80° - 40° = 40°\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>\\[\\beta = 2\\alpha\\]</p>\n<p>To jest <strong>kluczowe twierdzenie</strong> użyte w obu sposobach rozwiązania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A - \\(40°\\) | Uczeń wyznaczył \\(\\alpha\\) (kąt wpisany), a nie \\(\\beta\\) (kąt środkowy) |<br>| C - \\(100°\\) | Uczeń przyjął \\(\\beta = \\alpha + 40°\\) i \\(\\alpha = \\beta - 20°\\), czyli pomylił relację - wziął \\(\\beta = \\frac{3}{2}\\alpha\\) zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\) |<br>| D - \\(120°\\) | Uczeń odwrócił relację: przyjął \\(\\alpha = 2\\beta\\) zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\), co daje \\(\\beta = 3 \\cdot 40° = 120°\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt środkowy to kąt przy <strong>środku koła</strong> - nie mylić z kątem przy obwodzie (wpisanym). Środek koła leży <strong>wewnątrz</strong>, a nie na okręgu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Relacja \\(\\beta = 2\\alpha\\) działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na <strong>tym samym łuku</strong> - jeśli kąt wpisany jest oparty na łuku dopełniającym, wzór nie działa bezpośrednio.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo odpowiedzieć \\(40°\\) - to jest wartość, którą się oblicza jako pierwszą. Zawsze sprawdź, o <strong>który kąt</strong> pyta zadanie (\\(\\alpha\\) czy \\(\\beta\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Kąt środkowy \\\\(\\\\beta\\\\) i kąt wpisany \\\\(\\\\alpha\\\\) oparte na tym samym łuku.</p>\n<p>Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:<br>\\\\[\\\\beta = 2\\\\alpha\\\\]</p>\n<p>Z warunku zadania:<br>\\\\[\\\\beta = \\\\alpha + 40°\\\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\\\[2\\\\alpha = \\\\alpha + 40°\\\\]<br>\\\\[\\\\alpha = 40°\\\\]<br>\\\\[\\\\beta = 2 \\\\cdot 40° = 80°\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(40°\\\\) - to miara kąta wpisanego \\\\(\\\\alpha\\\\), nie środkowego \\\\(\\\\beta\\\\)</li><li>C. \\\\(100°\\\\) - nie wynika z podanej zależności</li><li>D. \\\\(120°\\\\) - błędne obliczenia, np. \\\\(\\\\beta - \\\\alpha = 40°\\\\) z \\\\(\\\\beta = 3\\\\alpha\\\\)</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ z tożsamości $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$, obliczamy $\\sin \\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2 \\alpha} = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2} = \\sqrt{1 - \\frac{24}{49}} = \\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\frac{5}{7}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>sin^2α+cos^2α=1.</p>\n<p>sin^2α=1- ((2√(6))/(7) )^2=1-(24)/(49)=(25)/(49).</p>\n<p>Kąt jest ostry, więc sinα=(5)/(7) .</p>"}]}