{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nTrapez 𝑇1 , o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu 𝑇2 . Pole trapezu\n𝑇2 jest równe 13.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód trapezu 𝑇2 jest równy\nA. 18\nB. 9\nC. 169\n9\nD. 52\n3\n\nMMAP-P0_100\nTrapez T_1, o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu T_2. Pole trapezu T_2 jest równe 13. Obwód trapezu T_2 jest równy A. 18 B. 9 C. 169/9 D. 52/3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie boku z wysokości, potem wzór na pole\n\n**Krok 1: Wyznacz bok trójkąta równobocznego.**\n\nWzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWiemy, że \\(h = 3\\), więc:\n\\[3 = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\implies a = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz pole ze wzoru.**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(2\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{12\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{3\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio: pole = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\)\n\nZ poprzedniego obliczenia mamy \\(a = 2\\sqrt{3}\\). Możemy użyć ogólnego wzoru na pole trójkąta:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} \\cdot 3 = \\mathbf{3\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **A** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy obu wzorów: pierwszego do wyznaczenia boku \\(a\\) z podanej wysokości, drugiego do obliczenia pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(\\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\) | Pomylono bok z wysokością - podstawiono \\(a = 3\\) do wzoru \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), zamiast najpierw wyznaczyć \\(a\\) z \\(h = 3\\) |\n| C: \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{4}\\) | Podstawiono \\(a = \\sqrt{3}\\) - wynik pomylenia \\(h = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) lub błąd w wyznaczaniu \\(a\\) |\n| D: \\(6\\sqrt{3}\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) w wzorze na pole - policzono \\(a \\cdot h = 2\\sqrt{3} \\cdot 3 = 6\\sqrt{3}\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego to **nie** to samo co bok! Najczęstszy błąd to wstawienie \\(h = 3\\) bezpośrednio jako \\(a\\) do wzoru na pole.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) - racjonalizuj mianownik: \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\). Nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) jest bezpośrednio na karcie CKE - warto go znać na pamięć, bo pojawia się często.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nTrójkąt równoboczny o wysokości \\\\(h = 3\\\\).\n\nWyznaczamy bok \\\\(a\\\\):\n\\\\[h = \\\\frac{a\\\\sqrt{3}}{2} = 3 \\\\implies a = \\\\frac{6}{\\\\sqrt{3}} = \\\\frac{6\\\\sqrt{3}}{3} = 2\\\\sqrt{3}\\\\]\n\nPole trójkąta równobocznego:\n\\\\[P = \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{(2\\\\sqrt{3})^2 \\\\cdot \\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{12\\\\sqrt{3}}{4} = 3\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Trójkąt równoboczny: \\\\(h = \\\\frac{a\\\\sqrt{3}}{2}\\\\), \\\\(P = \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{4}\\\\) - wynik dla trójkąta o boku \\\\(a = \\\\sqrt{3}\\\\), nie o wysokości 3\n- B. \\\\(\\\\frac{9\\\\sqrt{3}}{4}\\\\) - wynik dla trójkąta o boku \\\\(a = 3\\\\)\n- D. \\\\(6\\\\sqrt{3}\\\\) - dwukrotność poprawnej odpowiedzi","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Trapez 𝑇1 , o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu 𝑇2 . Pole trapezu<br>𝑇2 jest równe 13.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Obwód trapezu 𝑇2 jest równy<br>A. 18<br>B. 9<br>C. 169<br>9<br>D. 52<br>3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Trapez T_1, o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu T_2. Pole trapezu T_2 jest równe 13. Obwód trapezu T_2 jest równy A. 18 B. 9 C. 169/9 D. 52/3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wyznaczenie boku z wysokości, potem wzór na pole</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz bok trójkąta równobocznego.</strong></p>\n<p>Wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\(h = 3\\), więc:<br>\\[3 = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\implies a = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz pole ze wzoru.</strong></p>\n<p>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(2\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{12\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{3\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - bezpośrednio: pole = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\)</h4>\n<p>Z poprzedniego obliczenia mamy \\(a = 2\\sqrt{3}\\). Możemy użyć ogólnego wzoru na pole trójkąta:</p>\n<p>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} \\cdot 3 = \\mathbf{3\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - odpowiedź <strong>A</strong> potwierdzona.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyliśmy obu wzorów: pierwszego do wyznaczenia boku \\(a\\) z podanej wysokości, drugiego do obliczenia pola.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B: \\(\\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\) | Pomylono bok z wysokością - podstawiono \\(a = 3\\) do wzoru \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), zamiast najpierw wyznaczyć \\(a\\) z \\(h = 3\\) |<br>| C: \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{4}\\) | Podstawiono \\(a = \\sqrt{3}\\) - wynik pomylenia \\(h = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) lub błąd w wyznaczaniu \\(a\\) |<br>| D: \\(6\\sqrt{3}\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) w wzorze na pole - policzono \\(a \\cdot h = 2\\sqrt{3} \\cdot 3 = 6\\sqrt{3}\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wysokość trójkąta równobocznego to <strong>nie</strong> to samo co bok! Najczęstszy błąd to wstawienie \\(h = 3\\) bezpośrednio jako \\(a\\) do wzoru na pole.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy upraszczaniu \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) - racjonalizuj mianownik: \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\). Nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) jest bezpośrednio na karcie CKE - warto go znać na pamięć, bo pojawia się często.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Trójkąt równoboczny o wysokości \\\\(h = 3\\\\).</p>\n<p>Wyznaczamy bok \\\\(a\\\\):<br>\\\\[h = \\\\frac{a\\\\sqrt{3}}{2} = 3 \\\\implies a = \\\\frac{6}{\\\\sqrt{3}} = \\\\frac{6\\\\sqrt{3}}{3} = 2\\\\sqrt{3}\\\\]</p>\n<p>Pole trójkąta równobocznego:<br>\\\\[P = \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{(2\\\\sqrt{3})^2 \\\\cdot \\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{12\\\\sqrt{3}}{4} = 3\\\\sqrt{3}\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Trójkąt równoboczny: \\\\(h = \\\\frac{a\\\\sqrt{3}}{2}\\\\), \\\\(P = \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4}\\\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(\\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{4}\\\\) - wynik dla trójkąta o boku \\\\(a = \\\\sqrt{3}\\\\), nie o wysokości 3</li><li>B. \\\\(\\\\frac{9\\\\sqrt{3}}{4}\\\\) - wynik dla trójkąta o boku \\\\(a = 3\\\\)</li><li>D. \\\\(6\\\\sqrt{3}\\\\) - dwukrotność poprawnej odpowiedzi</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, pole $T_1$ wynosi $52$, a pole $T_2$ wynosi $13$, co oznacza, że kwadrat skali podobieństwa trapezu $T_1$ do trapezu $T_2$ wynosi $\\frac{52}{13} = 4$, a stosunek długości odpowiadających boków wynosi $\\sqrt{4} = 2$, więc obwód trapezu $T_1$ równy $36$ oznacza, że obwód trapezu $T_2$ wynosi $\\frac{36}{2} = 18$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Stosunek pól podobnych trapezów wynosi</p>\n<p>(13)/(52)=(1)/(4).</p>\n<p>Stosunek długości jest pierwiastkiem ze stosunku pól, czyli (1)/(2) . Zatem obwód mniejszego trapezu:</p>\n<p>36·(1)/(2)=18.</p>"}]}