{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 3√45 -√20 jest równa\nA. (7 ⋅5)\n1\n2\nB. 5\n1\n2\nC. 7\nD. 7 ⋅5\n1\n2\nLiczba 3√45-√20 jest równa A. (7⋅5)^1/2 B. 5^1/2 C. 7 D. 7⋅5^1/2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(3\\sqrt{45} - \\sqrt{20} = 7\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączanie czynnika przed pierwiastek\n\nUpraszczamy każdy pierwiastek osobno, rozkładając liczby pod pierwiastkiem na iloczyn kwadratu i reszty.\n\n**Krok 1:** Uprość \\(\\sqrt{45}\\)\n\\[\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{9} \\cdot \\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 2:** Uprość \\(\\sqrt{20}\\)\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 3:** Podstaw do wyrażenia\n\\[3\\sqrt{45} - \\sqrt{20} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = 9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 4:** Wyłącz \\(\\sqrt{5}\\) jako wspólny czynnik\n\\[9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = (9 - 2)\\sqrt{5} = \\mathbf{7\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa\n\nSprawdźmy, czy wynik \\(7\\sqrt{5}\\) zgadza się z wartością liczbową.\n\nWiemy, że \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\), więc:\n\\[7\\sqrt{5} \\approx 7 \\cdot 2{,}236 = 15{,}652\\]\n\nObliczmy lewą stronę:\n\\[\\sqrt{45} \\approx 6{,}708, \\quad \\sqrt{20} \\approx 4{,}472\\]\n\\[3 \\cdot 6{,}708 - 4{,}472 = 20{,}124 - 4{,}472 = 15{,}652 \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - odpowiedź C jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka z iloczynu:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do rozkładu \\(\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5}\\) i \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((7\\sqrt{5})^2 = 49 \\cdot 5 = 245\\) - to wartość, którą otrzymujemy, gdy **podnosimy do kwadratu** poprawny wynik zamiast go zostawić |\n| B | \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}24\\) - za mały wynik; pojawia się, gdy uczeń liczy \\(3\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = \\sqrt{5}\\), **zapominając** pomnożyć \\(3 \\cdot \\sqrt{45} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5}\\) i bierze samo \\(\\sqrt{45}\\) zamiast \\(3\\sqrt{45}\\) |\n| D | \\(7 \\cdot 5 = 35\\) - uczeń błędnie \"upraszcza\" \\(7\\sqrt{5}\\) do \\(7 \\cdot 5\\), **myląc** \\(\\sqrt{5}\\) z \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{9} \\cdot \\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}\\), ale **NIE** \\(\\sqrt{9+5} = \\sqrt{14}\\). Pierwiastek rozkłada się na czynniki iloczynu, nie sumy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o mnożniku przed pierwiastkiem - \\(3\\sqrt{45} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5} = 9\\sqrt{5}\\), a **nie** \\(3\\sqrt{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5}\\) to odejmowanie jak z literą: tak jak \\(9x - 2x = 7x\\), tak samo \\(9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = 7\\sqrt{5}\\). Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem dodajemy/odejmujemy jak wyrazy podobne.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nUpraszczamy wyrażenie \\\\(3\\\\sqrt{45} - \\\\sqrt{20}\\\\):\n\n\\\\[3\\\\sqrt{45} = 3\\\\sqrt{9 \\\\cdot 5} = 3 \\\\cdot 3\\\\sqrt{5} = 9\\\\sqrt{5}\\\\]\n\\\\[\\\\sqrt{20} = \\\\sqrt{4 \\\\cdot 5} = 2\\\\sqrt{5}\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[3\\\\sqrt{45} - \\\\sqrt{20} = 9\\\\sqrt{5} - 2\\\\sqrt{5} = 7\\\\sqrt{5}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Własności pierwiastków: \\\\(\\\\sqrt{a \\\\cdot b} = \\\\sqrt{a} \\\\cdot \\\\sqrt{b}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(7 \\\\cdot 5 = 35\\\\) - bez pierwiastka, błąd rachunkowy\n- B. \\\\(5\\\\) - bez \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\), nie wynika z obliczeń\n- C. \\\\(7\\\\) - pominięto czynnik \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba 3√45 -√20 jest równa<br>A. (7 ⋅5)<br>1<br>2<br>B. 5<br>1<br>2<br>C. 7<br>D. 7 ⋅5<br>1<br>2<br>Liczba 3√45-√20 jest równa A. (7⋅5)^1/2 B. 5^1/2 C. 7 D. 7⋅5^1/2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\(3\\sqrt{45} - \\sqrt{20} = 7\\sqrt{5}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Wyłączanie czynnika przed pierwiastek</h4>\n<p>Upraszczamy każdy pierwiastek osobno, rozkładając liczby pod pierwiastkiem na iloczyn kwadratu i reszty.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Uprość \\(\\sqrt{45}\\)<br>\\[\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{9} \\cdot \\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Uprość \\(\\sqrt{20}\\)<br>\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Podstaw do wyrażenia<br>\\[3\\sqrt{45} - \\sqrt{20} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = 9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4:</strong> Wyłącz \\(\\sqrt{5}\\) jako wspólny czynnik<br>\\[9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = (9 - 2)\\sqrt{5} = \\mathbf{7\\sqrt{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa</h4>\n<p>Sprawdźmy, czy wynik \\(7\\sqrt{5}\\) zgadza się z wartością liczbową.</p>\n<p>Wiemy, że \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\), więc:<br>\\[7\\sqrt{5} \\approx 7 \\cdot 2{,}236 = 15{,}652\\]</p>\n<p>Obliczmy lewą stronę:<br>\\[\\sqrt{45} \\approx 6{,}708, \\quad \\sqrt{20} \\approx 4{,}472\\]<br>\\[3 \\cdot 6{,}708 - 4{,}472 = 20{,}124 - 4{,}472 = 15{,}652 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wyniki się zgadzają - odpowiedź C jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - własność pierwiastka z iloczynu:<br>\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]</p>\n<p>Użyliśmy jej w Sposobie 1 do rozkładu \\(\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5}\\) i \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\((7\\sqrt{5})^2 = 49 \\cdot 5 = 245\\) - to wartość, którą otrzymujemy, gdy <strong>podnosimy do kwadratu</strong> poprawny wynik zamiast go zostawić |<br>| B | \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}24\\) - za mały wynik; pojawia się, gdy uczeń liczy \\(3\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = \\sqrt{5}\\), <strong>zapominając</strong> pomnożyć \\(3 \\cdot \\sqrt{45} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5}\\) i bierze samo \\(\\sqrt{45}\\) zamiast \\(3\\sqrt{45}\\) |<br>| D | \\(7 \\cdot 5 = 35\\) - uczeń błędnie &quot;upraszcza&quot; \\(7\\sqrt{5}\\) do \\(7 \\cdot 5\\), <strong>myląc</strong> \\(\\sqrt{5}\\) z \\(5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{9} \\cdot \\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}\\), ale <strong>NIE</strong> \\(\\sqrt{9+5} = \\sqrt{14}\\). Pierwiastek rozkłada się na czynniki iloczynu, nie sumy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapomnij o mnożniku przed pierwiastkiem - \\(3\\sqrt{45} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5} = 9\\sqrt{5}\\), a <strong>nie</strong> \\(3\\sqrt{5}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5}\\) to odejmowanie jak z literą: tak jak \\(9x - 2x = 7x\\), tak samo \\(9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = 7\\sqrt{5}\\). Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem dodajemy/odejmujemy jak wyrazy podobne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Upraszczamy wyrażenie \\\\(3\\\\sqrt{45} - \\\\sqrt{20}\\\\):</p>\n<p>\\\\[3\\\\sqrt{45} = 3\\\\sqrt{9 \\\\cdot 5} = 3 \\\\cdot 3\\\\sqrt{5} = 9\\\\sqrt{5}\\\\]<br>\\\\[\\\\sqrt{20} = \\\\sqrt{4 \\\\cdot 5} = 2\\\\sqrt{5}\\\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\\\[3\\\\sqrt{45} - \\\\sqrt{20} = 9\\\\sqrt{5} - 2\\\\sqrt{5} = 7\\\\sqrt{5}\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Własności pierwiastków: \\\\(\\\\sqrt{a \\\\cdot b} = \\\\sqrt{a} \\\\cdot \\\\sqrt{b}\\\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(7 \\\\cdot 5 = 35\\\\) - bez pierwiastka, błąd rachunkowy</li><li>B. \\\\(5\\\\) - bez \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\), nie wynika z obliczeń</li><li>C. \\\\(7\\\\) - pominięto czynnik \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\)</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka mamy $3\\cdot3\\sqrt{5}-2\\sqrt{5}$, co jest równe $7\\sqrt{5}$, czyli $7\\cdot 5^{\\frac{1}{2}}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>3√(45)-√(20)<br>=3√(9·5)-√(4·5)<br>=3·3√(5)-2√(5)<br>=9√(5)-2√(5)<br>=7√(5).</p>\n<p>Ponieważ</p>\n<p>√(5)=5^(1)/(2),</p>\n<p>to wynik ma postać</p>\n<p>7·5^(1)/(2).</p>\n<p>Poprawna jest odpowiedź D.</p>"}]}